Principe de base de la commande prédictive

L'idée de base est d'utiliser la connaissance issue du modèle pour envisager divers scénarios de fonctionnement du procédé dans le futur et de choisir le meilleur en fonction des objectifs à atteindre. Pour ce faire, la stratégie de commande prédictive s'articule autour des points suivants :

• un objectif de fonctionnement désiré pour le procédé, • un modèle du procédé à commander,

• un problème d'optimisation traduisant le premier point,

• une méthode de résolution pour le problème d'optimisation aboutissant aux

commandes à appliquer au procédé.

On peut encore mieux préciser le principe de base en expliquant le rôle de chacun des éléments, ce qui fait l'objet des points suivants.

Objectif de fonctionnement

C'est la problématique posée par l'utilisateur du procédé qui doit être traduite en un problème de commande. A partir du cahier des charges, cela permet de spécier :

• l'objectif qui peut être :

- d'optimiser un critère de performance lié à des critères économiques : augmenter le rendement, diminuer les pertes de matières premières, etc. - d'assurer la poursuite d'une trajectoire de référence en sortie du procédé.

C'est un problème assez répandu et cela traduit les performances souhai-tées du procédé en boucle fermée, en terme de rapidité et de précision. L'objectif peut aussi correspondre à un comportement optimal vis-à-vis de la qualité du produit à élaborer.

• les contraintes de fonctionnement que doivent respecter certaines grandeurs

physiques :

- les actionneurs sont généralement limités en amplitude. Ils peuvent l'être aussi en vitesse et en accélération.

- certaines grandeurs du procédé, mesurées ou estimées, doivent rester dans une zone de fonctionnement. Elles peuvent être liées à :

+ la qualité du produit (tolérance sur l'épaisseur d'une feuille de papier par exemple),

+ l'environnement (concentration de polluant inférieure à une norme par exemple),

+ la sécurité (température inférieure à un maximum par exemple). Modèle

C'est la traduction de l'évolution du comportement du procédé. La modélisation peut se faire selon deux méthodes :

1. Modélisation phénoménologique : modèle de connaissance

Il s'agit ici de tenir compte des phénomènes physiques mis en jeu. On fait alors intervenir des bilans d'énergie, de population, de masse, etc. Le modèle est dans ce cas rarement simple en terme d'entrée-sortie. Il est principalement non linéaire, décrit par un ensemble d'équations diérentielles avec seulement

1.2. Généralités sur la commande prédictive la variable temps comme variable indépendante. Ce modèle est décrit par des équations aux dérivées partielles dès lors que l'on considère des évolutions spatio-temporelles pour des grandeurs physiques du procédé.

La complexité du modèle dépend alors des exigences de description souhai-tées mais surtout du niveau de nesse exigé pour le comportement désiré du système.

Avantage 1 L'importance des divers phénomènes peut se quantier et le mo-dèle obtenu permet de simuler le procédé avec d'autres caractéristiques phy-siques et dimensionnelles.

D'autre part, il est évident que plus le modèle est dèle au procédé, au sens physique du terme, meilleure sera la prédiction de l'évaluation du comporte-ment du procédé.

Remarque 1 La méthode nécessite une connaissance dans le domaine concerné. Une étude pluridisciplinaire est donc souvent obligatoire.

2. Modèle de comportement global entrée-sortie :

A partir d'un modèle de type boîte noire, choisi a priori, il s'agit ici d'eectuer une estimation de ses paramètres. Ceux-ci sont déterminés en fonction de données expérimentales d'entrée-sortie.

Avantage 2 L'approche peut s'avérer plus simple et plus rapide que dans le cas précédent.

Par ailleurs, il peut être très dicile, voire impossible de mettre en équation le comportement de certains systèmes, ceux-ci étant plutôt nombreux.

Inconvénient 1 Le modèle n'a a priori aucune signication physique, surtout s'il est de nature complexe. D'autre part, et contrairement à la première mé-thode, on peut plus dicilement simuler le comportement d'un procédé ayant d'autres caractéristiques physiques et dimensionnelles.

Le choix de la méthode se fait bien sûr en fonction de la précision des objectifs à atteindre et des informations disponibles.

Remarque 2 D'un point de vue pratique, la méthode d'identication reste encore la plus utilisée, car c'est la plus simple et la plus rapide de mise en ÷uvre. Cependant, les problèmes posés étant de plus en plus complexes, l'utilisation de la première méthode, pluridiscipliaire, tend à s'étendre.

Problème d'optimisation

Le problème d'optimisation est la traduction mathématique des objectifs de contrôle du procédé sous les contraintes de fonctionnement.

En toute généralité, il s'agit d'optimiser (minimiser le plus souvent) une fonctionnelle

J (le critère de performance, également appelé fonction coût) dépendant :

• des variables manipulables de commande représentées par le vecteur u(t)

in-dépendant des variables d'espace µ,

• des grandeurs du système (le vecteur d'état x(µ,t), le vecteur de sortie y(t)), • d'un comportement désiré c(t) (prols variables, consignes constantes, etc.).

Cela peut se traduire sous la forme : min

u∈K {J(u) =

Z

Q

g(u(t), y(t), x(µ,t), c(t)) dQ} (1.1) Pour un système continu, toutes ces grandeurs dépendent du temps et de la (ou des) variable(s) spatiale(s) ; de sorte qu'en général, Q est un cylindre de base l'espace et de longueur le temps de prédiction.

L'ensemble K est déni par la vérication des contraintes, y compris celles concer-nant le modèle d'évolution du système.

Il est évident qu'une telle forme est dicilement exploitable pour l'étude mathéma-tique et même pour la résolution tout court : c'est un problème d'optimisation en dimension innie.

Une forme plus simple est généralement utilisée dans le cadre de la commande pré-dictive. Cette simplication, ou approximation, est faite à deux niveaux :

• l'argument u(t), fonction continue est ramenée :

+ soit en une suite d'arguments u(tk) pris à des instants tk connus, k = 1,2, ... < ∞.

+ soit en une fonction polynomiale du temps avec un nombre ni de coe-cients qui sont alors les arguments à déterminer :

u(t) =

i=n

X

i=1

aitⁱ (1.2)

• le cylindre Q est ramené en une succession d'éléments élémentaires

1.2. Généralités sur la commande prédictive comportements spatio-temporels désirés) ou seulement en segments successifs du temps. La somme continue devient alors une somme discrète :

Z

Q

(.) dQ =X

Qi

(.) ∆Qi (1.3)

Le problème d'optimisation est ainsi ramené à un problème plus classique d'opti-misation en dimension nie, pour lequel les résultats et les outils existent en grand nombre.

Remarque 3 Il est important de noter qu'à ce niveau, la  discrétisation  pré-cédente concerne conjointement l'argument de l'optimisation (la commande) et les instants d'évaluation du critère de performance J.

Les contraintes variables et le modèle des états et des sorties sont par contre a priori continus (par rapport au temps et/ou à l'espace) puisqu'il sut de pouvoir les évaluer aux noeuds de la discrétisation de l'argument.

En ayant adopté cette démarche, deux concepts s'introduisent naturellement dans la commande prédictive :

• la longueur des suites d'arguments, c'est-à-dire l'horizon de commande Nc,

• la longueur sur laquelle est évaluée le critère de performance, c'est-à-dire

l'ho-rizon de prédiction Np.

Le problème de commande revient dès lors à déterminer la séquence des Nc com-mandes qui permet de minimiser le critère de performance choisi tout en assurant une vérication des contraintes. L'allure de chacune des commandes peut être (gure 1.2) :

• à déplacements multiples (gure 1.2, en haut) : une séquence de Nccommandes est appliquée de l'instant présent k jusqu'à la n de l'horizon de commande, c'est-à-dire à k + Nc. Ensuite, les commandes appliquées jusqu'à la n de l'horizon de prédiction k + Np sont prises égales au dernier élément de la séquence,

• à déplacement unique (gure 1.2, au milieu), c'est-à-dire Nc = 1, c'est donc un cas particulier du point précédent,

• décrite dans une base de fonctions (gure 1.2, en bas) telle que donnée par l'expression (1.2). k Temps Temps Commande Commande Temps Commande Horizon de prédiction Np Futur Passé Horizon de commande Nc k + N_c k + N_p

Fig. 1.2  Diverses formes de loi de commande Méthode de résolution

Sous la forme précédente, le principe de la commande prédictive revient à optimi-ser le critère de performance à chaque instant (à chaque période d'échantillonnage) et à déterminer la meilleure séquence de Nc commandes sur l'horizon de prédiction

Np. Finalement, la première composante de la séquence de commande solution sera appliquée à la prochaine période d'échantillonnage et la résolution recommence en prenant compte des nouvelles mesures actualisées du procédé.

1.3. Problématiques liées à la stratégie de commande prédictive La répétition de cette procédure à chaque période confère à la méthode une approxi-mation du temps continu inni par un horizon ni que l'on dira fuyant ou glissant. Dans le cas de la poursuite de trajectoire de référence, le schéma qui résume ceci est le suivant : k k + 1 Temps Horizon de prédiction Np Commande Sortie du procédé Référence Horizon de commande Nc k + Nc k + Np− 1

Fig. 1.3  Poursuite de trajectorie de référence par aspect prédictif

En résumé, pendant chaque période de temps, il faut disposer d'une méthode d'op-timisation associée à une méthode de résolution du modèle du système sur l'horizon de prédiction. On comprend alors pourquoi la stratégie de commande prédictive fut tout d'abord appliquée et proposée dans le cas de systèmes avec la possibilité de modèles simples.

Actuellement, malgré la puissance des calculateurs, des problèmes subsistent et de-viennent de plus en plus complexes soit à cause du modèle, soit à cause du problème d'optimisation sous-jacent, ou des deux conjointement.

Par méthode de résolution, on entend donc les solutions proposables à ce niveau, qui sont liées aux autres problématiques de cette stratégie de commande.

1.3 Problématiques liées à la stratégie de commande