pression pompée optiquement
4.8 Principe d’élargissement dû à la pression
Afin de rendre le spectre du CO2 plus continu, il existe un mécanisme nommé l’élargissement
collisionnel, ou l’élargissement dû à la pression, qui provient fondamentalement d’un effet
collisionnel. Quantiquement, la largeur d’une raie est liée à la durée de vie de la transition qui la génère : Plus la transition est lente, plus la raie est fine. En fait, la durée de vie d’une transition et sa largeur de bande constituent une paire de Fourier et ces deux paramètres sont conséquemment reliés par la relation d’incertitude suivante :
Δ𝑓 ⋅ Δ𝜏 ≥ 1 4𝜋
(41)
Dans cette relation, Δ𝑓 est la largeur de bande (en Hz) de la transition, et Δ𝜏 est la durée de vie de la transition.
Signification du paramètre « largeur de bande » (Δ𝑓) dans ce contexte – Dans le cas d’une transition, la largeur de bande représente simplement l’intervalle de fréquences (par rapport à la fréquence théorique) dont peut faire partie la fréquence du photon émis. Par exemple, si la différence d’énergie entre deux niveaux correspond à des photons dont la fréquence est de 100
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GHz et que Δ𝑓 a une valeur de 5 GHz, alors le photon émis pourrait en fait avoir une fréquence entre 95 et 105 GHz. En réalité, il s’agit bien évidemment d’un processus statistique et la valeur de Δ𝑓 ne représente pas des bornes absolues, mais est plutôt analogue à une variance ou écart-type.
Dans un gaz, une pression élevée augmente significativement le nombre de collisions, et chaque collision a une probabilité non-nulle de changer l’état de la particule frappée (que ce soit son mode vibrationnel, l’état d’un électron, etc.) via une collision inélastique, ou encore la phase de sa fonction d’onde via une collision élastique. En présence d’un taux de collision élevé, la durée de vie effective de la transition sera raccourcie, donc la largeur de bande Δ𝑓 devra augmenter afin de respecter l’inégalité (41). Toutefois, au final, on doit se demander : Qu’est-ce qui détermine réellement la largeur d’une raie d’émission ou absorption…?
Dans un gaz, la largeur des bandes d’émission et d’absorption est déterminée par la somme des contributions de l’élargissement naturel (i.e. l’équation (41)) sans tenir compte des collisions dans la valeur de Δ𝜏), de l’élargissement dû à l’effet Doppler et de l’élargissement dû à la pression (collisions).
Pour clarifier, l’élargissement par effet Doppler est une contribution provenant de la température du gaz : Plus la température est élevée, et plus les molécules dans le gaz se déplacent rapidement. Si le photon en question est émis dans le sens du mouvement de sa particule d’origine, alors son énergie paraîtra plus faible par effet Doppler (décalage vers le rouge, ou « red-shift » en anglais); alors que si le photon est émis dans le sens opposé, son énergie sera plus grande (décalage vers le bleu, ou « blue-shift » en anglais). Évidemment, selon l’angle, tous les cas intermédiaires (i.e. à un angle quelconque) existent aussi. Ceci est un phénomène notablement très présent en astrophysique lors de l’étude d’étoiles dont les couches supérieures sont en rotation [37], mais il joue aussi un rôle similaire pour un gaz dont la température est élevée (voir figure 46). L’effet Doppler amène donc une incertitude supplémentaire sur l’énergie du photon, et conséquemment aussi un élargissement de chaque raie de son spectre.
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Figure 46 - Illustration de l'élargissement d’une raie d’absorption (centrée à 𝒇𝒂𝒃𝒔 et avec une largeur de
raie 𝚫𝒇) par effet Doppler pour une particule en mouvement. En haut, l’atome se dirige vers la source de
lumière de fréquence fondamentale 𝒇𝟎 et il « verra » conséquemment le photon à une fréquence décalée 𝒇𝒃𝒍𝒆𝒖> 𝒇𝟎. En bas, l’atome s’éloigne de la source et il « verra » plutôt le photon à une fréquence décalée
𝒇𝒓𝒐𝒖𝒈𝒆< 𝒇𝟎. Selon son mouvement au moment de la rencontre, l’atome peut donc absorber le photon si
la condition 𝒇𝒓𝒐𝒖𝒈𝒆− 𝚫𝒇 ≤ 𝒇𝒂𝒃𝒔≤ 𝒇𝒃𝒍𝒆𝒖+ 𝚫𝒇 est respectée. Image reproduite à partir de [38].
Pour un mélange de gaz à pression élevée (i.e. supérieure à 0.1 atm) et à température ambiante, l’élargissement par la pression est la contribution dominante à la largeur de la raie et l’ampleur de ce phénomène respecte une relation linéaire simple pour chaque gaz composant le mélange. L’équation (42) décrit un mélange à pression p contenant n types de gaz distincts, où chaque gaz à une fraction partielle Ψ𝑖 dans le gaz et possède un coefficient d’élargissement 𝐶𝑖.
Δ𝜈𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑝 ⋅ ∑ 𝐶𝑖Ψ𝑖
𝑛
𝑖 = 0
(42)
Par exemple, un mélange de composition 1 :1 :10 (CO2 : N2 : He) donnerait n = 3, Ψ𝐶𝑂2 =
Ψ𝑁2 =121 et Ψ𝐻𝑒 =56. Les coefficients 𝐶𝑖 sont des paramètres déterminés empiriquement (i.e. provenant de tables) ou bien calculés théoriquement en passant par la théorie des collisions. La forme de la raie qui résulte de l’élargissement par la pression est une lorentzienne dont l’expression est donnée par l’équation suivante :
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𝑘(𝜈 − 𝜈0) = Δ𝜈/𝜋 (𝜈 − 𝜈0)2+ Δ𝜈2
(43)
Dans cette relation, 𝑘(𝜈 − 𝜈0) est l’amplitude de la raie à une distance 𝜈 − 𝜈0 de sa fréquence
centrale 𝜈0 [39].
Figure 47 - Représentation d'un profil lorentzien pour trois pressions distinctes. Ici, 𝜶𝑳 est 𝚫𝝂. Tiré de
[39].
4.9 Application au CO
2de l’élargissement dû à la pression
Note – Dans cette section, les pressions seront souvent exprimées en atm au lieu de kPa
Dans le cas d’un gaz de CO2 pur (comme présentement), l’expression pour l’élargissement dû
à la pression se réduit à l’équation (44). Sachant que la valeur du coefficient 𝐶𝑖 pour le CO2 est
de 5.79 GHz/atm [40], on peut écrire :
Δ𝜈𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛[𝐺𝐻𝑧] = 5.79 𝑝 [𝑎𝑡𝑚] (44)
Afin d’avoir un maximum de bande disponible, le but est ici de rendre le spectre du CO2 le plus
uniforme possible, ainsi que d’unir les branches R et P (voir figure 44) autour de 10 µm (i.e. celles de droite sur la figure). Pour ce faire, le critère choisi est de s’assurer que la distance entre les deux extrémités des branches R et P corresponde au maximum au double du paramètre Δ𝜈.
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Ainsi, on trouve que la dernière lorentzienne de la branche R croise le première lorentzienne de la branche P au plus tard à sa mi-hauteur (voir figure 48).
Figure 48 - Critère de superposition de l'élargissement dû à la pression. La hauteur à laquelle les deux courbes se recoupent doit être au minimum à 50% de leur maximum.
Comme la séparation entre les raies les plus rapprochées de R et P est de 212 GHz, on trouve par l’équation (44) que le gaz doit être à une pression minimale données par :
𝑝𝑚𝑖𝑛 =
212 𝐺𝐻𝑧
5.79 𝐺𝐻𝑧/𝑎𝑡𝑚 = 36.6 𝑎𝑡𝑚
(45)
Afin de simplifier et de s’assurer de respecter le critère, une pression de 40 atm (4.05 MPa) a été choisie pour l’amplification du 10 µm dans le CO2.