Principe de la détection homodyne

La détection homodyne permet de mesurer les uctuations de toutes les quadratures d'un champ lumineux donné. Pour cela, on le fait interférer avec un champ de même fréquence, habituellement appelé oscillateur local. Une cale piézo-électrique permet de faire varier le chemin parcouru par l'oscillateur local et donc aussi son déphasage θ avec le champ mesuré. Les deux faisceaux ont des polarisations linéaires orthogonales. Ils sont recombinés sur un cube séparateur de polarisation. Pour obtenir des interférences, on utilise un second cube séparateur de polarisation précédé par une lame demi-onde qui fait tourner de 45◦la direction de polarisation des deux faisceaux. Deux photodiodes sont placées en réexion (Ph1) et en transmission (Ph2) du cube (voir gure 5.1).

Ph2

Pol.

Ph1

E

E

i

i

Pol.

Fig. 5.1  Schéma de la détection homodyne : le champ à mesurer est recombiné avec un os-cillateur local.

On note respectivement EOL et EM le champ de l'oscillateur local et le champ mesuré incidents sur le cube. Le champ incident sur la photodiode Ph1 est donc égal

à (EOL+ E_M)/ 2, tandis que celui incident sur la Ph2 est égal à (EOL− EM)/ 2. Décomposons EOLet EM en une partie de fréquence négative, contenant les opérateurs d'annihilation et une partie de fréquence positive, contenant les opérateurs de création :

E_OL = E_OL⁺ + E_OL⁻ avec E+ OL = A_OL(t)e^−iωLt et E− OL= A^†_OL(t)e^iωLt (5-1) EM = E_M⁺ + E_M⁻ avec E+ M = AM(t)e^−iωLt et E− M = A^†_M(t)e^iωLt (5-2) L'opérateur photocourant i d'une photodiode éclairée par un champ E = E++ E−

est donné par la théorie de la photodétection [Glauber 65] :

i = E⁺E⁻ (5-3)

Les photocourants i1 et i2 délivrés par les 2 photodiodes sont donc : i1 = ¡ E_OL⁺ + E_M⁺¢ ¡ E_OL⁻ + E_M⁻¢ 2 (5-4) i2 = ¡ E_OL⁺ − EM⁺ ¢ ¡ E_OL⁻ − EM⁻ ¢ 2 (5-5)

Ces deux photocourants sont ampliés avec le même gain g. Le signal de détection homodyne I−, qui est égal à la diérence entre ces deux signaux, ne contient que les termes d'interférence : I−= g(i1− i2) = g¡ E_OL⁺ E_M⁻ + E_M⁺E_OL⁻ )¢ = g³ (AOL(t)A^†_M(t) + AM(t)A^†_OL(t)´ (5-6) On décompose les champs en valeur moyenne et uctuations quantiques. L'enve-loppe du champ mesuré se met sous la forme :

AM(t) = hAMi + δAM(t) (5-7) Pour écrire celle de l'oscillateur local, il faut tenir compte du déphasage θ entre les champs moyens :

AOL(t) = hAOLie^iθ+ δAOL(t) (5-8) où hAMi et hAOLi sont pris réels. En ne gardant que les termes d'ordre 1 en uctua-tions, on trouve que les uctuations δI− du signal de détection homodyne sont égales à :

δI−(t) = g³

hAOLi^³δAM(t)e^iθ + δA^†_M(t)e^−iθ´

+ hAMi^³δAOL(t) + δA^†_OL(t)´´

A.1.1 La détection équilibrée : mesure sans oscillateur local

Il est possible de mesurer les uctuations d'amplitude d'un faisceau sans le faire interférer avec un oscillateur local. C'est alors le faisceau mesuré lui même qui sert d'os-cillateur local aux uctuations du vide rentrant par l'autre voie du cube. En remplaçant AM par Avide et AOL par AM dans l'expression 5-9 on obtient :

δI−(t) = ghAMi^³δAvide(t) + δA^†_vide(t)´

(5-10) Le spectre de bruit SI−(Ω) de I− est proportionnel au spectre de bruit du vide. Pour avoir accès aux uctuations d'amplitude du faisceau on mesure la somme des photocourants délivrés par les deux photodiodes I+, ampliée par le même facteur g :

I+ = g(i1+i2) = g¡

E_vide⁺ E_vide⁻ + E_M⁺E_M⁻¢ = g³

Avide(t)A^†_vide(t) + AM(t)A^†_M(t)´

(5-11) A l'ordre 1, les uctuations de ce signal δI+ sont égales à :

δI+= ghAMi^³δAM(t) + δA^†_M(t)´

(5-12) Le spectre de bruit SI+(Ω) de I+ est bien proportionnel au spectre de bruit d'am-plitude du faisceau mesuré. C'est le bruit que l'on mesurerait en plaçant directement une seule photodiode en face du faisceau (au lieu de séparer celui-ci en deux parties et de resommer les signaux).

L'intérêt de ce dispositif à deux photodiodes est que l'on déduit directement le spectre de bruit d'amplitude normalisé au bruit quantique standard SEM0(Ω), en faisant le rapport :

SI+(Ω)

SI−(Ω) ^{= SE}M0(Ω) (5-13) Autrement dit on n'a pas besoin de connaître le facteur de proportionnalité g.

A.1.2 Cas d'un oscillateur local fort

La plupart des expériences de détection homodyne réalisent une situation où le champ moyen de l'oscillateur local est beaucoup plus intense que celui du champ me-suré, alors que leurs uctuations d'amplitude sont du même ordre de grandeur (en général de l'ordre du bruit quantique standard). Dans ce cas les uctuations mesurées se réduisent à :

δI−(t) = ghAOLi^³δAM(t)e^iθ+ δA^†_M(t)e^−iθ´

Ainsi le spectre de bruit SI−(Ω)de I−est proportionnel au spectre de bruit SEM θ(Ω) de EM θ; la détection homodyne permet bien de mesurer les uctuations des opérateurs de quadratures.

Si on coupe le faisceau mesuré, on mesure un spectre de bruit SI−(Ω)OL propor-tionnel au spectre de bruit du vide, qui dénit donc le niveau de bruit associé au bruit quantique standard. Le spectre de bruit normalisé SEM θ(Ω)des quadratures du faisceau mesuré s'obtient en formant le rapport :

S_I−(Ω) SI−(Ω)OL

= SEM θ(Ω) (5-15)

A.1.3 Cas général

Comme nous le verrons, nos conditions expérimentales ne nous permettent pas d'avoir un oscillateur local beaucoup plus intense que le champ à mesurer. Dans ce cas on ne peut plus négliger le deuxième terme de de l'équation 5-9. Il est tout de même possible d'obtenir le spectre de bruit normalisé SEM θ(Ω) en formant le rapport :

SI−(Ω) − SI−(Ω)M

SI−(Ω)OL

= SEM θ(Ω) (5-16) où SI−(Ω)_M est le spectre de bruit mesuré en coupant l'oscillateur local.

A.1.4 Prise en compte du bruit électronique

Le signal mesuré est en fait la somme du bruit du faisceau lumineux et du bruit électronique provenant des amplicateurs de la chaîne de détection, qui est le bruit que l'on mesure lorsque les photodiodes ne reçoivent pas de lumière. Le bruit ✭✭optique✮✮ doit être aussi grand que possible par rapport au bruit électronique de façon à avoir un bon rapport signal à bruit. Dans notre montage, le bruit électronique correspond typiquement au bruit quantique standard d'un faisceau de 2mW et les faisceaux mesurés ont une intensité comprise entre 1 et 10mW. Le bruit électronique n'est donc pas négligeable et doit être pris en compte.

Les origines des bruits ✭✭optiques✮✮ et électroniques étant diérentes, ils ne sont pas corrélés. Par conséquent leurs spectres de bruit s'ajoutent. Pour obtenir la contribution ✭✭optique✮✮ il sut de retrancher à chaque enregistrement le bruit électronique mesuré dans les mêmes conditions, que l'on note SI±(Ω)el selon que l'on mesure la somme où la diérence des photocourants. Pour les trois types de mesures que nous venons de décrire, les valeurs correctes du bruit normalisés s'écrivent :

- Pour la détection équilibrée :

SI+(Ω) − SI+(Ω)el

SI−(Ω) − SI−(Ω)el

= SEM0(Ω) (5-17) - Dans le cas d'un oscillateur local fort :

SI−(Ω) − SI−(Ω)el

SI−(Ω)OL− SI−(Ω)el

= SEM θ(Ω) (5-18) - Dans le cas général :

SI−(Ω) − SI−(Ω)M

SI−(Ω)OL− SI−(Ω)el

= SEM θ(Ω) (5-19)