Corrélations entre deux faisceaux

(4-29) En eet, dans l'état vide, seul le terme hδA(Ω)δA†(−Ω)i n'est pas nul.

B.3 Corrélations entre deux faisceaux

B.3.1 Dénitions

Etant donnés deux opérateurs O1 et O2on dénit leur fonction de corrélation croisée C12(t, t′):

C12(t, t^′) = hO1(t)O2(t^′)i − hO1(t)ihO2(t^′)i = hδO1(t)δO2(t^′)i (4-30) Dans le cas d'un processus stationnaire, C12(t, t′) dépend uniquement de l'inter-valle de temps τ = t − t′. On peut alors dénir sa transformée de Fourier S12(Ω) qui caractérise le spectre des corrélations:

S12(Ω) = Z

C12(τ )e^iΩτdτ (4-31) Le spectre des corrélations satisfait une relation analogue à 4-14 :

hδO1(Ω)δO2(Ω^′)i = 2πδ(Ω + Ω^′)S12(Ω) (4-32) On dénit enn la fonction de corrélation normalisée :

C12(Ω) = p ^S12(Ω)

S1(Ω)S2(Ω) (4-33) où S1(Ω) et S2(Ω) sont respectivement les spectres de bruit de O1 et O2. On peut montrer que C12(Ω) est un nombre complexe vériant :

B.3.2 Application aux faisceaux lumineux

Considérons deux faisceaux laser décrits par des opérateurs enveloppes A(t) et B(t). Les corrélations entre une quadrature quelconque EA

P θ du champ A et une quadrature quelconque EB

P θ′ du champ B, à une fréquence d'analyse Ω, sont données par la fonction de corrélation normalisée : C_AB^θθ′(Ω) = ^S θθ′ AB(Ω) p Sθ A(Ω)Sθ′ B(Ω) (4-35) où Sθθ′

AB(Ω) est le spectre des corrélations entre EA

P θ et EB

P θ′ et Sθ

A(Ω) et Sθ′

B(Ω)

sont respectivement les spectres de bruit de EA

P θ et EB

P θ′. On rappelle que ces trois quantités vérient les relations :

hδEP θ^A (Ω)δE_{P θ}^B ′(Ω^′)i = 2πδ(Ω + Ω^′)S_AB^θθ′(Ω) (4-36) hδEP θ^A (Ω)δE_{P θ}^A (Ω^′)i = 2πδ(Ω + Ω^′)S_A^θ(Ω) (4-37) hδEP θ^B ′(Ω)δE_{P θ}^B ′(Ω^′)i = 2πδ(Ω + Ω^′)S_B^θ′(Ω) (4-38) Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux corrélations d'intensité entre deux faisceaux. La fonction de corrélation normalisée CI

AB(Ω) entre les intensités IA et IB

est dénie de la même façon que la fonction de corrélation entre quadratures 4-35, en remplaçant EA

P θ par IA et EB

P θ′ par IB.

D'après la relation 4-17 les uctuations d'intensité sont proportionnelles aux uc-tuations d'amplitude :

δIA(Ω) =p

IAδE_{P 0}^A (Ω) et δIB(Ω) =p

IBδE_{P 0}^B (Ω) (4-39) Par conséquent la fonction de corrélation d'intensité normalisée CI

AB(Ω) est simple-ment égale à la fonction de corrélation d'amplitude normalisée C00

AB(Ω).

B.3.3 Critères de corrélation quantique

La fonction de corrélation que nous avons dénie permet de donner une valeur pour les corrélations, mais pas directement une idée de leur nature classique ou quantique. Deux faisceaux très bruités peuvent avoir une fonction de corrélation proche de 1 sans que cela fasse intervenir le moindre processus quantique. Dans quel cas peut-on dire que deux faisceaux A et B sont corrélés au niveau quantique? Nous allons présenter deux types de critères.

a) Comparaison avec une expérience ✭✭classique✮✮

Un premier critère consiste à considérer que les corrélations sont quantiques lors-qu'elles ne peuvent pas être produites par une expérience ✭✭classique✮✮ utilisant des faisceaux cohérents et des lames semi-transparente. Il est couramment utilisé dans les oscillateurs paramétriques optiques (O.P.O.).

Cas équilibré

Dans les expériences visant à générer des faisceaux corrélés au niveau quantique en utilisant un O.P.O., on se place en général dans le cas dit équilibré où les faisceaux ✭✭signal✮✮ et ✭✭complémentaire✮✮ ont des intensités très proches. Dans ce cas on peut mettre en évidence les corrélations d'intensité entre deux faisceaux A et B en mesurant le spectre de bruit SIA−IB(Ω) de la diérence des intensités IA− IB [Mertz 91]. Celui-ci peut s'exprimer en fonction du spectre des corrélations d'amplitude :

SIA−IB(Ω) = IASA(Ω) + IBSB(Ω) − 2^pIAIBRe S_AB⁰⁰ (Ω) (4-40) où SA(Ω) et SB(Ω) désignent les spectres de bruit normalisés de la quadrature d'amplitude des champs A et B. Si les deux faisceaux ont la même intensité et le même spectre de bruit on obtient :

SIA−IB(Ω) = 2IA(SA(Ω) − Re SAB⁰⁰ (Ω)) = 2IASA(Ω)¡

1 − CAB⁰⁰ (Ω)¢

(4-41) Dans le cas de faisceaux parfaitement corrélés (C00

AB = 1) on obtient un bruit nul sur la diérence des intensités.

Plus généralement on compare ce résultat à celui d'une expérience ✭✭classique✮✮ où les faisceaux A et B sont produits en séparant en deux un faisceau cohérent sur une lame semi-transparente. Dans ce cas les uctuations de la diérence des intensités sont égales au ✭✭bruit de grenaille✮✮ du faisceau cohérent d'intensité IA+ I_B = 2I_A (la démonstration de cette égalité est détaillée dans le chapitre 5). La condition pour avoir des corrélations quantiques s'écrit :

SIA−IB(Ω) 2IA

= S_A(Ω)¡

1 − CAB⁰⁰ (Ω)¢

Cas général

Dans la suite de ce chapitre nous étudierons les corrélations d'intensité entre deux faisceaux d'intensités très diérentes. Dans cette situation la diérence des intensités n'est pas la quantité la mieux adaptée pour mettre en évidence expérimentalement les corrélations. On peut cependant compenser le déséquilibre entre les intensités des deux faisceaux, soit en introduisant des pertes optiques pour le faisceau le plus intense (par exemple le faisceau A), soit en ampliant le photocourant généré par le faisceau le plus faible.

Atténuation du faisceau le plus intense

On atténue le faisceau A en lui faisant traverser une lame partiellement rééchis-sante de coecient de transmission en énergie T avant de mesurer le bruit de la dié-rence des intensités. Il est facile de montrer que l'écart du bruit du faisceau A au bruit quantique standard est atténué d'un facteur T . Les corrélations d'intensité SI

AB sont

également diminuées d'un facteur T . Finalement le spectre de bruit de la diérence des intensités s'écrit :

S_I′

A−IB(Ω) = T I_A(1 + T (S_A(Ω) − 1)) + IBS_B(Ω) − 2T^pI_AI_B Re S_AB⁰⁰ (Ω) (4-43) L'expérience classique correspondante consiste à séparer un faisceau cohérent d'in-tensité T IA+IBsur une lame partiellement rééchissante de façon à obtenir un faisceau d'intensité T IA et un autre d'intensité IB. Le bruit mesuré sur la diérence des inten-sités est de nouveau égal au bruit de grenaille, si bien que le critère de corrélation quantique est donné par :

S_I′

A−IB(Ω) < T IA+ IB (4-44)

Amplication du signal le plus faible

On amplie électroniquement avec un gain g le signal de bruit correspondant au faisceau B. Le spectre de bruit de la diérence des intensités s'écrit :

On peut comparer ce résultat à celui de l'expérience consistant à séparer un faisceau cohérent d'intensité IA+ I_B en un faisceau d'intensité IAet un autre d'intensité IB et à mesurer le bruit sur la diérence des intensités avec un gain g sur la voie B. On obtient le ✭✭shot noise✮✮ d'un faisceau d'intensité IA+ g²IB. Finalement le critère s'écrit :

SIA−gIB(Ω) < IA+ g²IB (4-46)

b) Critère sur la variance conditionnelle

Selon ce critère, deux faisceaux sont corrélés au niveau quantique si la connaissance des uctuations de l'un des faisceaux permet de réduire celles de l'autre en dessous du bruit quantique standard. On peut le formuler en utilisant la variance conditionnelle. En théorie des probabilités la variance conditionnelle d'une variable aléatoire par rap-port à une autre est égale à la variance de la première variable, connaissant la valeur de l'autre.

Les corrélations entre deux champs sont dites quantiques quand la variance condi-tionnelle de l'un par rapport à l'autre est inférieure au bruit quantique standard.

Par exemple on peut montrer que le spectre de bruit normalisé de l'opérateur in-tensité IA connaissant l'intensité IB vaut :

SIA|IB(Ω) = IASA(Ω)(1 − CAB⁰⁰ (Ω)²) (4-47)

Le critère de corrélation quantique s'écrit donc :

SIA|IB(Ω) < IA (4-48)

Ce critère est plus sévère que le précédent. Remarquons qu'il ne s'applique pas au cas de faisceaux comprimés en intensité : un faisceau ayant des uctuations en dessous du bruit quantique standard serait automatiquement corrélé à n'importe quel autre faisceau. Enn si les deux faisceaux n'ont pas le même spectre de bruit ce critère dépend du faisceau que l'on considère.

C Hamiltonien du système

Pour étudier les eets non linéaires nous reprenons le hamiltonien utilisé par C. Ciuti dans les références [Ciuti 00] et [Ciuti 01]. Nous montrons en annexe qu'il résulte d'un développement du hamiltonien à l'ordre 2 en densité excitonique.

Pour tracer les courbes théoriques, nous prendrons les paramètres mesurés en lu-mière blanche (voir partie 3.B.1). Comme nous l'avons montré dans le chapitre 3, le désordre n'a qu'une inuence négligeable sur la forme de la réponse optique sauf sur une résonance de type ✭✭exciton✮✮ (à désaccord très positif). C'est pourquoi le modèle n'en tient pas compte.