Preuves des théorèmes sur le risque quadratiques

Proof. Pour la même raison que dans le Chapitre 5, nous devons introduire

bn(x) =E(Qn−Qα)²✶Pn>ǫn

où ǫ_n= (n+ 1)^−ǫ avec 1> ǫ >1−β (on noterab_n(x) la quantité avec l’événement complé-mentaire dans l’indicatrice). Nous avons donc, pour n≥N₀,

a_n(x) =b_n(x) +b_n(x)≤b_n(x) +D₁exp −3n^1−ǫ 8

! ,

d’après le Lemme 5.5.4 (et donc l’hypothèseA2) . Ainsi, nous allons chercher une inégalité de récurrence sur b_n(x) de la forme habituelle

b_n+1(x)≤(1−c_n+1)b_n(x) +d_n+1.

Commeb_n+1(x)≤a_n+1(x), nous commençons par développer le carré suivant (Qn+1(x)−Q)² = (Qn(x)−Q)²−2γ_n+1^Q Q_n(x)−Y_n+1✶Yn+1<qn(x)

(Qn(x)−Q)✶Xn+1∈kN Nn+1(x)

+γ_n+1^{Q 2}Q_n(x)−Y_n+1✶Yn+1>qn(x)

2

✶Xn+1∈kN Nn+1(x).

Comme il n’y a pas ambiguïté, pour simplifier les notations, nous omettrons dans la suite les indices Q et les fonctions de (x). En prenant l’espérance conditionnelle de l’expression précédente et en appliquant la formule de Bayes, nos obtenons

E(Q_n+1−Q)²|Fn

= (Q_n−Q)²−2γ_n+1(Q_n−Q)P_n^hQ_n−G_{kN Nn+1(x)}(q_n)ⁱ+γ_n+1)²R_nP_n, où l’on a noté

R_n=E^h(Qn−Y_n+1✶Yn+1>qn)²|Fn∩X_n+1 ∈kN N_n+1(x)ⁱ.

Il est alors intéressant de comparer cette équation avec ce que nous obtenions dans le cas non-conditionnel. Dans le Chapitre 4, nous avions fait la même manipulation. Mais le terme de double produit faisait directement apparaître (Qn−Q)² parce qu’il n’y avait pas l’indicatrice. On voit ici très bien en quoi la nécessité de localiser, dans le cas conditionnel, va compliquer les choses. Par ailleurs, pour gérer le terme de reste, dans le cas non-conditionnel, nous allions chercher la variance de la loi tronquée. Ici, nos hypothèses de supports compacts nous permettent de faire une majoration plus rapide, qui permet au final, d’aboutir à la même conclusion. En effet, nous savons que Q_n reste presque-sûrement dans l’intervalle [LY, UY]. Nous savons aussi que L(Y✶Y >qn|X ∈ kN Nn(x)) a un support inclus dans le compact [min(0, L_Y),max(U_Y,0)]. Presque-sûrement, nous avons donc, sachant que X ∈ kN N_n+1(x),

(Q_n−Y✶Y >qn)² ≤D₂ := max(L_Y −max(0, U_Y))²,(U_Y −min(L_Y,0))². Ainsi, nous avons, presque-sûrement,R_n≤D₂.Nous obtenons alors

E(Q_n+1−Q)²|Fn

≤(Q_n−Q)²−2γ_n+1(Q_n−Q)P_nE^hQ_n−G_{kN Nn+1(x)}(q_n)|Fn

i+D₂γ_n+1² .

180

CHAPTER 6. ESTIMATION DE SUPERQUANTILE DANS LES CODES STOCHASTIQUES Nous allons maintenant étudier le double produit pour faire apparaître nos différents termes d’erreurs. Pour cela, nous écrivons que

(Qn−G_{kN Nn+1(x)}) = (Qn−Q) + (Gx(q)−G_x(qn)) + (Gx(qn)−G_{kN Nn+1(x)}(qn)).

Cette décomposition fait apparaître les trois erreurs suivantes

1) La première est simplement l’erreur commise en approximantQpar l’algorithme stochas-tique de manière générale. C’est ce terme qui va faire apparaître le terme c_n = P_nγ_n dans l’équation de récurrence puisque le double produit sur cette erreur donne

−2γn+1P_n(Qn−Q_α)².

2) Le second terme représente l’erreur que nous faisons en approchantq parq_n. Toujours par le même raisonnement, on a

−2γn+1P_n(Qn−Q_α) (Gx(qα)−G_x(qn))≤2γn+1P_n^pD₁|E(Y(✶Y >qα−✶Y >qn)|X =x)|

≤2γn+1Pn

pD1|max(qn, q)|||fx||∞|qn−qα|

≤≤2γ_n+1P_n^pD₁D₃||f_x||∞|q_n−q_α|, avec D₃ := max(|U_qn|,|L_qn|).

3) Enfin, le dernier terme correspond à l’erreur de localisation. C’est à dire celle que l’on fait en approximant la loi cible de Y^x par la loi de Y|X ∈kN N_n(x). L’hypothèse A1 va (par le raisonnement que nous avons vu plusieurs fois) permettre d’écrire

−2γ_n+1P_nG_x(q_n)−G_{kN Nn+1(x)}(q_n)(Q_n−Q_α)≤ | −2γ_n+1P_nG_x(q_n)−G_{kN Nn+1(x)}(Q_n−Q_α)|

≤2γn+1Pn

pD1|Gx(qn)−G_{kN Nn+1(x)}(qn)|

≤2γn+1P_n^pD₁|U_Y|M(x)||X−x||(kn+1,n). Ce terme interviendra dans le reste d_n de l’inégalité que nous cherchons à écrire.

Finalement, en prenant l’espérance et en reportant les précédentes expressions, on trouve E (Q_n−Q)²

≤E (Q_n−Q)²

−2γn+1E Pn(Q_n−Q)²+ 2γn+1||fx||^∞p

D1D3E(P_n|qn−q|)) + 2γn+1

pD1|UY|M(x)E Pn||X−x||^(kn+1,n)+D2γ_n+1² E(Pn).

On peut alors déduire une inégalité récursive sur b_n(x) de la manière suivante b_n+1(x)≤a_n+1(x)

≤E(Q_n−)²(✶Pn>ǫn+✶Pn≤ǫn)−2γ_n+1EP_n(Q_n−Q)²✶Pn>ǫn

+ 2γ_n+1||f_x||_∞^pD₁D₃E(P_n|q_n−q|)) + 2γ_n+1^pD₁|U_Y|M(x)EP_n||X−x||(kn,n)

+D₂γ²_n+1E(P_n)

≤bn(x) (1−2γn+1ǫn) +D1exp −3n^1−ǫ 8

!

+ 2γn+1

pD1|UY|M(x)EPn||X−x||(kn+1,n)

+ 2γn+1||f_x||∞

pD₁D₃E(Pn|q_n−q|)) +D₂γ_n+1² E(Pn).

Nous venons donc d’établir une inégalité de récurrence sur b (x). Pour que la forme

CHAPTER 6. ESTIMATION DE SUPERQUANTILE DANS LES CODES STOCHASTIQUES

précédent pour majorer les espérances de la précédente inégalité. Les lemmes 5.5.6 et 5.5.1 permettent en effet d’obtenir

On peut donc conclure, en raisonnant par récurrence, que pourn≥N₀+ 1,

a_n(x)≤D₁exp C’est la conclusion de la Proposition 6.2.3.

Preuve du Corollaire 6.2.4

Proof. On constate facilement que nous connaissons tous les ordres enndes éléments du reste d_n sauf celui qui dépend du risque quadratique de q_n. Dans la suite, on notera à nouveau an(q) etqn(Q) les deux risques quadratiques. Malheureusement, nous ne savons pas comment sont corrélés P_n et q_n (c’est d’ailleurs ce qui nous a forcé à travailler avec b_n(x) plutôt que a_n(x)). Il va donc nous falloir appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur le produitP_n fois

|qn−q|. Nous avons vu que cela nous fait perdre une précision qui n’est pas négligeable.

L’inégalité de Cauchy-Schwartz donne donc

E(Pn|qn−qα|)≤^qE(P_n²)E((qn−qα)²).

Le moment d’ordre 2 de Pn est donné par le Lemme 5.5.1. En fait, il vérifie pour tout n≥N₀,

E(P_n²₋₁)≤D₁₃k_n

n ≤2D₁₃(n−1)^β−1.

Concernant le risque quadratique de qn, on reprend notre résultat final du Chapitre 5, à savoir que pourn≥N₄(x, α, d), il existe une constanteC₉(x, α, d) telle que

E(qn−q)²≤ C₉(x, α, d) n^{1+d1 −η}

, pourη = ^η_d^β −η_ǫ etη_ǫ=ǫ−(1−β).

En utilisant notre récurrence habituelle, on peut donc montrer que pourn≥N₃+ 2,

182

CHAPTER 6. ESTIMATION DE SUPERQUANTILE DANS LES CODES

Pour traiter du termeT_n², il nous faut maintenant chercher dans quelle zone sera dominant quel terme ded_k. Pour simplifier les notations, nous allons noter, pour n≥N₃,

2γ_n+1^pD₁|U_Y|M D(x)C₃(d)k_n On remarque qu’à la constante près, les termesR₁ etR₂ sont les mêmes que dans l’étude du Chapitre 5. Ainsi, nous savons déjà que lorsque β ≥1−dγ,R2 domine sur R1. C’est le

La Figure résume les zones précédemment définie avec leur type dans le cas particulier oùd= 1.

Figure 6.10: Zones et termes dominants

CHAPTER 6. ESTIMATION DE SUPERQUANTILE DANS LES CODES

Ainsi, lorsque nous sommes en zone A, on peut développer les calculs comme dans les chapitres précédents. On a terme et celui du reste provenant de l’inégalité de déviation T_n⁰ seront donc négligeables. Il reste alors le terme

T_n⁴ =d_n= D₄(x, d, α)

(n−1)^1/2−β/2+1/2(1+d)−η/2+γ.

qui converge plus vite que le terme le plus important T_n². Pour gérer ce terme, nous allons comme d’habitude devoir découper la somme en deux parties et donc s’assurer que n≥M₁(x, d, α) le rang à partie duquel on a

⌊n

2⌋ ≥N₄(x, d, α) + 1.

Nous allons aussi devoir utiliser le rangM2à partir duquel on peut faire notre comparaison série-intégrale habituelle, c’est à dire le rang à partir duquel

⌊n

Finalement, en posant M₃(x, d, α) le rang à partir duquel 184

CHAPTER 6. ESTIMATION DE SUPERQUANTILE DANS LES CODES STOCHASTIQUES

T_n⁰+T_n¹+T_n³+S1 ≤ D₁₀(x, d, α) 2

1

n^{1−β2 +2(1+d)1 −η2−ǫ} , on obtient le résultat pour la zone A.

Les calculs sont exactement les mêmes pour les deux autres zones. Nous ne les détaillerons donc pas à nouveau.

Preuve du Corollaire 6.2.5

On peut alors faire l’optimisation des trois zones. Dans la zone A par exemple, on a montré que

a_n≤ D₁₀(x, α, d) n^1/2−β/2+1/2(1+d)−η/2−ǫ.

Pour que la décroissance soit la plus rapide possible, il faut choisir un ǫ le plus petit possible pour avoir une vitesse la plus rapide possible. On choisit donc ǫ = 1−β +η_ǫ où ηǫ>0 est aussi petit que possible. La vitesse est alors enn^{−2(1+d)1 +η2+1−β2 +ηǫ}. On choisit donc βle plus rand possible, ce qui signifie, dans cette zoneβ = 1−(1+d)(1+2/d)¹ . La vitesse est alors en n⁻

1 (1+d)(2+d)−ηǫ−η

2 quelque soitγ dans le segment [_(1+d)(2+d)¹ −η/(2 +d); 1− (1+d)(1+2/d)¹ ].

Dans la zoneA, on trouve donc que les couples de paramètres optimaux sont les points du segment vertical servant de frontière entre la zone A et la zone C. Avec ces paramètres, on sait de plus que

a_n(x) =O

n^{−(1+d)(2+d)1 +ηǫ+η2}

.

De la même manière, on étudie ce qu’il se passe dans les deux autres zones. On conclut que ce segment frontière est le segment des paramètres optimaux globaux avec la vitesse précédem-ment annoncée. La Figure 6.11 résume le comporteprécédem-ment que nous venons de décrire. Con-cernant la constanteD₁₀(x, α, d), il suffit de prendre min (D7(x, α, d), D8(x, α, d), D9(x, α, d)) lorsque l’on calcule ces constantes avec les paramètres du segment optimal qui les rendent les plus petites.