On l’a vu, le th´eor`eme de Lanford (th´eor`eme 4), obtenu dans [49], et d´emontr´e de plus en plus en d´etail, d’abord dans [26], puis dans [25] et enfin dans [34], donne la convergence de la fonction de distribution du syst`eme de sph`eres dures vers la solution de l’´equation de Boltzmann, valide sur un temps court. On s’int´eresse `a pr´esent `a la description de la topologie utilis´ee pour d´ecrire cette convergence. Les auteurs de [34] ont obtenu une convergence localement uniforme en les variables de temps et d’espace, mais une convergence faible en vitesse. Cette limitation n’alt`ere nullement l’int´erˆet pratique de ce th´eor`eme, puisque les quantit´es d´ecrites par les ´equations cin´etiques ne sont observables par l’exp´erience qu’au travers de leurs moments, autrement dit, on ne peut mesurer que des int´egrales contre des fonctions de la vitesse v des solutions des ´
equations cin´etiques. Cependant, l’´etude des contrˆoles obtenus sur les int´egrales de f − fN(1) contre des observables (c’est-`a-dire des fonctions ϕ de la vitesse v)
3Voir la section 12.2.2 ”Modification of bad trajectories by hard sphere reflection.” 4Voir la section 5.1.
42 CHAPITRE 3. APPORTS ET STRUCTURE DE CE TRAVAIL
montre que, syst´ematiquement, les bornes comprennent le terme
ϕ
L∞(Rd).
Ce terme semble sugg´erer qu’une am´elioration de la convergence est possible, et d’un point de vue math´ematique, il n’y a a priori aucune raison de ne pas ´
enoncer le r´esultat le plus g´en´eral possible. Dans ce travail, on pr´esente une convergence plus forte, `a savoir une convergence localement uniforme en toutes les variables : de temps, d’espace et de vitesse. Cependant, cette convergence n’a pas lieu sur l’espace des phases tout entier. Les compacts choisis ne doivent pas contenir de vitesses rasantes (c’est-`a-dire que les configurations contenues dans les compacts consid´er´es sont toutes telles que leur produit scalaire avec le vecteur e1, qui est le vecteur normal unitaire sortant de l’obstacle, ne soit
pas trop proche de z´ero). Cette condition d’exclusion est due `a la pr´eparation des donn´ees initiales, premi`ere ´etape du travail qui vise `a ´eliminer les trajec- toires qui pr´esentent des recollisions. Une autre limitation est que les compacts ne peuvent pas intersecter le bord de l’obstacle. On perd donc une information quant au comportement des solutions au voisinage de l’obstacle.
Par ailleurs, on peut apporter quelques commentaires quant aux hypoth`eses requises dans [34].
• Les th´eor`emes fondamentaux 6 et 7 de [34]6, qui assurent l’existence et
l’unicit´e de solutions respectives aux hi´erarchies BBGKY et de Boltzmann, reposent de fa¸con cruciale sur un argument de point fixe, dˆu `a Ukai ([63]). Dans le cas de la hi´erarchie de Boltzmann, pour chaque ´equation de cette hi´erarchie le cadre fonctionnel choisi dans [34] (comme dans toutes les r´ef´erences pr´ec´edentes) est celui des fonctions continues par rapport au temps, `a valeurs dans les fonctions continues sur l’espace des phases. Or la hi´erarchie de Boltzmann, dans sa forme int´egrale (voir la section 4.2 page 83), est compos´ee notamment du premier terme
Tts,0 f(s)(0, ·),
qui fait intervenir le transport libre (avec conditions de bord). La conti- nuit´e seule de la donn´ee initiale se r´ev`ele insuffisante pour obtenir une comparaison uniforme en espace de la quantit´e
T s,0 t f (s)(0, ·) − f(s)(0, ·) .
La section 5.2, et en particulier la sous-section 5.2.4 page 179 propose donc un cadre fonctionnel un peu plus restrictif, mais qui permet en contrepartie de pr´esenter une version nouvelle de l’argument du point fixe.
• D’autre part, l’argument du point fixe de Seiji Ukai ([63]) repose sur une in´egalit´e de contraction dans un espace fonctionnel bien choisi.
3.2. LA PREUVE DU TH ´EOR `EME DE LANFORD D ´ETAILL ´EE 43
On rappelle que les hi´erarchies sont des suites d’´equations, o`u chacune de ces ´equations donne une relation entre deux marginales. Chaque ´equation des hi´erarchies fait donc sens dans un espace fonctionnel qui lui est propre (c’est l’objet des sections 6.1 et 6.2). Il convient donc, une fois que l’espace fonctionnel de chaque ´equation est donn´e (voir la section 7.1.1), de lier entre eux ces espaces en consid´erant une topologie sur la famille form´ee par ces espaces (voir la section 7.1.2). On va alors d´efinir chacune des hi´erarchies sur une famille de tels espaces fonctionnels. De plus, on travaille avec des fonctions qui d´ependent du temps. `A chaque instant, on a donc une famille d’espaces fonctionnels, famille dans laquelle, par exemple pour le cas de la hi´erarchie BBGKY, vit la suite de marginales fN(s)(t, ·)
1≤s≤N.
`
A chaque instant on peut associer `a la famille fN(s)(t, ·)
1≤s≤N une norme d’espace de Banach f (s) N (t, ·) 1≤s≤N ·,β(t),e e µ(t).
Dans la litt´erature, ces espaces sont introduits dans la section 5.2 ”Functio- nal spaces and statement of the results” dans [34]. L’in´egalit´e de contrac- tion due `a Ukai, et qui doit ˆetre v´erifi´ee par les hi´erarchies vues comme op´erateurs agissant sur ces suites d’espaces fonctionnels, repose sur une utilisation subtile de la d´ecroissance par rapport au temps des poids qui permettent de d´efinir les espaces fonctionnels sur lesquels les hi´erarchies BBGKY et de Boltzmann sont bien d´efinies (un poids eβ pour un contrˆole gaussien sur le profil en vitesse de chacune des marginales, introduit dans les d´efinitions 23 page 206 et 24 page 206, et un poids eµ pour un contrˆole de d´ecroissance des normes de la s-`eme marginale quand s devient grand, introduit dans les d´efinitions 25 page 207 et 26 page 207).
Par ailleurs, dans [63], aucune condition de continuit´e par rapport au temps n’est choisie, tandis que dans [34], on demande `a avoir une conti- nuit´e par rapport au temps `a valeurs dans les espaces de Banach d´efinis pr´ec´edemment, c’est-`a-dire, si l’on consid`ere par exemple le cas de la hi´erarchie BBGKY, que l’on impose la condition :
∀t ∈ ]0, T ], lim u→t− f (s) N (t) 1≤s≤N− f (s) N (u) 1≤s≤N N,ε, e β(t), e µ(t)= 0. (3.1) Cette condition de continuit´e fait sens physiquement, d’une part car on a peine `a imaginer les fonctions ´etranges qui seraient dans un tel espace, sans condition de continuit´e, et d’autre part car exiger une continuit´e temporelle pour des ph´enom`enes physiques ne semble pas, dans ce cadre, d´eraisonnable.
On montre dans ce travail, `a la section 8.2 page 251, que cette condi- tion de continuit´e engendre des complications lorsque l’on tente d’obtenir l’in´egalit´e de contraction de Ukai7. On propose dans ce travail deux pistes :
7Dans la r´ef´erence [34], il s’agit de l’in´egalit´e (5.4.4) de la section 5.4 ”Continuity esti-
44 CHAPITRE 3. APPORTS ET STRUCTURE DE CE TRAVAIL
la premi`ere, d’utiliser un poids µ (qui a vocation `e a lier les espaces dans lesquels se trouvent les marginales) plus fort, et la seconde, d’affaiblir la continuit´e en temps. Ces deux topologies sont introduites dans la section 7.1.3 et ´etudi´ees par la suite. On verra que, vu les conditions que devront v´erifier les donn´ees initiales, la deuxi`eme option sera la plus pertinente. Deux versions de l’in´egalit´e de contraction de Ukai (une pour chacune des topologies introduites) sont propos´ees dans ce travail : c’est l’objet de la section 8.3.
• Enfin, pour obtenir une quantification de la vitesse de convergence de la premi`ere marginale vers la solution de l’´equation de Boltzmann, le lemme 14.2.3 de [34]8joue un rˆole crucial puisqu’il a pour objet de contrˆoler l’er-
reur due `a la divergence des trajectoires dans le cas d’une donn´ee initiale tensoris´ee. On revient sur ce r´esultat, et on propose dans ce travail une version plus quantitative de ce lemme, avec des hypoth`eses un peu plus fortes, pr´esent´ee dans la section 16.1.3 page 507. Le lecteur pourra aussi consulter la remarque page 515, qui revient sur les hypoth`eses plus fortes de ce nouveau lemme.