Le th´ eor` eme de Lanford : une approche d´ eterministe

2.3 Les probl` emes de d´ erivation

2.3.2 Le th´ eor` eme de Lanford : une approche d´ eterministe

Le programme de Grad trouve son origine dans l’obtention d’une suite d’équations vérifiées par les marginales f_N(s) (avec 1 ≤ s ≤ N ) d’une fonction de répartition d’un syst`_{eme de N (N ∈ N}∗) sphères dures de diamètre ε. Cette suite d’équations est obtenue à partir de l’équation de Liouville, et s’appelle la hiérarchie BBGKY, qui doit son nom aux travaux des physiciens et chimistes Nikola¨ı Bogolioubov [10], Max Born et Herbert Green [15], John Kirkwood [46] et Jacques Yvon [67]. Grad obtient alors dans [38] une relation vérifiée par la première marginale de la fonction de répartition du système de sphères dures, et observe que dans la limite de Boltzmann-Grad N → +∞, N εd−1_{= 1, et avec quelques autres ma-}

nipulations, cette ´equation n’est autre que l’´equation de Boltzmann.

Une de ces manipulations consiste `a utiliser la propagation du chaos, ce qui signifie que si la suite des donn´ees initiales f_N,0(s)

1≤s≤N est approximativement

tensorisée, c’est-à-dire que cette suite est donnée par les marginales de la distribution initiale : f_N,0(N )(ZN) = Z_N−11ZN∈DεN N Y i=1 f_N,0(1)(zi) (2.6)

(o`u ZN = (z1, . . . , zN) est la configuration du syst`eme dans l’espace des phases

Dε

36 CHAPITRE 2. ´ETAT DE L’ART SUR L’ ´EQUATION DE BOLTZMANN

de cet espace des phases Dε

N, encodant en particulier la condition d’exclusion

|xi− xj| > ε pour tous 1 ≤ i < j ≤ N , ce qui signifie que les particules de

rayon ε/2 ne se chevauchent pas, et enfin o`u Z_N−1 est simplement un facteur de normalisation), alors cette tensorisation se propage aussi `a la suite de solutions

t 7→ f_N(s)(t, . . . )

1≤s≤N pour tout temps dans la limite N → +∞.

Il convient de noter que la limite de Boltzmann-Grad N → +∞, N εd−1 _{= 1}

a une signification physique importante. Le fait que la quantit´e N εd−1 _reste

constante lorsque N varie signifie que, indépendamment du nombre de particules considérées, le temps moyen de parcours libre d’une particule reste constant. Autrement dit, une particule parcourra en moyenne une distance fixée avant d’entrer en collision avec une autre particule. Avant cette collision, la particule s’est donc déplacée librement, en ligne droite. Une discussion un peu plus poussée sur la signification de cette limite est proposée dans la section 1.1.7. La limite de Boltzmann-Grad implique alors que le volume occupé par l’ensemble des particules du système, qui est de l’ordre de N εd_{, est en fait de l’ordre de ε}

ou, ce qui est ´equivalent, de l’ordre de N−d−11 _{, et tend donc vers 0 lorsque N}

tend vers l’infini : seule une infime partie du volume occupé par le fluide est en fait occupée par des particules. C’est une des raisons pour laquelle l’équation de Boltzmann est utilisée dans le cadre de la modélisation de gaz très dilués. Par ailleurs, dans le cadre de la résolution du sixième problème de Hilbert men- tionné plus haut, on utilise cette limite de Boltzmann-Grad de fa¸con cruciale. D’abord en se fixant un nombre α tel que N εd−1= α, on obtient l’équation de Boltzmann à partir d’une modélisation particulaire de la matière : tout l’objet de ce travail est de montrer en quel sens cette étape peut être rigoureusement franchie. Dans la littérature anglophone, cette étape est souvent appelée ”low density limit”.

Bien qu’il ne s’agisse pas du sujet du présent travail, il ne semblait pas raison- nable de ne pas mentionner la seconde étape de la résolution du sixième problème de Hilbert : le passage du modèle cinétique au modèle continu. L’objectif final de Hilbert était en effet de parvenir à justifier les équations de la mécanique des fluides. Il est en effet possible d’achever ce programme en prenant appui sur le résultat de ”low density limit” obtenu, et de retrouver, d’abord formellement, les équations de Navier-Stokes à partir de l’équation de Boltzmann, en effec- tuant ce que l’on appelle une limite hydrodynamique. On va faire tendre à son tour la quantité α vers l’infini, ce qui signifie que le temps moyen de parcours libre des particules du système va tendre vers zéro. La signification physique de cette limite est que les particules vont s’entrechoquer à une cadence très élevée. De nombreux résultats ont été obtenus dans le sens du passage rigoureux à la limite hydrodynamique. On renvoie le lecteur à la référence [56] sur ce sujet. Quant à la justification rigoureuse de l’obtention de l’équation de Boltzmann `

a partir d’un modèle particulaire déterministe, Carlo Cercignani dans [21] (en 1972), puis Oscar Lanford dans [49] (en 1975) obtiennent les premiers résultats mathématiques dans le sens de la résolution du programme de Grad. En par-

2.3. LES PROBL `EMES DE D ´ERIVATION 37

ticulier, Lanford remarque que la propagation du chaos peut être obtenue par une étude précise des trajectoires des sphères dures, et apporte une preuve rigoureuse de l’apparition de l’irréversibilité. Pour la première fois, une preuve mathématique démontre la validité rigoureuse de l’équation de Boltzmann lo- calement en temps, apportant une avancée décisive à la résolution du sixième problème de Hilbert. Les paradoxes tels que ceux mentionnés à la fin de la section 1.3.3 page 27 ne peuvent plus être vus comme des arguments invalidant l’équation de Boltzmann, et les propriétés de ses solutions a priori surprenantes changent de statut, passant d’apparentes contradictions qui réduisent l’intérêt du modèle à celui de phénomènes complexes au sens profond.

Le théorème de Lanford s’énonce comme suit.

Théorème 3 (Lanford [49], 1975). Soit β un nombre réel strictement positif, et soit f0: R2d→ R+ une densité de probabilité continue qui vérifie

(x, v) 7→ f0(x, v) exp β 2|v| 2 _L∞_(R2d₎ < +∞.

On considère le système de N sphères dures de diamètre ε (régi par la dyna- mique introduite dans la section 1.2.2) décrit par la fonction de répartition fN :

R2dN → R+, distribuées initialement selon la densité f0 de fa¸con indépendante

(au sens o`u la suite des distributions initiales de s particules, avec 1 ≤ s ≤ N , est donn´ee par les marginales de l’expression (2.6)).

Alors, il existe un temps T > 0 qui ne d´epend que de β et de µ o`u exp(−µ) = (x, v) 7→ f0(x, v) exp β 2|v| 2 _L∞_(R2d₎ ,

tel que, dans la limite de Boltzmann-Grad :

N → +∞, N εd−1= 1,

la premi`ere marginale f_N(1) de la fonction de r´epartition fN converge vers la

solution f du problème de Cauchy (2.1) associé à l’equation de Boltzmann, avec

(v − v∗) · ω₊ pour noyau de collision B(v − v∗, ω), au sens des observables,

c’est-`_{a-dire que pour tout compact K de l’espace des positions R}d _{et pour toute}

fonction test v ∈ Rd_{7→ ϕ(v) ∈ R :} 1 K(x) Z Rd f − f_N(1)(t, x, v)ϕ(v) dv _L∞_{([0,T ]} t×Rdx) −→ N →+∞0.

La preuve de Lanford, qui représente une avancée conceptuelle majeure, a par la suite été complétée à de nombreuses reprises et beaucoup d’auteurs ont apporté une contribution significative à l’achèvement de cet édifice particulièrement com- plexe. On peut citer l’article [60] de Kôhei Uchiyama, le livre [26] de Carlo Cercignani, Reinhard Illner et Mario Pulvirenti4, ou encore la contribution de

4_{Voir le chapitre 4, et en particulier les sections 4.4 ”Rigorous Validity of the Boltzmann}

38 CHAPITRE 2. ´ETAT DE L’ART SUR L’ ´EQUATION DE BOLTZMANN

Herbert Spohn avec [58]. Une étude des arbres de même type, que l’on doit à Carlo Cercignani, Viktor Ivanovitch Gerasimenko et Dmitri Ya. Petrina, basée sur un contrôle de la taille des ”trajectoires pathologiques”, c’est-à-dire des trajectoires de sphères dures rendant difficile la comparaison avec les trajectoires associées obtenues dans la limite de Boltzmann-Grad, a ouvert la voie vers des preuves de plus en plus quantitatives. Cette étude est présentée dans le livre [25]. Enfin, les travaux de Thierry Bodineau, Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond, Sergio Simonella et Benjamin Texier ont apporté une contribution décisive au programme de Grad. En particulier, alors que le théorème de Lanford a été présenté pour la première fois en 1975, l’article [34] de 2013 peut être considéré comme la forme la plus aboutie de la preuve de ce théorème obtenue jusqu’à présent. Une remarque fondamentale concernant le théorème de Lanford est l’intervalle de temps sur lequel sa conclusion est valide : contrairement aux résultats présentés dans la section 2.1, la convergence de la première marginale n’a lieu que sur un intervalle de temps petit, donné par la régularité de la donnée initiale. En 2016, le plan de preuve de Lanford permet à Bodineau, Gallagher et Saint-Raymond dans [8] d’obtenir une convergence sur un intervalle de temps arbitrairement grand de la fonction de distribution d’une particule marquée qui ´

evolue dans un gaz à l’équilibre thermodynamique, vers la solution de l’équation de Boltzmann linéaire. Ce résultat est à comparer avec celui de Giovanni Gal- lavotti [35], qui obtenait la convergence de la fonction de distribution d’une particule marquée qui évoluait au milieu d’obstacles fixés distribués de fa¸con aléatoire, vers la solution de l’équation de Boltzmann linéaire.

Ce même groupe d’auteurs a par ailleurs publié un article ([9]) qui revient sur l’apparition de l’irréversibilité lors du passage à la limite de Boltzmann-Grad.

Chapitre 3

Apports et structure de ce

travail

Ce travail s’inscrit dans le programme de Grad, et vise à obtenir une preuve du théorème de Lanford dans le cas particuler d’un domaine à bord. Au fur et `

a mesure du temps consacré à la résolution de ce problème, l’accent a été mis progressivement sur une rédaction aussi exhaustive que possible des arguments déployés pour démontrer le théorème de Lanford. Et puisque ce travail s’appuie en particulier sur l’article phare [34], le travail d’adaptation de la preuve a permis de mettre à jour quelques éléments à détailler dans la très longue et très tech- nique démonstration du théorème de Lanford. Les nouveautés concernent d’une part l’obtention d’un théorème dérivation rigoureux de l’équation de Boltzmann dans le cas d’un domaine à bord, et d’autre part les commentaires faits sur la preuve présentée dans [34].

3.1 Le th´eor`eme de Lanford dans le demi-espace

S’agissant de la motivation à l’origine du présent manuscrit, on va démontrer un résultat analogue au théorème 4, dans le cas où les particules évoluent dans un domaine à bord. Ce travail est exécuté dans le cadre de sphères dures évoluant dans le demi-espace, et qui interagissent par réflexion spéculaire avec le bord de l’obstacle, qui est donc ici un demi-plan.

Comme il a été précisé plus haut, on suivra la preuve de Lanford, qui s’appuie sur une étude minutieuse des trajectoires suivies par les sphères dures. Ce plan de preuve incite à considérer dans un premier temps un problème simplifié par rapport au cas d’un obstacle général : on restreint d’abord l’étude au cas où l’obstacle est convexe. En effet, dans ce cas si une particule rebondit une première fois contre l’obstacle, elle ne pourra pas rebondir à nouveau contre ce dernier sans que sa vitesse ne soit modifiée, c’est-à-dire, sans que cette particule ne soit entrée en collision avec une autre particule du système. Ce simple constat simplifie grandement l’étude des trajectoires, alors qu’en présence d’un obstacle

40 CHAPITRE 3. APPORTS ET STRUCTURE DE CE TRAVAIL

quelconque on pourrait parfaitement imaginer des particules rebondissant en cascade contre l’obstacle, demandant un traitement analytique supplémentaire. Finalement, on se contentera dans ce travail d’étudier le cas où l’obstacle est le demi-espace. A priori, on remarque que l’obstacle dont le bord est un hyperplan est, parmi les obstacles convexes, le pire d’une certaine fa¸con. Le pire, en ce sens que la convexité a un effet diffusif : si deux particules suivent des trajectoires parallèles avant d’entrer toutes les deux en collision avec l’obstacle, après rebond les trajectoires seront divergentes, de sorte que les particules en question auront tendance à s’écarter l’une de l’autre, prévenant ainsi toute recollison. Lorsque le bord de l’obstacle est plat, on est dans la situation critique où l’effet diffusif est nul, et l’on pourrait alors redouter des complications relatives aux trajectoires que suivent les particules.

Cependant, le demi-espace simplifie encore davantage l’étude du problème. En effet, dans ce cas, non seulement la convexité permet d’obtenir des trajectoires simples, mais en plus elles deviennent explicites, ce qui facilite d’autant plus les calculs de recollisions.

Les nouveautés présentées ici et relatives à la présence de l’obstacle sont les suivantes.

• Le caractère bien posé, presque partout, du problème de Cauchy pour un système de sphères dures évoluant dans un domaine à bord a été l’occasion de revisiter la preuve d’Alexander [1], et conduit à l’obtention de l’énoncé de la Proposition 2, section 1.2 page 55.

• L’obtention de la hiérarchie BBGKY dans le cas de la présence d’un obstacle suit les travaux fondamentaux des pionniers de la hiérarchie BBGKY. La présentation de cette dérivation est très proche de celle de [34]. Il convient de remarquer que le terme B (voir l’équation (2.14) page 71) est spécifique au cas du domaine à bord, et que si un autre modèle d’in- teraction avec le bord du domaine avait été choisi, ce terme aurait été radicalement différent.

• Le coeur du travail présenté ici est l’adaptation au cas du domaine à bord des lemmes géométriques ayant pour but de contrôler les trajectoires pathologiques au sens de [25]. La présence d’un obstacle complique sérieusement le lemme de tir présenté dans [34]1 ainsi que la proposition fondamentale qui empêche l’apparition de recollision lorsque l’on ajoute une autre particule à un système de sphères dures qui n’aurait pas subi de recollision sans cet ajout2_{. Ces modifications dans le cas de la pr´}_{esence d’un}

obstacle sont soigneusement détaillées dans la section 12.2, débutant page 333. Il est à noter que pour que l’analogue de la Proposition 12.1.1 de [34] fonctionne, on a dû introduire un cut-off supplémentaire en la proximité des particules au moment d’une collision. Ce cut-off est traité dans la même

1_{Voir la section 12.2 ”Geometrical lemmas”.}

3.1. LA PREUVE DU TH ÉOR ÈME DE LANFORD D ÉTAILL ÉE 41

section 12.2, et il ne change pas fondamentalement la vitesse de convergence obtenue dans le résultat final. En revanche, il nécessite l’écriture d’un lemme supplémentaire de scattering, très similaire au lemme 12.2.2 de [34]3_{. Ce nouveau lemme est pr´}_esent´_{e dans la section 12.2.5 page 368.}

• Enfin, un soin tout particulier a été apporté à la définition rigoureuse du cadre fonctionnel dans lequel on définit puis on résout la hiérarchie BBGKY et la hiérarchie de Boltzmann. C’est l’objet des sections 5, 6 and 7. En particulier, la plus longue partie4 _{concerne la d´}_{efinition rigoureuse}

de l’op´erateur de transport-collision de la hi´erarchie BBGKY.

Il est à noter que tous les résultats intermédiaires présentés et les arguments développés dans ce travail au sujet de la définition rigoureuse de l’opérateur de transport-collision de la hiérarchie BBGKY peuvent déjà être trouvés dans [34]5_{, sous une forme plutˆ}_{ot succinte. Ici, on s’est at-}

taché à détailler chacun de ces arguments, puisque l’étape de la définition rigoureuse de la hiérarchie BBGKY est à la fois cruciale et délicate.

A ce stade du texte, il est sans doute utile de pr´eciser une derni`ere chose `

a ce sujet : on montre dans la section 5.1 que la hiérarchie BBGKY fait sens pour des fonctions continues en temps, à valeurs dans les fonctions L∞sur l’espace des phases, et qui vérifient une condition de décroissance en vitesse : c’est la conclusion du Théorème 1 page 137. En particulier, on ne sera pas contraint de se contenter de solutions au sens faible de la hiérarchie BBGKY.

3.2 La preuve du théorème de Lanford détaillée

Dans le document Mathematical derivation of the Boltzmann equation with boundary condition (Page 42-48)