Preuve du théorème principal

L’objectif de cette section est de démontrer le théorème 5.1.5. Pour cela, on va construire explicitement la fonction de Morsef :M →_R. Fixonsw∈_Rngénérique tel que le flotφ^t_w est acyclique. Notons p₁, . . . , p_V les points fixes de l’action ρ, et fixons c₁, . . . , c_V ∈_R tels que

∀1≤i, j ≤V, p_i →p_j =⇒ c_i < c_j

5.1. Points fixes de l’action et théorie de Morse

(c’est possible précisément précisément car φt

w est acyclique). Posons d⁻_i =c_i−

et d⁺_i = c_i + avec > 0 suffisamment petit de sorte que les intervalles [d⁻_i , d⁺_i ] soient deux à deux disjoints.

Étape 1 : construction locale autour de chaque point fixe

Soit U_i un voisinage de p_i avec coordonnées canoniques (x₁, . . . , x_n) centrées en

p, et B = (v1, . . . , vn) la base adaptée correspondante. Notons (α1, . . . , αn) les coordonnées de w dans la baseB. Ainsi,

X_w =α₁x₁ ^∂

∂x₁ ⁺· · ·+α_nx_n ^∂ ∂x_n^.

Définissons fi :Ui →_R par l’expression locale

f_i(x₁, . . . , x_n) =c_i−α₁^x 2 1 2 − · · · −α_n^x 2 n 2 ^.

Alors f_i est une fonction de Morse sur U_i avec un seul point singulier, le point p_i, d’indice Ind_p(w) = Ind_p(f). De plus, on a :

−X_w·f_i =α²₁x²₁+· · ·+α²_nx²_n≥0.

Étape 2 : prolongement le long des orbites de dimension 1

Supposons p_i →p_j. On a alors c_i < d⁺_i < d⁻_j < c_j. Soit O⁽¹⁾_i,j l’orbite de dimension 1 reliant pi à pj. Prenons une rectification du champ de vecteurs −Xw le long de cette orbite : soient q_i ∈U_i ∩ O_i,j⁽¹⁾,q_j =φT

w(q_i)∈U_j ∩ O_i,j⁽¹⁾, V_i,j un sous-ensemble de M, Ω un voisinage de 0 dans _Rⁿ⁻1 and ϕ_i,j :V_i,j →Ω×[0,1] tels que :

— ϕ⁻_i,j¹(Ω× {0})⊂ {p∈U_i |f_i(p) = d⁺_i }, — ϕ⁻_i,j¹(Ω× {1})⊂ {p∈U_j |f_j(p) = d⁻_j }, — ϕ⁻_i,j¹({0} ×[0,1]) ={ϕt

w(q_i)|0≤t≤1},

— (ϕ_i,j)∗(−X_w) = _∂t^∂ où (s₁, . . . , s_n−1, t) sont les coordonnées sur Ω×[0,1] (voir figure 5.2). Définissons alors f_i,j :U_i,j →_R par

fi,j ◦ϕ⁻_i,j¹(s, t) =d⁺_i +t(d⁻_j −d⁺_i ).

Alors f_i,j n’a pas de point singulier, et vérifie −X_w·f_i,j ≥ε_i,j >0.

Sans perte de généralité, on peut supposer U_i ∩ U_j = ∅ pour tout i 6= j et

U_i,j∩U<sub>k,`</sub> =∅ pour tout {i, j} 6={k, `}. Posons

5. Actions totalement hyperboliques de_Rn sur des n-variétés qi qj p_j p_i U_i Uj O_i,j⁽¹⁾ Vij

Figure ^{5.2. : Connexion des fonctions f}i etf_j le long de l’orbite O⁽¹⁾_i,j. et définissonsW_i,j comme l’intérieur de V_i,j (voir figure 5.3). Les applicationsf_i et

f_i,j définissent une fonction lisse sur W = (∪_iW_i)∪(∪_i,jW_i,j) et continue sur ¯W.

Étape 3 : prolongement à toute la variété

SoitW⁰ une composante connexe deM\W^¯. Étendonsf par continuité surW∪W^¯0

à l’aide du flot φt

w. Pour p∈∂W⁰, notons

T(p) = inf{t >0|φ^t_w(p)∈/ W⁰}.

Le flot φt

w n’ayant pas d’orbite périodique ni de point fixe dans ¯W⁰, pour tout

q∈W⁰ il existe un unique p∈∂W⁰ tel que q=φt

w(p) avec 0< t < T(p). Posons f(q) = ^T(p)−t T(p) ^{f(p) +} t T(p)^f(φ T(p) w (p)),

f étant déjà définie enpetφ^T_w^(p)(p) appartenant à ¯W. On obtient alors une fonction définie et continue sur ¯W ∪W^¯0, et lisse surW et sur W⁰.

De plus, par construction de W, p appartient au voisinage ¯U_i d’un point fixe

pi, φ^T_w^(p) appartient au voisinage ¯Uj d’un point fixe pj, et il existe une suite finie

p_i → · · · →p_j de points fixes, garantissantd^±_i < d^±_j . On a finalement :

(−X_w ·f)(q) = ^f(φ

T(p)

w )−f(p)

T(p) ^>0.

En répétant cette construction pour chaque composante connexe de M\W^¯, on obtient finalement une fonction f :M →_R vérifiant les propriétés suivantes :

5.1. Points fixes de l’action et théorie de Morse pi ou pi {fi =d^±_i } {f_i =d⁻_i } {f_i =d⁺_i } Ui W_i W_ij W_i Wij U_i Ind_pi(w) = 0 ou 2 ^Indpi(w) = 1

Figure ^{5.3. : Restriction de U}i à W_i en dimension 2.

— f est continue sur M,

— f est lisse sur une famille (Wλ)_λ d’ouverts de M telle que ∪λ_W¯_{λ =M,} — pour chaqueW_λ, la restriction de f àW_λ peut être prolongée en une fonction

lisse sur un ouvert contenant ¯W_λ, — −Xw·f ≥0 en tout point lisse de f,

— plus précisément, −X_w ·f ≥ > 0 en tout point lisse de f en dehors de voisinages des points fixes de ρ arbitrairement petits (c’est-à-dire que pour tout choix de voisinages des points fixes on peut trouver un tel ).

Étape 4 : lissage de la fonction

La dernière étape de cette démonstration est d’appliquer un opérateur de lissage à la fonction f : M → _R continue et « Morse par morceaux » que l’on vient de construire, et de montrer qu’on obtient alors une fonction de Morse avec exacte-ment les mêmes points singuliers et les mêmes indices.

On va utiliser l’opérateur de lissage introduit par de Rham dans [dR84]. Rappe-lons ici sa définition. On commence par fixer une fonctionr : [0,1[→[0,+∞[ lisse et strictement croissante, vérifiant

 



r(t) = t pour tout t≤1/3, r(t)≥t pour tout t >1/3.

5. Actions totalement hyperboliques de_Rn sur des n-variétés

Cette fonction détermine un difféomorphisme radialh :B₁ →_Rnde la boule unité de_Rⁿ dans _Rⁿ, défini par

∀x6= 0, h(x) = ^r(kxk) kxk ^x

(en particulier sa restriction à la bouleB_1/3 de rayon 1/3 est l’identité). Définissons alors pour toutv ∈_Rn un difféomorphismeσv :_Rn →_Rn par :

σ_v(x) =    h⁻¹(h(x) +v) si kxk<1, x si kxk ≥1.

Enfin, fixons une fonction χ : _Rn → _R lisse, de support contenu dans la boule unité fermée ¯B₁, et telle que

Z

Rⁿ

χ(v)dv = 1.

Supposons que Ω soit un ouvert de _Rⁿ contenant ¯B₁ (ainsi en particulier, Ω vérifie σ_v(Ω) = Ω pour tout v ∈ _Rn). Pour tout t > 1, on définit un opérateur de lissageR_t agissant sur les fonctions continues sur Ω de la manière suivante : étant donnée une fonctiong : Ω→_R, on pose

∀x∈Ω, (R_tg)(x) =

Z

Rⁿ

g◦σ_v(x)tⁿχ(tv)dv.

La fonctionR_tg : Ω→_R obtenue est lisse.

Lemme 5.1.7. Supposons Ω^¯ compact, et soit g : Ω → _R une fonction continue. Supposons qu’il existe s₀ > 0 tel que g se prolonge en une fonction lipschitzienne sur sur Ω_s0 = Ω +s₀B₁, vérifiant pour toutx∈Ω et pour tout 0≤s < s₀,

g(x+se₁)−g(x)≥sε (5.1.8)

(où e₁ = (1,0, . . . ,0) est le premier vecteur de la base canonique de _Rⁿ).

Alors pour tout 0 < ε⁰ < ε, il existe t₀ >1 tel que pour tout t≥ t₀, la fonction lissée R_tg : Ω→_R vérifie

∀x∈Ω, ^∂Rtg

∂x₁ ^(x)≥ε⁰.

Démonstration. Soit 0< ε⁰ < ε. Pour toutx∈Ω et pour tout 0≤s < s₀, (R_tg)(x+se₁)−(R_tg)(x) =

Z

Rⁿ

(g◦σ_v(x+se₁)−g◦σ_v(x))tⁿχ(tv)dv. (5.1.9)

5.1. Points fixes de l’action et théorie de Morse

Rappelons que χ est nulle en dehors de ¯B₁, ainsi l’intégrale ci-dessus peut en fait être calculée sur B_1/t⊂_Rn.

Soit F : ¯Ω×[0, s₀]×B^¯₁ →_Rn l’application lisse définie par

F(x, s, v) = σ_v(x+se₁)−se₁.

Notons k >0 la constante de Lipschitz deg. Par compacité, il existe η >0 tel que pour tous x∈Ω,s∈[0, s₀] et v ∈B^¯₁, sikvk ≤η alors

∂F ∂s^{(x, s, v)} = ∂F ∂s^{(x, s, v)}−^∂F ∂s^{(x, s,0)} ≤ ^ε−ε 0 k ^,

et par suite en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à s7→F(x, s, v), kσ_v(x+se₁)−se₁ −σ_v(x)k ≤ ^s(ε−ε

0)

k ^,

d’où en utilisant que g estk-lipschitzienne

s(ε⁰ −ε)≤g◦σ_v(x+se₁)−g(σ_v(x) +se₁)≤s(ε−ε⁰). (5.1.10) Or par hypothèse, on a pour tout v ∈_Rn

sε ≤g(σ_v(x) +se₁)−g◦σ_v(x). (5.1.11) Ainsi, en sommant les inégalités (5.1.10) et (5.1.11) et en injectant cette majoration dans l’expression (5.1.9), on obtient que pour tous t≥t₀ = 1/η,x∈Ω et 0≤s < s₀,

(R_tg)(x+se₁)−(R_tg)(x)≥sε⁰

Z

Rⁿ

tⁿχ(tv)dv =sε⁰.

En divisant les deux membres par s et en prenant la limite lorsque t tend vers 0, on obtient l’inégalité annoncée.

Lemme 5.1.12. Soit Ω_s0 un ouvert convexe et borné de _Rⁿ et g : Ω_s0 → _R une fonction continue. S’il existe des familles finies (Ω_i)_i∈I et (Ω⁰_i)_i∈I d’ouvert de _Rⁿ et (˜g_i : Ω⁰_i →_R)_i∈I telles que :

(5.1.12.a) ∪_i∈I_Ω¯

i recouvre Ω_s0, (5.1.12.b) pour tout i∈I, Ω^¯_i ⊂Ω⁰_i,

(5.1.12.c) pour tout i∈I, g et ˜g_i coïncident sur Ω^¯_i,

5. Actions totalement hyperboliques de_Rn sur des n-variétés

Démonstration. Soit i ∈ I. Sans perte de généralité, on peut supposer Ω⁰_i borné. Fixons un ouvert U_i de _Rⁿ tel que ¯Ω_i ⊂U_i ⊂U^¯_i ⊂Ω⁰_i. Alors

k= max

i∈I (sup{kd˜g_i(x)k |x∈U^¯_i})

est un nombre fini. Montrons que c’est la constante de Lipschitz deg.

Soient x₀, x₁ ∈ Ωs0. Ce dernier ouvert étant par hypothèse convexe, pour tout

t∈[0,1], le pointx_t = (1−t)x₀+tx₁ appartient à Ω_s0. Notons

T = sup{t ∈[0,1]| kg(x_t)−g(x₀)k ≤kkx_t−x₀k},

et supposons par l’absurde queT est strictement inférieur à 1. D’après (5.1.12.a), pour toutn > 1/(1−T), il existe un indice i_n ∈I tel que x_T+1/n ∈Ω^¯_in. Comme I

est fini, il existe notamment un indicei ∈I et une sous-suite (_n)_n≥n0 de la suite (1/n)_n≥n0 tels que pour toutn ≥n0, le pointxT+n appartient à ¯Ω_i. Par suite, à la limite lorsque n tend vers +∞, x_T appartient aussi à ¯Ω_i ⊂ U_i. Soit r >0 tel que la boule ouverteB(x_T, r) de centrex_T et de rayon r soit contenue dans U_i. Alors pour tout 0< δ < r/kx1−x0k, le pointxT+δ appartient à Ui, et d’après l’inégalité des valeurs intermédiaires on a

kg˜_i(x_T+δ)−g˜_i(x_T)k ≤kkx_T+δ−x_Tk.

En particulier, en prenantδ =_n, et en utilisant que x_T etx_T+n appartiennent à ¯

Ω_i où, d’après (5.1.12.c), les fonctions g et ˜g_i coïncident, on a pour tout n assez grand

kg(x_T+n)−g(x_T)k ≤kkx_T+n −x_Tk.

Or, par définition deT et par continuité deg, on a kg(x_T)−g(x₀)k ≤kkx_T −x₀k. Par suite,

kg(x_T+n)−g₍x₀)k ≥k(kx_T+n−x_Tk+kx_T −x₀k) = kkx_T+n −x₀k,

ce qui contredit le fait que T est supremum. C’est donc que T = 1, autrement dit kg(x₁)−g(x₀)k ≤kkx₁−x₀k.

Étendons la définition de l’opérateur de lissage à toute la variété M. Supposons que (V, ϕ) soit une carte locale de M telle que ¯B₁ soit inclus dans ϕ(V) (quitte à composer ϕ avec une transformation linéaire de _Rⁿ, on peut toujours supposer que cette dernière condition est vérifiée). On définit alors un opérateur de lissage

5.1. Points fixes de l’action et théorie de Morse

S_t,V agissant sur les fonctions continues f :M →_R par

∀p∈M, (S_t,Vf)(p) =    Rt(f◦ϕ⁻¹)(ϕ(p)) sip∈V, f(p) sinon. ^(5.1.13) La fonction S_t,V :M →_R obtenue est lisse sur V.

Proposition 5.1.14. Soit f :M →_Rune fonction continue sur une variété com-pacte M de dimension n. Supposons qu’il existe une famille finie(W_i)_i∈I d’ouverts de M, une famille finie (K_i)_i∈I de compacts (éventuellement vides) K_i ⊂ W_i, un champ de vecteur lisse X de flot φ^t sur M et un réel >0 tels que :

(5.1.14.a) la restriction de f à chaque W_i est une fonction de Morse (éventuel-lement sans singularité),

(5.1.14.b) l’ensemble S =∪i∈IWi sur lequel f est lisse vérifie S^¯=M,

(5.1.14.c) pour tout i ∈ I, il existe un ouvert W_i⁰ de M contenant W^¯_i et une fonction lisse f^˜_i :M →M tels que f et f^˜_i coïncident sur W^¯_i,

(5.1.14.d) pour tout p ∈ S, φt(p) ∈ S pour tout t ∈ _R sauf un nombre fini d’entre eux,

(5.1.14.e) pour toutp∈ S \(∪_iK_i), (X·f)(p)≥(en particulier les singularités de f et X appartiennent à ∪_iK_i).

Alors il existe un opérateur de lissageS_tsurM tout que pour toutt >0assez grand,

S_tf :M →_R est une fonction de Morse dont les singularités sont exactement les singularités de f sur S, avec chacune le même indice.

Démonstration. Notons ∆ l’ensemble des fonctionsF :M →_Rcontinues et telles que :

— F est lisse sur chaqueW_i,

— pour tout i ∈ I, il existe un ouvert W_i⁰ de M contenant ¯W_i et une fonction ˜

Fi :W_i⁰ →_R telle que F et ˜Fi coïncident sur ¯Wi,

— il existe ⁰ >0 tel que (X·F)(q)≥⁰ pour tout q∈ S \(∪_iK_i).

Soit p ∈ M \ S. En particulier, p /∈ ∪_iK_i et donc X(p) 6= 0. Ainsi, il existe une carte locale (Up, ϕp) centrée en pvérifiant

(ϕp)_∗X =αp

∂

5. Actions totalement hyperboliques de_Rn sur des n-variétés

Sans perte de généralité, on peut supposer ¯U_p∩K_i =∅ pour touti ∈I. De plus, quitte à multiplier ϕ_p par une constante positive assez grande, on peut supposer queϕ_p(U_p) contient la boule unité fermée ¯B₁. Soient V_p ⊂U_p un ouvert et s_p >0 tels que Ω_p = ϕ_p(V_p) soit convexe, borné, et contienne ¯B₁, et tels que Ω_p,sp =

ϕ_p(V_p) +s_pB₁ soit contenu dansϕ_p(U_p). Soit F ∈∆. Alors la fonction g =F ◦ϕ⁻1

p est continue sur Ω_p,sp. De plus,g est lisse sur

Ω_i =ϕ_p(V_p∩W_i) et s’étend en une fonction lisse ˜g_i = ˜F_i◦ϕ⁻1

p sur Ω⁰_i =ϕ_p(V_p∩W_i⁰).

Ainsi, d’après le lemme 5.1.12,g est une fonction lipschitzienne sur Ω_p,sp. Montrons maintenant que g vérifie de plus la condition (5.1.8). Soit q∈ V_p∩ S un point où

F est lisse, et soit 0 < s < s₀. D’après la condition (5.1.14.d), il existe une suite finie

0 =s₀ < s₁ <· · ·< s_k =s

telle que pour tout s⁰ ∈]s_j, s_j+1[, φs⁰(q) appartient à S. Comme ¯U_p ∩(∪_iK_i) = ∅, pour un tel s⁰ on a (X·F)(φs⁰(q))≥⁰. Ainsi, pour touts_j < a < b < s_j+1 on a

F(φ^b(q))−F(φ^a(q))≥(b−a)⁰,

et par continuité l’inégalité reste valable pour a = s_j et b = s_j+1. Sommant ces inégalité pourj allant de 0 àk−1 on obtient finalement

F(φ^s(q))−F(q)≥s⁰.

Par continuité, on étend ce résultat à tout q ∈ V_p∩ S = V_p. Autrement dit, la fonction g =F ◦ϕ⁻¹ vérifie pour tous x∈Ω_p et 0< s < s₀ :

g(x+se₁)−g(x)≥s⁰/α_p.

On est donc maintenant en mesure d’appliquer le lemme 5.1.7 : fixons 0< ⁰⁰ < ⁰, alors il existe tp >1 tel que pour tout t≥t₀ et pour tout x∈Ωp,

∂Rtg

∂x₁ ≥⁰⁰/α_p.

De manière équivalente, en notant S_t,p l’opérateur de régularisation défini sur V_p

par la formule (5.1.13), on a pour tout t≥t₀ et pour tout q ∈V_p, (X·S_t,pF)(q)≥⁰⁰.

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