On veut prouver le théorème suivant :
Théorème 4.16.1 (Structure amassée sur les strates de variétés de drapeaux). Le module µ•(Vw) est
une graine pour la structure amassée sur la catégorie Cv,w.
Pour prouver ce théorème on va en fait chercher à prouver plusieurs résultats :
Proposition 4.16.2. Le module µ•(Vw) est dans Cv,w
Démonstration. Le module de la graine µ•(Vw) est l’image par mutations et suppressions successives de facteurs directs d’un module Vw∈ Cw. La catégorie Cw étant stable par mutations et facteurs directs, il est immédiat que le module de µ•(Vw) est un module de Cw.
Pour prouver l’appartenance de Cv, on va utiliser le point1du théorème4.6.1. En effet, si l’on prend
m = ℓ, on a que tous les modules Vi de la graine ont des coordonnées d’indice inférieur ou égal à ℓ toutes nulles pour leur ∆˙v-vecteur ainsi tous les facteurs directs du module sont dans Cv. Cette catégorie étant stable par somme directe, on a que la somme directe des modules est dans Cvet donc le module de µ•(Vw) est dans Cv par la proposition2.10.3. Il est donc dans Cv,w.
Proposition 4.16.3. Le module µ•(Vw) est rigide.
Démonstration. Le module initial Vw est rigide car c’est une graine pour la structure amassée sur la catégorie Cw. De plus on sait que la rigidité est conservé par les mutations. D’autre part si un module M est rigide, par définition, pour tout sous-module N ⊂ M, N est rigide aussi. µ•(Vw) se décomposant en une succession de mutations élémentaires et de suppression de facteurs directs (un module ainsi privé d’un facteur direct étant un sous-module du module originel), la rigidité de Vw entraîne celle de µ•(Vw).
4.16. Preuve du théorème final 103
Démonstration. On rappelle qu’un module rigide est dit maximal dans la catégorie C, s’il est rigide et
qu’il possède le nombre maximal de facteurs directs irréductibles possibles dans la catégorie.
Par la proposition4.16.3, on sait que µ•(Vw) est rigide. Par la proposition2.7.18, on sait qu’un module rigide maximal de Cv,wa ℓ(w) −ℓ(v) facteurs directs distincts. D’autre part, initialement Vwpossède ℓ(w) facteurs directs irréductibles distincts. A la fin de µ•, on retire les modules dont les indices appartiennent
à [
k∈I
{1 ≤ j ≤ ℓ(w) | ij = ik| j > (jmax)α<(k,ℓ)−
}.
Le cardinal de cet ensemble est X
k∈I
α(k, ℓ) = ℓ.
Ainsi µ•(Vw) possède ℓ(w) − ℓ(v) facteurs directs indécomposable distincts, est rigide et appartient à la catégorie Cv,w. C’est donc un module rigide maximal de Cv,w.
Preuve du théorème4.16.1. Par la définition2.6.9, un module rigide maximal basique sur l’algèbre pré-projective est une graine pour la structure amassée sur la catégorie. Par la proposition4.16.4, on a donc
µ•(Vw) qui est une graine pour la structure amassées sur Cv,w.
Proposition 4.16.5. Les facteurs directsCv,w-projectifs de µ•(Vw) correspondent aux sommets de ΓRℓ adjacents à l’un des sommets supprimés par S et aux sommets du carquois ΓRℓ qui ne sont adjacents à aucun autre sommet de ΓRℓ.
Démonstration. Un module ne relevant d’aucune des deux catégories de la proposition est donc dans Cv,w
et adjacent uniquement à des facteurs directs de Cv,w. Donc si on le mute il est encore dans Cv,w. Si le sommet Rk qu’on va muter est adjacent à l’un des sommets de Cw\Cv,w, le sommet muté appartiendra à Cw\Cv,w, ainsi il n’est pas Cv,w-mutable et est donc Cv,w-projectif.
Si le sommet n’est adjacent à aucun autre, il n’est pas non plus mutable et donc Cv,w-projectif.
Proposition 4.16.6. Le carquois ΓRℓ(v) obtenu à partir de celui de Vw par les mutations successives de µ• et le retrait des sommets est le carquois du module µ•(Vw).
Démonstration. Par la proposition4.16.5, les facteurs supprimés ne sont adjacents à aucun sommet non Cv,w-projectif. Ainsi la suppression de ces sommets ne supprime aucun flèche entre un facteur mutable et un facteur (mutable ou Cv,w-projectif).
Le carquois obtenu, qui est un sous-carquois plein du carquois d’une graine de Cw, est donc le carquois d’une graine de Cv,w.
CHAPITRE
5
Applications du théorème
5.1 Équivalence de la définition des algorithmes de mutation
A la section3.1, on a donné deux définitions pour la suite de mutations-suppressions à effectuer. À l’aide de la preuve du théorème4.6.1, on peut maintenant prouver l’équivalence des deux définitions.
Proposition 5.1.1. Pour tout m, on a eµm= bµm.
Démonstration. On va utiliser les résultats du théorème4.6.1pour en déduire les mutations définies par ˆµ. En effet, ici on ne va s’intéresser qu’aux coordonnées des ∆˙v-vecteurs d’indice ≤ ℓ.
On a donc que les coordonnées d’indice m non-nulles sont sur les modules Rk,m−1 de la graine ˆµm−1· · · ˆµ1(Vw) tels que ik= ipm. Et parmi ceux là, en fait on a ceux tels que
fmin(k)α(k,m−1)⊕
≤ m ≤ f(kα(k,m−1)+) et tels que k < (kmax)α(k,m)− (cf. définition3.2.1).
Le module de plus petit indice qui sera muté, s’il existe, est Rk,m−1 tel que m = f(kα(k,m−1)+). Celui de plus grand indice est celui d’indice (kmax)α(k,m)−.
D’autre part, par définition de eµm, on a qu’à ce point là, on va muter les sommets ((pm)min)βm+, . . . , ((pm)max)(γm)−.
De plus on rappelle que par définition γm = α(pm, m) et donc finalement eµm mute les sommets d’indices
((pm)min)βm+, . . . , ((pm)max)α(pm,m)−.
Il nous faut donc montrer que
k = (kmax)α(k,m)−
⇔ k = ((pm)max)α(pm,m)−,
et
m = f (kα(k,m−1)+) ⇔ k = ((pm)min)βm+.
Pour la première équivalence, comme (pm)max= kmax et α(pm, m) = α(k, m), elle est évidente.
Pour la deuxième équivalence, par définition de f on a que le plus petit k tel que f(kα(k,m−1)+) = m est celui vérifiant
kα(k,m−1)+= pm.
En effet, il vérifie bien l’égalité et si on a un j de même couleur tel que jα(k,m−1)+< kα(k,m−1)+ alors
jα(k,m−1)+< pmet f(jα(k,m−1)+) < m. Ainsi l’équivalence peut se réécrire :
pm= kα(k,m−1)+
⇔ ((pm)min)βm+= k.
On part du membre de droite auquel on applique (γm− 1)+ = (α(k, m) − 1)+ = α(k, m − 1)+ car
ik = ipm, on a alors
((pm)min)(γm+βm−1)+= k(α(k,m−1))+.
Or on sait que γm+ βm = Card{1 ≤ k ≤ pm | ik = ipm} c’est à dire le nombre de lettres de couleur
ipm d’indice inférieur ou égal à pm dans w. Alors, si on part de la première lettre de w de couleur ipm
et qu’on la décale du nombre de lettres de même couleur dans w≤pm on atteint l’indice p+
m et donc ici ((pm)min)(γm+βm−1)+= pmet on a bien pm= kα(k,m−1)+.
Ainsi, les deux définitions de mutations mutent les mêmes sommets dans le même ordre, elles sont donc équivalentes.
Corollaire 5.1.2. On a µ•(Vw) = µ•(Vw).