Preuve du th´eor`eme de Hewitt-Savage

= Z

P(E)

ρ^⊗k, ϕ ˆ π(dρ) (3.1.1)

avec

(3.1.2)

ρ^⊗k, ϕ

= Z

E^k

ϕ(x1, ..., xk)ρ(dx1)... ρ(dxk) =Rϕ(ρ).

Or, ρ7→ Rϕ(ρ) ∈Cb(P(E)) comme nous l’avons vu `a la section 2.1 et sur l’espace polonaisP(E) on a d´efini une tribu grˆace au Lemme 1.5.40. Ainsi donc, la derni`ere int´egrale dans (3.1.1) est bien d´efinie au sens de Lebesgue.

3. Insistons sur le point fondamental pr´ec´edent. La relation liant πˆ et πk est : (3.1.3) ∀ϕ∈Cb(E^k) hπk, ϕi=

Z

P(E)

Rϕ(ρ) ˆπ(dρ).

4. Pourα =δ_µ et β = ¹₂ δ_µ1 +¹₂δ_µ2 on trouve respectivement αk(dx1, ..., dxk) =

Yk

i=1

µ(dxi).

βk(dx1, ..., dxk) = 1 2

Yk

i=1

µ1(dxi) + 1 2

Yk

i=1

µ2(dxi).

5. Concernant la derni`ere int´egrale dans (iv), on sait que P(E^∞) est un espace polonais et on montrera que P(Ee ^∞) est un sous espace ferm´e de P(E^∞), de sorte que l’on peut munir P(Ee ^∞) de la tribu trace de B_P(E∞) et d´efinir ainsi au sens de Lebesgue cette int´egrale.

3.2 Preuve du th´ eor` eme de Hewitt-Savage.

Nous allons essentiellement donner deux preuves de ce th´eor`eme. L’une reprend l’argument de E. Hewitt et L.J. Savage et repose sur le th´eor`eme de Krein-Milman.

L’autre est due `a P.L. -Lions et repose sur le th´eor`eme de Stone-Weierstrass. Le fait que (i) soit impliqu´e par (ii), (iii) ou (iv) est trivial. L’implication (i) ⇒ (ii) et l’´equivalence (iii) ⇔ (iv) reposent sur des arguments de la th´eorie de la mesure assez standards. Les deux implications d´elicates sont donc (i)⇒(iii) et (ii)⇒(iv).

3.2.1 Preuve de (iii) ⇒ (i) et (i) ⇔ (ii).

(iii) ⇒ (i). Pour π ∈ P(P(E)) donn´ee, il est clair que πk d´efinie par (3.1.1)-(3.1.2) est sym´etrique et que la famille des (πk) est compatible.

(i) ⇔ (ii). Les (πk) ´etant compatibles, le th´eor`eme de Kolmogorov A.5.10 affirme qu’il existeπ ∈P(E^∞) unique caract´eris´ee par πk(A) =π(CA) pour tout A∈B_Ek. Il est alors imm´ediat que π ∈Psym(E^∞).

3.2.2 Preuve de (i) ⇒ (iii) dans le cas E compact.

On suppose de plus queE est compact. On commence par d´efinirπ :P(P(E))→R comme forme lin´eaire en posant

π(Rϕ) =πj(ϕ) = Z

E^j

ϕ(x1, ..., xj)π(dx1, ..., dxj)

pour tout polynˆome Rϕ de degr´e j, avec donc ϕ ∈ C(E^j). La compatibilit´e des (πj) implique la lin´earit´e de π. Grˆace `a la compatibilit´e et la sym´etrie de πN, pour ϕ ∈C(E^j), on a

(3.2.4) πj(ϕ) =πN(ϕ⊗1^⊗(N−j)) =πN(ϕ⊗^1^⊗(N−j)).

Grˆace au lemme 2.1.4, on en d´eduit que π est continue pour la norme de C(P(E)) puisque pour tout Rϕ ∈P(P(E)) et toutN ∈N^∗ on a

|π(Rϕ)| = |πN(ϕ⊗^1^⊗(N−j))|

≤ kϕ⊗^1^⊗(N−j)kC(E^N) ≤ sup

X∈E^N|Rϕ◦µ^N_X|+ 2j² kϕk N et donc en passant `a la limite N → ∞

|π(Rϕ)| ≤ sup

m∈P(E)|Rϕ(m)|=kRϕkC(P(E)).

Comme les polynˆomes sont denses dansC(P(E)), il suffit de d´efinirπ en g´en´eral en posant

∀ψ ∈C(P(E)) hπ, ψi= lim

j→∞hπ, Rji pour une suite de polynˆomesRj → ψ.

On a π(1) = 1. Enfin, si Rϕ ≥ 0 avec ϕ ∈ C(E^j), cela signifie, par d´efinition, Rϕ(m)≥0 ∀m∈P(E), en particulier Rϕ◦µ^N_X ≥0. On conclut que

π(Rϕ) = lim

N→∞πN(ϕ⊗^1^⊗(N−j))≥lim inf

N→∞ [πN(Rϕ◦µ^N_X)−kϕk N ]≥0.

On a donc d´efiniπ comme forme lin´eaire continue positive de masse 1 surC(P(E)), donc comme un ´el´ement de P(P(E)). Enfin, on a bien (3.1.3).

3.2.3 Preuve de (i) ⇒ (iii) dans le cas E g´ en´ eral.

On suppose maintenant seulementE polonais et localement compact. Soit Eb= E ∪ {∞} le compactifi´e d’Alexandroff de E qui est muni d’une structure d’espace m´etrique compact (voir la section A.4 de l’annexe). Appliquant l’implication (i) ⇒ (iii) `a la suite sym´etrique et compatible (πj) de P(E^j)⊂P(Eb^j), il vient

(3.2.5) ∃π ∈P(P(E)) telle queb πj = Z

P(E)b

ρ^⊗jπ(dρ) ∀j ≥1.

Il s’agit maintenant de montrer que suppπ⊂P(E), ce qui permettra de consid´erer π|P(E) =π comme un ´el´ement de P(P(E)), et terminera la preuve.

A cette fin, on d´efinit ˆρ ∈ P( ˆE) la masse de dirac en ∞, ˆρ({∞}) = 1, et A := P(E)b \(P(E)∪ {ρˆ}). De cette fa¸con on a P(E) =b P(E)∪A∪ {ρˆ} disjoints deux `a deux, et tel que

ρ∈P(E)⇒ρ(E) = 1, ρ∈A⇒0< ρ(E)<1, ρ(E) = 0.ˆ Comme par hypoth`ese π1 ∈P(E), on a grˆace `a (3.2.5)

(3.2.6)

1 =π1(E) = Z

P(E)b

ρ(E)π(dρ)

= Z

P(E)

ρ(E)| {z }

=1

π(dρ) + Z

A

ρ(E)π(dρ) + ˆρ(E)

| {z }

=0

π({ρˆ})

=π(P(E)) + Z

A

ρ(E)| {z }

<1

π(dρ).

Supposons par contradictionπ(A)>0. On d´eduit alors de (3.2.6) que 1< π(P(E)) +

Z

A

π(dρ)≤π(P(E)) +π(A) +π({ρˆ}) = 1,

ce qui est absurde, et doncπ(A) = 0. Combin´e `a (3.2.6), cela impliqueπ(P(E)) = 1.

⊓

⊔

3.2.4 Preuve de (iii) ⇔ (iv).

Commen¸cons par un lemme.

Lemme 3.2.6 Soit E un espace polonais. L’applicationΛ :P(E)→P(Ee ^∞),µ 7→ Λ(µ) :=mµ= µ^⊗∞ est un hom´eomorphisme entre espaces topologiques dont l’inverse estΛ⁻¹:P(Ee ^∞)→P(E), α=mµ7→Λ⁻¹(α) = Π1α=µ.

Preuve du Lemme 3.2.6. Etape 1. Par d´efinition l’application Λ est bijective. Par d´efinition

´egalement on munit P(Ee ^∞) de la topologie trace de P(E^∞) que l’on rappelle ˆetre d´efinie pour une suite (α^N) de P(E^∞) et α ∈ P(E^∞) par α^N → α si, et seulement si, Πkα^N → Πkα dans P(E^k) pour tout k ≥ 1². On en d´eduit en particulier que mµⁿ → mµ dans P(Ee ^∞) implique µⁿ= Π1mµⁿ →Π1mµ=µ, et donc Λ⁻¹est continue.

Etape 2.Λest continue dans le cas compact. Soitµn→µfaiblement dansP(E). Commemµ_n ∈ P(E^∞) un compact, il existen^′ une sous-suite, il existe ¯m∈P(E) telle quemµ_n′ →m¯ faiblement dansP(E^∞). Alors pour toutf =f1⊗...⊗fk on a

mµ_n′(f) =µn^′(f1)... µn^′(fk) → µ(f1)... µ(fk) =mµ(f).

Cela permet d’identifier ¯m=mµ et montre (par unicit´e de la limite) que Λ est continue.

2voir le lemme A.5.11 de l’appendice

Etape 3. Λ est continue dans le cas g´en´eral. Le seul point `a modifier est que maintenant la s´equentielle compacit´e de la suite (mµn) n’est pas automatique : il faut v´erifier un crit`ere de tension. Puisqueµn → µ, cette suites est tendue dans P(E) : ∀ε >0 il existeKε⊂E compact tel que µn(E\Kε) ≤ ε. Pour tout k ≥ 1 on d´efinit le cylindre Ck = C(Kε2^−k, ..., Kε2^−k) (avec k r´epliques de Kε2^−k) et l’ensemble K := C1∩...∩Ck∩... On v´erifie, en utilisant un proc´ed´e d’extraction diagonale de Cantor³, queKest un compact deE^∞. De plus, on a

∀n≥1 mµn(E^∞\K)≤ X∞ k=1

mµn(E^∞\Ck)≤ε.

Cela implique que la suite (mµn) est tendue, et on conclut de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment.

⊓

⊔

(iii)⇒(iv). Supposons (iii) et d´efinissons ˜π:= Λ♯ˆπ, soit donc pour toute fonction mesurable Φ sur P(E˜ ^∞)

(iv) ⇔ (iii) Inversement, supposons maintenant (iv) et d´efinissons ˆπ := Λ⁻¹♯˜π, soit donc pour toute fonction mesurable Φ surP(E)

Z

3.2.5 Preuve (directe) de (ii) ⇒ (iv) dans le cas d’un espace compact

Lemme 3.2.7 SupposonsE compact. Soitm∈P(E^∞). Il y a ´equivalence entre (i) m∈Psym(E^∞);

En particulier, l’espacePsym(E^∞)est ferm´e (au sens de la convergence faible) dansP(E^∞), donc c’est un espace convexe et compact.

3voir la preuve du lemme 3.3.13 ci-dessous

Preuve du Lemme 3.2.7. L’´equivalence (i) ⇔(iii) est claire, il suffit d’utiliser un argument d’ap-proximation dans les deux cas :f = limfn avecfn fonctions ´etag´ees sif ∈C(E) et1A= limϕn

avecϕn+1 ≥ϕn ∈C(E) si Aest un ouvert, et de passer `a la limite dans les d´efinitions. L’impli-cation (ii) ⇒ (i) ´est imm´ediate, et l’implication inverse est une cons´equence du lemme de classe monotone (puisque les pav´es engendrent la tribuB<sub>E</sub>∞). Pour montrer quem∈Psym(E<sup>∞</sup>) il suffit maintenant d’utiliser le crit`ere (iii) : si (mn) est une suite dePsym(E^∞) telle quemⁿ→m faible-ment dans P(E^∞) cela implique que (est ´equivalent `a ce que) m<sup>n</sup><sub>k</sub> →mk faiblement dansP(E<sup>k</sup>) pour toutk≥1, de sorte que en passant `a la limite dans les relations (iii) pour mⁿ on en d´eduit quemsatisfait ces mˆemes identit´es et que doncm∈Psym(E^∞). CommeP(E^∞) est compact, cela

En particulier, l’espace P(Ee ^∞)est ferm´e (au sens de la convergence faible) dansP(E^∞).

Preuve du Lemme 3.2.8. Elle est semblable `a la preuve du Lemme 3.2.7. ⊔⊓ Dans la suite, pour des ensembles F1, . . . , Fk∈B_E on noteC(F1, . . . , Fk) le cylindre carmest sym´etrique. De fa¸con similaire, on calcule

(3.2.9)

Maintenant, appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz avec (3.2.8) et (3.2.9), on obtient

(3.2.10)

Ainsi, on a d´emontr´e

m(A)²≤ 1

ℓm(A) + (1−1 ℓ)m(B)

≤m(B) +1

ℓ(m(A)−m(B))

≤m(B) +1 ℓ,

et comme cela est vrai∀ℓ∈N^∗ on en d´eduit (3.2.7). ⊔⊓

Proposition 3.2.1 Soitm∈Psym(E^∞)v´erifiant l’´egalit´e dans(3.2.7)pour tout cylindreA. Alors m est un point extr´emal dePsym(E^∞). En particulier,P(E˜ ^∞)⊂ Ext(Psym(E^∞)).

Preuve de la Proposition 3.2.1. On suppose que m n’est pas un point extr´emal de Psym(E^∞).

Alors∃m1, m2∈Psym(E^∞) distincts et 0< t <1 tel que m=t m1+ (1−t)m2

Comme m1, m2 sont distincts on peut choisir un cylindre A = C(E1, . . . , En) tel que m1(A) 6= m2(A). On poseB=C(E1, . . . , En, E1, . . . , En). D’une part, en utilisant (3.2.7), on a

(3.2.11) m(B) =t m1(B) + (1−t)m2(B)≥t m1(A)²+ (1−t)m2(A)². D’autre part, on a

m(A) =t m1(A) + (1−t)m2(A),

et puisquem1(A)6=m2(A), 0< t <1, par convexit´e stricte de l’applicationα7→α², on d´eduit (3.2.12) m(A)²< t m1(A)²+ (1−t)m2(A)².

En combinant (3.2.11) et (3.2.12) on obtient l’in´egalit´e strictem(A)²< m(B). Par cons´equent, si m∈Psym(E^∞) v´erifie l’´egalit´e dans (3.2.7) pour tout cylindreAalorsmest un point extr´emal de Psym(E^∞). Or, sim=mµ ∈P(E˜ ^∞) il est clair que mv´erifie l’´egalit´e dans (3.2.7). En effet pour A=C(E1, . . . , En) etB=C(E1, . . . , En, E1, . . . , En) on a

m(A) = µ(E1)· · ·µ(En), m(B) =µ(E1)· · ·µ(En)µ(E1)· · ·µ(En)

et doncm(A)² = m(B). Cela d´emontre bien l’inclusion ˜P(E^∞)⊂ Ext(Psym(E^∞)). ⊔⊓ Proposition 3.2.2 Aucune probabilit´em∈Psym(E^∞)\P(Ee ^∞)n’est un point extr´emal. En par-ticulier,P(E˜ ^∞)⊃ Ext(Psym(E^∞)).

Preuve de la Proposition 3.2.2. Commem∈Psym(E^∞)\P(Ee ^∞) il existeF0, F1, . . . , Fn∈B_Etel que

(3.2.13) m(C(F0, F1, . . . , Fn))6=m(C(F0))m(C(F1, . . . , Fn)), puisque dans le cas contraire, en posantµ(F0) :=m(C(F0)), on auraitm=mµ.

On commence par remarquer que n´ecessairement 0 < m(C(F0)) < 1. En effet, d’une part m(C(F0)) = 0 impliquem(C(F0, F1, . . . , Fn)) = 0 et on aurait ´egalit´e dans (3.2.13). D’autre part, sim(C(F0)) = 1, on am(C(E\F0, F1, . . . , Fn))≤m(C(E\F0)) = 0, et de la relation

1 =m(C(F0, F1, . . . , Fn)) +m(C(E\F0, F1, . . . , Fn)) +m(C(E, Eⁿ\(F1× · · · ×Fn)), on tire

m(C(F0, F1, . . . , Fn)) = 1−m(C(Eⁿ\(F1× · · · ×Fn)) =m(C(F1, . . . , Fn)),

ce qui implique une ´egalit´e dans (3.2.13).

Pour A = C(A1, . . . , An) ∈ B_E∞, on pose ¯A = C(E, A1, . . . , An). En utilisant le fait que m(A) =m( ¯A) par sym´etrie dem, on peut ´ecrire

(3.2.14)

m(A) =m( ¯A|C(F0))m(C(F0)) +m( ¯A|C(F₀^c))m(C(F₀^c))

=m(C(F0))

| {z }

t

m( ¯A|C(F0))

| {z }

m1(A)

+ (1−m(C(F0)))

| {z }

1−t

m( ¯A|C(F₀^c))

| {z }

m2(A)

=tm1(A) + (1−t)m2(A),

avec m1, m2 ∈ Psym(E^∞) distincts, 0 < t < 1, et c’est pr´ecis´ement ce qu’il fallait d´emontrer :

m /∈ Ext(Psym(E^∞)). ⊔⊓

Preuve de (ii) ⇒ (iv). En r´esum´e, on a d´emontr´e que Psym(E^∞) est un convexe compact et queExt(Psym(E^∞)) =P(Ee ^∞) est ferm´e. Alors d’apr`es le th´eor`eme A.3.8 de Choquet, pour tout π∈Psym(E^∞) il existe une mesure de probabilit´eP(P(Ee ^∞)) telle que

π= Z

P(Ee ^∞)

απ(dα),˜

ce qui est bien (iv) en appliquant la projection Πk de part et autre de cette ´egalit´e. ⊔⊓

Dans le document St´ephaneMISCHLER( mischleratceremadedotdauphinedotfr )2mars2011 Coursdel’EcoledoctoraleEDDIMO:Estimationquantitativeetuniformeentempsdelapropagationduchaosetintroductionauxlimitesdechampmoyenpourdessyst`emesdeparticules-VERSIONPROVISOIRE- (Page 75-81)