On se donne un espace polonais E muni de sa distance d=dE, de sa topologie induiteO =OE et de sa tribu bor´elienneB =BE.
Espace produit. On d´efinit E∞ = EN l’espace produit (des suites de E) : X ∈ EN si X= (xn)n∈N avec xn ∈E.
Distance produit. On d´efinit la fonction D:EN×EN →R+ par D(X, Y) =
X∞ n=0
1
2nmin{d(xn, yn),1}, X = (xn)n∈N, Y = (yn)n∈N. AlorsD est une distance.
Toplogie produit. On d´efinit la topologie produit O1 sur E∞ comme la famille des ensembles de la formeCO lorsqueO ∈OEk etk ≥1. On d´efinit la topologie produit O2 sur E∞comme la topologie induite par la distanceD. On montre alorsO1 =O2, topologie que l’on note OE∞. Si E est compact alors E∞ est compact et si E est polonais alors E∞ est polonais.
Tribu produit.On d´efinit la tribu produitT1surE∞comme ´etant la tribu engendr´ee par les ensembles A=A0×A1×...⊂E∞ avec An∈B et il existe J sous-ensemble fini de N tel que An= E ∀n /∈ J. On d´efinit la tribu produit T2 sur E∞ comme la tribu engendr´ee par la distance produit D / la topologie produitBE∞. On montre alors T1 =T2, tribu que l’on note BE∞.
Probabilit´es sur l’espace produit. On note Πk :EN →Ek,k < N ≤ ∞l’application qui `a X = (xn)n≤N ∈ EN associe ΠkX = (xn)n≤k ∈ Ek. On dit qu’une suite (πN)∈P(EN), N ∈N∗, est compatible si ΠkπN =πk si N ≥k o`u par d´efinition
ΠkπN ∈P(Ek) (ΠkπN)(A1×...×Ak) =πN(A1×...×Ak×E×...).
Il est clair que pour toute mesure de probabilit´eπ∈P(E∞) on d´efinit une famille de mesures de probabilit´e compatibles en posant πn:= Πnπ. Inversement, le th´eor`eme
de Kolmogorov affirme qu’´etant donn´ee une famille (πn) de mesures de probabilit´e compatibles il existe une (unique) mesure de probabilit´eπ ∈P(E∞) telle que πn:=
Πnπ pour tout n≥1.
Th´eor`eme A.5.10 (de Kolmogorov)
Convergence faible sur l’espace des probabilit´es sur l’espace produit.
Lemme A.5.11 Pour une suite (αj) de P(E∞) et α ∈ P(E∞) il y a ´equivalence entre
(1) αj →α au sens de la convergence faible de P(E∞);
(2) Πk(αj)→Πk(α) au sens de la convergence faible de P(Ek).
Preuve du Lemme A.5.11. Comme il n’est pas forc´ement pratique de d´efinir (1) `a l’aide de la d´efinition usuelle
hαj,Φi → hα,Φi ∀Φ∈Cb(E∞),
nous utilisons le crit`ere (ii) du Th´eor`eme 1.5.26. On a ´evidemment (c’est la d´efinition de la topologie OE∞) l’´equivalence suivante
(1′) lim infαj(CO)≥α(CO) pour tout CO ∈OE∞;
(2′) lim infαjk(O)≥αk(O) pour tout O∈OEk et tout k≥1.
Et on conclut en utilisant l’´equivalence (i)⇔(ii) dans le Th´eor`eme 1.5.26. ⊓⊔ (i) Etant donn´e un espace polonaisE, on d´efinitE∞=EN∗ l’espace produit (des suites de E) qui est un espace polonais lorsqu’il est muni de la distance canonique.
On d´efinit sa tribu bor´elienne BE∞ qui est ´egalement la tribu engendr´ee par les cyindres, i.e. les ensembles de la forme
CA =A×E×...×E×..., . avec A∈ BEk ou mˆeme A=A1×...×Ak∈B⊗k
E .
C’est exactement le th´eor`eme de Kolmogorov qui affirme qu’une mesure sur un espace produit infini est bien d´efini, et de mani`ere unique, par l’ensemble de ses marginales ou formul´e d’une autre mani`ere, par une famille de mesures de EN compatibles : il existe ˜π ∈P(EN) telle que
˜ π(
Y∞ j=1
A˜j) = πk( Yk i=1
Ai).
pour tout Q∞
j=1A˜j ∈ B(E)⊗N tel que ˜Aj = E pour tout j 6= ji, i = 1, ..., k et A˜ji =Ai pour touti= 1, ..., k.
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