Premiers résultats et analyse

ú ˆqk+1|k o ˆas,k+1|k+1= ˆas,k+1|k+ K⁽⁸⁾_k+1 ^ˆqk+1|kú⇥z1:3 k+1≠ ˆy^1:3_k+1|k^⇤ú ˆq^≠1_k+1|k ˆas,k+1|kˆb≠1 s,k+1|kˆqk+1|kú⇥z4:6 k+1≠ ˆy^4:6_k+1|k^⇤ú ˆq_k^≠1_+1|k ! o ˆb_s,k+1|k+1= ˆbs,k+1|k+ K⁽⁹⁾_k+1 ˆ_bs,k+1|kˆa≠1 s,k+1|kˆqk+1|kú⇥z1:3 k+1≠ ˆy^1:3_k+1|k^⇤ú ˆq^≠1_k+1|k ˆq_k+1|kú⇥z4:6 k+1≠ ˆy^4:6_k+1|k^⇤ú ˆq_k^≠1_+1|k !

4.5.2 Premiers résultats et analyse

Figure 4.6 – Modèle de parafoil MP-360 de chez Onyx avec sa charge utile

Les données d’entrée ayant servi de référence pour cette première évaluation des approches de type IUKF développées dans cette thèse corres-pondent à celles issues d’une simulation d’un modèle dynamique décrivant le mouvement de chute libre d’un parafoil, développé à l’ONERA dans le cadre du projet FAWOPADS qui vise à mettre au point des algorithmes de pilotage, guidage et navigation pour des parachutes automatiques (cf. figure 4.6). Ces données simulées ont permis de valider facile-ment les principes méthodologiques développés au cours de cette thèse, de régler certains paramètres des méthodes et de tirer les premières conclusions sur les algorithmes d’estimation présentés au cours de cette section. Elles ont été traitées sans et avec

bruit. Afin de rendre plus lisible les différents tracés qui apparaissent ci-après, nous avons sélec-tionné les courbes de l’estimation de l’état du système correspondant au cas sans bruit. Toutefois, et afin de constater les effets d’une addition de bruits (pseudo-blancs gaussiens ou colorés) sur les différentes mesures qui entrent dans l’estimateur, les résultats du cas avec bruit relatifs aux écarts-types théoriques et aux gains du filtrage de Kalman invariant sont donnés à la fin de ce paragraphe.

L’horizon temporel de la simulation de référence sélectionnée pour valider nos algorithmes est d’un peu plus de 100 secondes. La dynamique simulée du système de parachute est relativement forte comme l’illustreront les figures retraçant les évolutions temporelles de l’attitude de référence de l’engin. En effet, nous y observerons des variations d’angle de gîte, de cap et d’assiette de

plusieurs dizaines de degrés. Bien qu’elles ne soient pas ici représentées, les variations de la vitesse du drone sont également importantes, remettant ainsi en cause l’hypothèse selon laquelle ˙V = 0 ; hypothèse sur laquelle repose la modélisation Mahrs. Il sera donc intéressant d’observer les effets sur l’estimation de l’erreur commise en supposant que ˙V = 0. L’analyse des données simulées montrent que ˙V est différente de zéro pour t œ [5 ; 40]. Enfin, les résultats et estimations obtenus en appliquant l’algorithme du (SR)-IUKF aux données sont systématiquement comparés avec ceux fournis par un algorithme UKF standard.

I Estimation de l’attitude: les figures 4.7 et 4.8 fournissent respectivement les estimés UKF et IUKF des angles d’attitude de l’engin, et les comparent dans les deux cas aux pseudo-mesures associées qui ont été reconstruites à partir de la donnée des composantes du vecteur d’état servant de référence correspondantes au quaternion du système. Les angles estimés collent quasi-parfaitement dans les deux cas aux valeurs de référence. Que cela soit pour l’UKF ou l’IUKF, l’attitude du parafoil selon les trois axes est très correctement restituée. Relevons également au passage, que l’erreur sur l’état initial qui a été introduite dans la simulation, est corrigée très rapidement, au bout de quelques pas de calcul seulement (temps caractéristique < 0.5 sec.). Les tracés des erreurs d’estimation (selon une échelle logarithmique en ordonnée) montrent cependant que l’estimateur IUKF converge mieux et plus rapidement vers les vraies valeurs des paramètres de vol. En effet, les amplitudes de ces erreurs sont plus faibles dans le cas de l’IUKF. Par ailleurs, l’analyse comparée de ces graphes d’erreurs tend à prouver que les résidus d’estimation sur l’état sont plus stables au cours du temps dans le cas de l’IUKF, étant donné qu’il est possible d’observer une lente et légère décroissance de ceux-ci dans le cas de l’UKF. Les estimés délivrés par notre approche IUKF semblent donc être de meilleure qualité au regard de ceux produits par un algorithme d’estimation de type UKF standard.

I Estimation de l’état associé au quaternion: ayant observé une adéquation quasi-parfaite des grandeurs estimées avec les valeurs de référence pour les angles d’attitude, il apparaît normal de constater qu’il en va de même pour les composantes du quaternion. Que ce soit pour l’UKF ou l’IUKF, le quaternion estimé est semblable en tout point à la référence (cf. figures 4.9 et 4.10). Le fait notable concerne ici les courbes à ±1 écart-type (théorique i.e. calculé par l’algorithme) tracées en pointillés noirs pour chaque composante de l’état associé au quaternion. Les figures 4.9 et 4.10 illustrent très clairement des différences entre l’approche de type UKF et l’IUKF. En effet, pour un même réglage des matrices de covariance estimées pour les bruits d’évolution et de mesure (Q et R), le niveau d’incertitude déterminé par l’UKF apparaît très fluctuant, voire même divergent pour l’estimation de l’état q3. A l’opposé, les écarts-types théoriques calculés par l’IUKF, après un régime transitoire de quelques secondes, convergent vers des valeurs quasi-constantes autour de chaque état moyen (ˆq0,ˆq1,ˆq2,ˆq3|z), étant données les observations z. Les effets liés à la non-exactitude du modèle de l’AHRS utilisé (dynamique ˙V négligée) se font ici très légèrement ressentir dans les tracés de ces écarts-types qui varient de façon insignifiante sur l’intervalle de temps [5 ; 40]. Ils seront plus visibles dans les figures qui suivent et notamment dans la figure 4.13.

Figure 4.7 – UKF : estimation de l’attitude („, ◊, Â) et erreurs d’estimation

Figure 4.9 – UKF : estimation des états associés au quaternion q et tracés des écarts-types

I Au sujet des imperfections de mesure : un jeu de trois biais additifs (état : Êb = (0.02 0.2 -0.1)T) et de deux facteurs d’échelle (états : (as, b_s) = (0.9, 1.2)) ont été introduits pour « polluer » les données simulées qui servent d’entrées aux deux schémas d’estimation évalués dans cette section. Ce faisant, l’observabilité du problème d’estimation posé peut être vérifiée et la capacité de l’algorithme employé à estimer de telles imperfections testées. Les figures 4.11 et 4.12 concatènent les résultats obtenus pour l’UKF et l’IUKF. Nous constatons que, quelque soit l’al-gorithme considéré, les vraies valeurs des différentes imperfections sont estimées sans erreur. Les écarts-types théoriques calculés par les deux algorithmes sont par ailleurs quasi-identiques entre l’UKF et sa version invariante développée dans ces travaux de thèse. Ces résultats montrent également que le problème est bien observable comme le laissait entendre l’analyse de détecta-bilité/d’observabilité réalisée au cours du chapitre 3. Nous relèverons au regard de ces différents tracés que, comme pour les composantes du quaternion, certains effets parasites, induits par l’inexactitude de la modélisation mise en œuvre pour le traitement des données (pour lesquelles ˙V ”= 0), peuvent aussi s’observer sur les écarts-types théoriques calculés par l’IUKF et associés aux états liés aux biais des gyromètres Êb = (bÊp, bÊ_q, bÊ_r). Toutefois, ces effets apparaissent ici plus prononcés puisqu’ils engendrent des variations plus importantes des écarts-types estimés au cours du temps. Les pics visibles sur les courbes en pointillés noirs correspondent aux maxima de Î ˙V Î. La convergence des estimés apparaît légèrement plus rapide pour l’IUKF que pour l’UKF.

I Comparaison des covariances estimées et des erreurs d’estimation sur l’état: la fi-gure 4.13 compare les écarts-types théoriques déterminés par l’UKF d’une part et l’IUKF d’autre part pour toutes les composantes du vecteur d’état. Les résultats permettent de valider les prin-cipes théoriques discutés précédemment puisqu’il apparaît ici clairement que les propriétés des observateurs invariants sont vérifiées par l’IUKF. La constance des écarts-types théoriques, et donc des covariances estimées (comme celle des gains d’ailleurs), sur la trajectoire définie par I = Â_ˆx≠1(u = Êm) est illustrative du caractère invariant du schéma d’estimation mis au point. Ainsi, l’IEKF de la littérature dispose bien d’un « équivalent » fondé sur les principes de la SUT, l’IUKF, comme il a été montré jadis que l’EKF disposait d’un « équivalent » reposant sur ces mêmes principes, l’UKF. Ce qui a donc été établi pour le filtrage de Kalman (lien entre EKF et UKF) reste vrai y compris dans un cadre invariant. Les propriétés d’invariance de l’IUKF nouvellement développé sont également observables lorsque l’on compare les erreurs d’estima-tion commises sur l’état du système observé. Le traitement de données simulées nous permet de calculer ces erreurs. Ainsi, les figures 4.14 et 4.15 tracent, au cours du temps, la norme des erreurs d’estimation pour respectivement les états q, Êb, as et bs. Ces calculs ont été menés en faisant varier l’état initial ˆx0 pour chacun des deux algorithmes (UKF et IUKF) ; la norme de l’erreur d’estimation initiale sur l’état étant maintenue constante quelque soit le cas de figure. Les résultats illustrent les propriétés d’invariance de l’IUKF puisque son comportement vis-à-vis des erreurs d’estimation est globalement le même quelque soit la condition initiale estimée considérée, ce qui n’est pas le cas de l’UKF classique. Pour chacune des trajectoires générées à

partir des différentes conditions initiales, la dynamique de convergence de l’estimé IUKF vers l’état vrai est identique. De tous ces résultats accumulés jusqu’à présent, il ressort que le filtrage de Kalman invariant introduit dans cette thèse permet, à l’instar des observateurs invariants déjà existants dans la littérature, de caractériser avec précision l’incertitude sur l’état estimé. La relative constance de celle-ci en fait une information potentiellement très utile à exploiter dans le cadre d’autres problématiques (commande robuste, FDIR, etc.).

Figure 4.11 – UKF : estimation des imperfections : biais Êb et facteurs d’échelle (as, b_s)

Figure 4.14 – UKF : erreur d’estimation sur l’état : x ≠ ˆx

I Comparaison des gains de correction : les figures 4.16 et 4.17 dessinent les variations temporelles de tous les gains de correction, état par état, pour l’UKF et l’IUKF. Les différentes échelles en ordonnée sont identiques pour un état donné entre les deux cas ce qui facilite la lecture des résultats. Une nouvelle fois, la relative constance des gains de Kalman caractérisant l’IUKF apparaît comme remarquable. Elle est l’illustration du cadre invariant introduit pour l’estimation de l’état du système. Les nombreuses et fréquentes fluctuations des gains de l’UKF sont quasiment annulées lorsque l’on passe à la version invariante du filtrage. Toutefois, nous constatons l’existence de variations pour certains gains de correction de l’IUKF (courbe violette des tracés q0, bÊp, bÊq et bÊr) probablement dues à des erreurs numériques et à l’inexactitude du modèle considéré (hypothèse ˙V = 0 non vérifiée).

I Résultats dans le cas bruité: les figures 4.18, 4.19 et 4.20 dressent un comparatif entre l’UKF et l’IUKF dans le cas du traitement de données simulées bruitées. La simulation de référence intègre désormais les effets d’un ensemble de bruits colorés additifs perturbant les mesures Êm, yAmet yBm. La figure 4.18 compare les écarts-types théoriques calculés par chacune des méthodes. Les figures 4.19 et 4.20 permettent de mettre en perspective les gains de correction. Les mêmes conclusions que dans le cas non-bruité peuvent être tirées. Ces figures montrent également que l’IUKF est doté de très bonnes propriétés de filtrage des perturbations haute fréquence en comparaison de l’UKF.