Dérivation d’un modèle pour la navigation

Nous considérons le système dynamique ( ) représenté mathématiquement par le modèle d’évolution et le modèle d’observation, suivant :

( ) 8 > < > : ˙X = f(X, U) Z = h(X, U)

Dans la représentation d’état ( ), X correspond au vecteur d’état, Z est le vecteur des sorties du modèle et U représente le vecteur des entrées. Cette représentation mathématique générale abstrait aussi bien le modèle générique, ou le modèle spécifique qui peut être exploité pour la

construction d’estimateurs d’état améliorant les performances de la navigation des véhicules aériens. De ce fait, nous cherchons donc à construire un modèle le plus complet possible et suffisant qui soit capable notamment de représenter au mieux toutes les dynamiques utiles à la navigation d’un véhicule aérien c’est-à-dire son attitude, sa vitesse et sa position. Bien que les mini-drones soit composés en règle générale de parties mobiles comme les surfaces de contrôle par exemple qui conditionnent pour leur part leur pilotabilité et leur manoeuvrabilité, ils seront assimilés à un seul corps sur lequel agissent conjointement le poids et les forces aérodynamiques. Ainsi, le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) permet d’écrire :

m ˙˛Vc = m˛g + ˛F (3.1)

˙˛‡_c = ˛M_c (3.2)

Dans les équations 3.1 et 3.2 , m désigne la masse du corps, ˛Vcle vecteur vitesse du centre de masse noté C, ˛g le vecteur accélération de la pesanteur et ˛F la résultante des forces aérodyna-miques. ˛‡cest le moment cinétique en C de l’engin qui dépend essentiellement du vecteur vitesse de rotation ˛ et ˛M_c désigne le moment en C des forces extérieures qui s’appliquent sur lui. La dérivation des équations du modèle complet sera menée sous les deux hypothèses suivantes :

Hypothèse 1

Drone à voilure fixe : Les surfaces de contrôle sont de masse négligeable par rapport à la

masse de l’ensemble de l’engin.

Hypothèse 2

Drone à voilure tournante : Les parties en rotation ne modifient pas la position du centre

de masse.

Hypothèse 3

Terre plate : Nous considérerons que la Terre est plate et que celle-ci ne tourne pas. Nous

nous placerons systématiquement dans un repère supposé galiléen.

La première hypothèse indique que le modèle de navigation est construit sur la base d’un système rigide pour lequel la masse est supposée invariante. Par ailleurs, la deuxième hypothèse implique que le domaine de vol est supposé représenter une partie infinitésimale lorsqu’elle est comparée aux dimensions de la Terre et que l’effet de sa rotation n’a aucune conséquence sur la dynamique du drone vue depuis le référentiel galiléen. Ainsi, le modèle complet sera obtenu en ajoutant aux équations 3.1 et 3.2, les relations cinématiques qui relient la position à la vitesse de translation, et l’orientation à la vitesse de rotation. L’orientation d’un mini-drone est définie à partir des angles qui permettent de passer du repère dit avion au repère accroché à la terre. Celle-ci peut être décrite soit par les angles d’Euler notés Ï, ◊, Â (gîtes, assiette, lacet) soit par l’intermédiaire des quaternions. Nous utiliserons dans la suite cette dernière représentation qui : - évite le problème des singularités propres aux angles d’Euler ; -permet d’obtenir une certaine robustesse face aux différentes erreurs numériques qui pourraient

apparaître lors des multiples changements de repère. L’annexe C rappelle certaines définitions ainsi que certaines propriétés liées aux quaternions. Le cadre de modélisation le plus général que nous serons amenés à considérer conduira à développer une solution au problème de l’estimation de la vitesse, de l’orientation et de la position du mini-drone. Ainsi, les équations de cette modélisation s’expriment comme :

˙q = ¹₂qú Ê (3.3)

˙V = A + q ú f_m ú q^≠1 (3.4)

˙

X= V (3.5)

Dans l’équation 3.4, les forces extérieures appliquées au système sont projetées dans le repère terrestre (opération qúf

múq^≠1). Ainsi, cette formulation des équations induit implicitement que la position, la vitesse et l’orientation de l’engin s’entendent être exprimées dans le repère terrestre. Il aurait été également possible de travailler à partir de ces mêmes équations différentielles où les grandeurs auraient été exprimées dans le repère avion. Les notations qui seront adoptées ici sont les suivantes :

• q est le quaternion représentant l’orientation du corps par rapport au repère terrestre ; • Ê désigne le vecteur vitesse de rotation du mini-drone exprimé dans le repère avion ; • V correspond au vecteur vitesse sol de l’engin et est exprimé dans le repère terrestre ; • A= (0 0 g)T est le vecteur accélération de la pesanteur exprimé dans le repère terrestre

(convention North-East-Down (NED)) ; • ^f

m s’assimile à l’accélération spécifique (i.e, non causée par les forces gravitationnelles) de l’engin exprimée dans le repère avion et induite par les forces extérieures.

Comme dit précédemment, les techniques d’estimation basées modèle peuvent s’appuyer sur deux types de représentation du système dynamique (générique ou spécifique), chacune disposant d’avantages et d’inconvénients. Par rapport au modèle proposé ci-dessus, quelques spécificités sont néanmoins à prendre en compte.

I les algorithmes d’estimation construits à partir d’un modèle spécifique de l’engin, et qui reposent sur les équations 3.3-3.5, nécessitent un modèle explicite des forces extérieures appliquées au système et notées f ;

I les algorithmes d’estimation construits à partir d’un modèle générique reposent sur une équation où la résultante des forces f est considérée connue grâce à un accéléromètre triaxial. Celui-ci est accroché en un point P de l’appareil et mesure ˛a, l’accélération spé-cifique dans le repère avion du mini-drone tel que ˛a := ˙˛Vp≠ ˛g au point P . En effet, si l’accéléromètre est situé au centre de masse C, il mesure d’après 3.1 ˛a = ˙˛Vp≠ ˛g = _m¹F^˛,

c’est à dire en fait f

m. En revanche, si P est différent de C, alors la mesure est plus difficile à exploiter puisque dans ce cas ˛a = 1

m_F˛+ ˙˛ · ˛CP + ˛ · (˛ · ˛CP) et il devient nécessaire de prendre en compte l’équation des moments.

Ainsi, disposant de capteurs inertiels (accéléromètres et gyromètres qui délivrent am et Êm

en axes avion) nous pouvons utiliser directement à la place des équations 3.3-3.5 les relations suivantes : Ms 8 > > > > > < > > > > > : ˙q = ¹₂qú Ê ˙V = A + q ú a ú q≠1 ˙ X= V (3.6)

Dans l’équation 3.6, V désigne le vecteur vitesse du point P exprimé dans le repère terrestre (en lieu et place de ˛VP) ; en effet cette équation est simplement la projection de ˛a := ˙˛Vp≠ ˛g.