Première approche

Dans ce modèle, la loi ν des composantes connexes qui se collent à la composante connexe de l’origine est dans le bassin d’attraction d’une loi stable de paramètre 1₂. Pour obtenir une expression de la loi de Y_N0

λ−1, nous avons fait l’hypothèse sup-

plémentaire que cette loi est la loi νcc définie au chapitre 2 à la définition 2.21,

c’est-à-dire la loi de la taille des composantes connexes pour une percolation de pa- ramètre 1₂. Nous avons vu à la proposition 2.4.6 que cette loi vérifie la propriété que nous avons imposé pour ν. D’autre part, nous faisons une hypothèse sur la loi de

Nλ dont nous avons parlé au paragraphe 5.2.2.

Proposition 5.2.1. Supposons que Nλ suit une loi géométrique de paramètre _λ+1λ ,

et que ν = νcc. Alors la loi de la taille de la composante connexe de l’origine au

moment où elle brûle pour la première fois est donnée par :

∀m ∈ N, P(YN0λ−1 = m) = 1 2m + 1 1 22m+1 m X k=0 (2k + 1) 2m + 1 m − k ! λ (λ + 1)k. (5.38)

Remarque 12. Cette expression est la fonction hypergéométrique

3F2  1,3 2, −m  , ₁ 2, m + 2  , −1 1 + λ  .

Démonstration. Pour montrer ce résultat, on décompose sur les étapes possibles

où se produit le feu. Comme par définition, Y0

i ≥ i s’il n’y a pas encore eu de feu, il

y a au maximum m étapes de croissance, d’où

P(YN0λ−1 = m) = m X k=0 P( 2k+1 X i=1 |C| + k = m) P(Nλ = k). (5.39)

En utilisant l’expression de la loi de la somme des tailles des composantes connexes vue à la proposition 2.4.8, on obtient :

P(YN0λ−1 = m) = m X k=0 2k + 1 2 (2m)! (m + k + 1)!(m − k)! 1 22m λ (λ + 1)k (5.40) D’où le résultat.

Que se passe-t-il si on enlève l’hypothèse sur Nλ? On pourrait alors s’intéresser

au calcul de la loi de la taille de la composante connexe de l’origine au moment où elle brûle ou bien à un temps t quelconque, c’est-à-dire respectivement aux probabilités P(YN0λ−1 = k) et P(|Z

0

t| = k), pour un entier k. Mais sans l’hypothèse sur Nλ, on

utilise la méthode vue pour le calcul de P(TNλ < t), au paragraphe 5.2.2. On obtient

le même genre d’expression que pour P(TNλ < t) qui n’est pas exploitable.

Nous allons maintenant étudier la loi de Y_N0

λ−1 sous un autre angle, en s’intéres-

sant plutôt à son comportement limite lorsque λ tend vers 0.

5.2.3.2 Deuxième approche

Dans cette partie, nous allons nous intéresser au comportement limite de la loi de la taille de la composante connexe de l’origine au moment où elle brûle pour la première fois. Nous allons supposer comme précédemment que l’étape du premier feu suit une loi géométrique de paramètre _1+λλ . Nous avons obtenu un résultat de convergence en loi pour cette quantité notée Y_N0

λ−1, renormalisée par λ

2_.

Théorème 5.2.2. Supposons que l’étape Nλ à laquelle se produit le premier feu

suit une loi géométrique de paramètre _1+λλ . Alors la loi de la taille de la composante connexe de l’origine au moment où elle est touchée par la foudre a le comportement limite suivant : λ2_Y0 Nλ−1 4 d −→ λ→0 E 2_{G où E ∼ E (1) et G ∼ G} 1 2.

Démonstration. Supposons que Nλ suit une loi géométrique de paramètre _1+λλ .

Tout d’abord, comme

lim

λ→0(1 + λ)

2 _{= 1, (5.41)}

on peut se ramener à l’étude d’une quantité faisant apparaître le paramètre de la loi géométrique : λ2 4 2Nλ X i=1 |Ci| = (1 + λ)2· 1 4(1+λ λ )2 2Nλ X i=1 |Ci|. (5.42)

À partir de là, décomposons la quantité à étudier en vue d’utiliser notre connaissance de la loi de la taille des composantes connexes.

1 4(1+λ_λ )2 2Nλ X i=1 |Ci| = (2E(N λ))2 4(1+λ_λ )2 · (2Nλ)2 (2E(Nλ))2 · P2Nλ i=1 |Ci| (2Nλ)2 . (5.43)

Notre objectif est d’utiliser le lemme 4.3.9 page 97 pour étudier la convergence en loi du produit des deux derniers termes, qui ne sont pas indépendants. Occupons nous tout d’abord du premier terme du produit de (5.43). Comme Nλ suit une loi

géométrique de paramètre _1+λλ , son espérance est donnée par E(Nλ) =

1 + λ

Ainsi le premier terme du produit de (5.43) vaut 1, donc 1 4(1+λ_λ )2 2Nλ X i=1 |Ci| = (2Nλ)2 (2E(Nλ))2 · P2Nλ i=1 |Ci| (2Nλ)2 . (5.45)

Montrons maintenant que les hypothèses du lemme 4.3.9 sont satisfaites. En calcu- lant P(Nλ[E(Nλ)]−1 ≥ k), on peut montrer que P(Nλ[E(Nλ)]−1 ≥ k) → e−k quand

λ → 0. Ainsi,

Nλ

E(Nλ) d

−→ E où E ∼ E(1) (5.46)

Comme la fonction x 7→ x2 _{est continue, on obtient aussi la convergence en loi}

suivante :  _N λ E(Nλ) 2 d −→ E2 _(5.47)

Montrons maintenant que Nλ −→ +∞ lorsque λ → 0.P

Nλ = λ−2· λ2Nλ (5.48)

Par (5.44) et (5.46), on obtient λ2_N

λ d

−→ E. Comme λ−2 _{→ +∞, on obtient la}

convergence en probabilité de Nλ vers +∞.

Nous avons d’autre part fait l’hypothèse que la loi ν de la taille des composantes connexes est dans le bassin d’attraction d’une loi stable G1

2. Soit G une variable

aléatoire de loi G1 2.

Comme on a bien indépendance entre les variables Nλ,E2, G et les tailles des com-

posantes connexes, on peut appliquer le lemme 4.3.9 et on obtient : (2Nλ)2 (2E(Nλ))2 · P2Nλ i=1 |Ci| (2Nλ)2 d −→ E2_{G. (5.49)} D’où le résultat.

Quelle est la suite de cette étude ? Nous reprenons ici les idées données dans le paragraphe 1.3 de présentation des résultats au chapitre 1.

Nous pensons que le comportement limite de Y_N0

λ−1 sans l’hypothèse précédente

sur Nλest proche de celui où l’hypothèse est vérifiée. La prochaine étape dans l’étude

de ce modèle sera de montrer ou d’invalider cette conjecture. Dans un deuxième temps, l’objectif sera de valider ou d’invalider l’hypothèse que nous avons faite sur le choix de la loi stationnaire, en regardant si la loi obtenue pour la composante connexe de l’origine est bien dans le bassin d’attraction d’une loi stable de paramètre

1

2. Mais l’étude de ce modèle ne constitue qu’un barreau sur l’échelle qui mène au

comportement des composantes connexes pour le vrai modèle de feux de forêt sur l’arbre binaire, puis à la question de l’existence d’un processus limite sur les arbres binaires ou sur Z2 _{reste encore ouverte.}

Nous avons regroupé ici les principales notations que nous avons utilisées dans ce manuscrit sur les convergences et les lois de variables aléatoires, ainsi que sur les ensembles.

? Convergences de variables aléatoires et égalités

d

−→ : convergence en loi

P

−→ : convergence en probabilité

p.s.

−→ : convergence presque sûre

d

= : égalité en loi

Adef= B : A est défini par l’expression B.

? Quelques lois

B(n, p) : loi binomiale de paramètres n et p E(λ) : loi exponentielle de paramètre λ N (0, 1) : loi normale de paramètres 0 et 1 G1

2 : loi

1

2-stable, voir la définition 2.23

νcc : loi de la taille des composantes connexes d’une percolation critique de site sur

l’arbre binaire, voir la définition 2.21

ν : loi dans le bassin d’attraction d’une loi 1₂-stable dans le chapitre 5

? Ensembles et réseaux

IA ou I{A} désigne la fonction indicatrice de l’ensemble A.

T : arbre binaire inhomogène enraciné, voir le paragraphe 4.1 Tn : sous arbre de hauteur n de T, voir le paragraphe 4.1

C ou Ci : désigne en général une composante connexe

|A| : taille (=nombre de sites) d’un ensemble A

V (B) et Ve(B) : ensemble des voisins d’un ensemble B ⊂ T de sites, voir la définition 4.1.

N (S) : ensemble des voisins d’un ensemble S ⊂ Zd_{, notation utilisée uniquement}

dans le chapitre 3, propre à l’article [41].

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80. Il s’agit de systèmes de particules, les arbres, définis sur un graphe connecté. Leur évolution est régie par deux familles de processus de Poisson, l’une pour la croissance des arbres, l’autre pour leur disparition via l’action de la foudre. L’influence de la foudre est caractérisée par un paramètre λ > 0. Ces modèles ont été beaucoup étudiés sur Z. Par contre sur des graphes infinis plus généraux, seules son existence et son unicité ont été montrées jusqu’à présent. Dans cette thèse, nous avons étudié ces modèles sur Zd_{pour d ≥ 2 et sur les arbres binaires, dans deux directions. La}

première concerne l’existence de mesures invariantes. La deuxième concerne l’étude de ce modèle lorsque le paramètre

λ tend vers 0.

Dans la première partie, nous montrerons que pour tous les paramètres λ > 0, les processus de feux de forêt sur Zd _{pour d ≥ 2 possèdent au moins une mesure invariante. Les processus de feux de forêt sont des processus de}

Markov non Feller, donc on ne peut pas appliquer les théorèmes usuels de l’étude des systèmes de particules. De plus, la géométrie de Zd

ne permet pas d’utiliser les mêmes arguments que dans le cas de Z. Nous utiliserons des outils développés lors de l’étude de ces modèles sur Zd_.

Dans une seconde partie, nous nous consacrerons à la problématique de l’existence d’un processus limite lorsque

λ tend vers 0, sur les arbres binaires. Dans un premier temps, nous étudierons un modèle sans feux pour mieux

comprendre comment grossissent les composantes connexes d’arbres. En se plaçant dans une nouvelle échelle de temps et d’espace, nous montrerons la convergence en loi de la taille d’un ensemble de sites construit à partir d’une boule de rayon n et des composantes connexes qui l’intersectent, au bout d’un temps t(n) > 0. Dans un deuxième temps, nous rajouterons l’action de feux, en définissant un modèle différent du modèle initial. Dans ce modèle modifié, les composantes connexes autres que celle de l’origine suivront une loi stationnaire à laquelle on s’attend à la limite, et non la dynamique du modèle de feux de forêt initial. Pour ce modèle, nous montrerons la convergence en loi de la taille renormalisée de la composante connexe de l’origine au moment où elle brûle pour la première fois.

Mots-clés : Probabilités, processus de feux de forêt, systèmes de particules

This work is concerned with a probabilistic study of forest-fire models. The models studied here were introduced in the context of self-organized criticality at the end of the eighties. These models are systems of particles, the trees, defined on connected graphs. Their evolution is governed by two families of Poisson processes, one for the growth of trees, the other one for the ignition of trees by lightning. The influence of lightning is characterized by a parameter

λ > 0. These models were widely studied on Z. However, only the existence and uniqueness of more general infinite-

volume forest-fire processes have been proven yet. In this thesis, we studied forest-fire models on Zd _{for d ≥ 2 and}

on binary trees, in two directions. The first one is concerned with the existence of stationary measures. The second one is concerned with the study of these processes when the parameter λ tends to zero.

In the first part, we will show the existence of at least one stationary measure for forest-fire processes on Zd,

d ≥ 2, for all parameters λ > 0. The forest-fire processes are Markov processes but not Feller processes, so the usual

arguments cannot be used here. Moreover, the geometry of Zd does not allow using the same arguments as for Z. Tools developed while studying these processes on Zd will be used here.

In the second part, we will study the behavior of the forest-fire processes on binary trees when the parameter

λ tends to zero. We will begin with the study of a model without any fires, in order to understand better how the

clusters of trees grow. We will show a convergence in law of the number of sites of a set construct from a ball of radius

n and the intersecting clusters, after a time tn > 0, for processes rescaled in space and time. Then, we will add fires

and define a modified forest-fire model. In this new model, apart from the cluster of the origin, the clusters evolve under a stationary measure which we expect at the limit in λ, and not under the dynamic of the initial forest-fire model. For this model, we will show a convergence in law of the rescaled size of the cluster of the origin when it burns for the first time.

Dans le document Modèles probabilistes de feux de forêt sur des graphes infinis (Page 152-161)