1.3 Présentation des résultats
2.1.2 Percolation sur Z d
Nous avons vu dans le théorème 2.1.1 l’existence d’une probabilité critique. Une question que l’on peut se poser maintenant est la suivante : existe-t-il vraiment trois phases ? Si la probabilité critique vaut 0 ou 1, alors on n’observe que deux phases. C’est le cas sur Z, où pc = 1. Par contre, à partir de la dimension 2 pour le réseau
Zd, on voit apparaître trois phases, ce qui est un cas plus intéressant à étudier.
Théorème 2.1.2 ([25]). Sur Zd avec d ≥ 2, le seuil critique de percolation vérifie
0 < pc< 1.
La valeur de pc n’est pas facile à déterminer en général. Elle dépend du réseau,
du type de percolation (site ou arête). Par exemple sur Z, pc(1) = 1. Dans le cas
de la percolation d’arête sur Z2, Kesten a montré que paretec (2) = 12 [30] en utili- sant le réseau dual de Z2. Pour les autres valeurs de d, on a seulement parfois des
approximations numériques de pc. Par exemple sur Z2 pour la percolation de sites,
psitec (2) ' 0, 59. D’autres valeurs exactes ou approchées sont données dans le chapitre 3 de [25].
Nous allons maintenant nous intéresser à la probabilité qu’il existe une compo- sante connexe infinie en fonction de p. En utilisant la loi du 0 − 1, on peut montrer le théorème suivant :
Théorème 2.1.3 ([25]). La probabilité ψ(p) qu’il existe une composante connexe
infinie vérifie
ψ(p) =
(
0 si θ(p) = 0
1 si θ(p) > 0. (2.3)
On peut se demander ce qu’il se passe exactement au point critique, c’est-à-dire lorsque p = pc. Pour d = 2 ou d ≥ 19, il n’ y a pas de composantes connexes infinies :
θ(pc) = 0. Par contre pour les valeurs restantes de d, la question reste ouverte. La
finitude des composantes connexes est pour l’instant conjecturée.
Le théorème 2.1.3 nous donne l’existence de composantes connexes infinies dans la phase sur-critique mais il ne nous dit pas combien il y en a. En fait, il n’ y en a qu’une.
Théorème 2.1.4 ([25]). Si p vérifie θ(p) > 0, alors il existe presque sûrement une
unique composante connexe infinie.
Une des questions principales de la percolation concerne la taille et la forme d’une composante connexe typique lorsque le paramètre p varie. Nous allons tout d’abord étudier la taille moyenne des composantes connexes. Puis nous donnerons pour les trois phases des résultats ou des conjectures sur la loi de la taille des composantes connexes.
Définition 2.5 (Taille moyenne des composantes connexes,[25]). L’espérance de la
taille de la composante connexe de l’origine, notée χ(p) est définie de la manière suivante. χ(p) = Ep|C| = ∞Pp(|C| = ∞) + ∞ X n=1 nPp(|C| = n).
Dans la définition de χ(p), on voit que si p > pc, χ(p) est infinie. Cependant, il
n’est pas facile de démontrer le résultat suivant :
Théorème 2.1.5 ([25]). Si p < pc, la taille moyenne χ(p) de la composante connexe
contenant l’origine est finie.
On peut remarquer que le point critique dans le comportement de χ(p) est le même que celui de θ(p).
Énonçons maintenant quelques résultats sur la taille des composantes connexes dans les trois phases.
? Phase sous-critique
On observe une décroissance exponentielle de la queue de distribution de la taille des composantes connexes.
Théorème 2.1.6 ([25]). Supposons que 0 < p < pc. Il existe λ(p) > 0 tel que pour
tout entier n strictement positif,
Pp(|C| ≥ n) ≤ exp(−nλ(p)).
Plus précisément, on a pour tout entier n > χ(p)2,
Pp(|C| ≥ n) ≤ exp −
n
2χ(p)2
!
.
Ce résultat entraîne que la variable aléatoire |C| a des moments finis de tout ordre pour p < pc.
? Phase sur-critique
Le comportement de la distribution de la taille des composantes connexes finies est vraiment différent dans les phases sous-critique et sur-critique. Ici on a une décroissance sous exponentielle.
Théorème 2.1.7 ([25]). Supposons que pc < p < 1. Il existe des constantes γ(p) et
η(p) finies telles que, pour tout entier n,
exp(−γ(p)nd−1d ) ≤ P
p(|C| = n) ≤ exp(−η(p)n
d−1 d ).
? Phase critique
L’étude de cette phase est beaucoup plus délicate. Il existe de nombreuses conjec- tures mais peu de résultats sont prouvés. Le but est de comprendre le comportement des quantités précédentes au point critique mais aussi près du point critique, à savoir lorsque p croît ou décroît vers pc. Les conjectures concernant les quantités étudiées
prédisent un comportement en loi puissance près du point critique. Des exposants
critiques ont alors été introduits pour énoncer ces conjectures. Mais l’existence de ces
exposants n’est prouvée que dans certains cas particuliers. On sait les calculer pour la percolation sur l’arbre binaire. Ces dernières années il y a eu deux progressions majeures. La première concerne la compréhension des cas où le réseau est de grande dimension, d ≥ 19, grâce à un outil appelé “lace expansion” développé par Hara, Slade, van der Hofstad entre autres. On pourra lire par exemple [40] sur ce sujet. Dans ce cas les exposants critiques sont les mêmes que ceux de l’arbre binaire. La deuxième progression résulte de l’avancée sur l’invariance conforme et l’introduction des courbes SLE (Schramm-Löwner evolution). On peut citer entre autres Schramm, Smirnov, Lawler, Werner, et lire par exemple [31]. Elle concerne l’étude de la per- colation de sites sur le réseau triangulaire. Une autre direction de recherche actuelle concerne l’universalité des exposants. On conjecture ([24],[23]) que les valeurs des exposants ne dépendent que de la dimension du réseau et pas du type de percolation (site ou arête) ou d’autres caractéristiques du réseau. Énonçons ci dessous quelques conjectures avec des exposants critiques. Nous renvoyons au chapitre 9 de [25] pour plus de détails.
Intéressons nous tout d’abord à la probabilité de percolation et à la taille moyenne des composantes connexes. Pour pouvoir parler de la limite lorsque p décroît vers
pc, définissons la taille moyenne des composantes connexes finies.
Définition 2.6 ([25]). Notons χf(p) la taille moyenne de la composante connexe de
l’origine lorsqu’elle est finie :
χf(p) = E(|C|I|C|<∞).
Lorsque p < pc, χf(p) = χ(p).
Dans l’énoncé des conjectures, nous noterons f (p) ≈ g(p) lorsque log(f (p)) log(g(p)) → 1.
Conjecture 1 ([25]). Lorsque p → pc, on a les comportements suivants :
– de la probabilité de percolation :
θ(p) ≈ (p − pc)β.
– de la taille moyenne des composantes connexes finies :
χf(p) ≈ |p − pc|−γ.
On peut aussi définir un exposant critique pour la loi de la taille d’une compo- sante connexe. Cette fois, on se place en p = pc.
Conjecture 2 ([25]). Lorsque n → ∞, on a le comportement suivant de la loi de
la taille d’une composante connexe :
Ppc(|C| = n) ≈ n
−1−1
δ.
Nous allons maintenant passer à l’étude de la percolation sur le deuxième réseau qui nous intéresse ici : l’arbre binaire.