2.2 Tests statistiques relatifs aux conditions d’abaissement
2.2.2 Première approche statistique pour l’ajustement de λ par la loi de
λ1 ... λn = u σ1 ... σn = uΣ (2.2)
où u est la pente de la droite de la figure 2.2, (λ1. . . λn)T les valeurs choisies pour λ lors des squelettsations appliquées et (σ1. . . σn)T = ΣT les valeurs de l’écart-type du bruit gaussien ajouté à l’image.
Par conséquent, la pente de la droite de la figure 2.2 n’est autre qu’une estimation par moindres carrés du coefficient u :
ˆu = (ΣTΣ)−1ΣTλ (2.3)
On démontre par cette première estimation empirique du paramètre λ que l’on peut utiliser une même valeur de u (ˆu = 2.6 dans notre cas) dans une expérimentation qui s’opère sur des images à contraste constant.
2.2.2 Première approche statistique pour l’ajustement de λ par
la loi de l’étendue
Dans un premier travail publié en 2011 [80], nous avons eu recours à la statistique d’ordre pour ajuster le paramètre λ à travers un premier test d’hypothèse et ce dans les deux cas précédemment cités : λ-crˆete d’une part et λ-pic et λ-extr´emit´e d’autre part. Pour le cas des pixels λ-crˆetes, décider qu’un pixel x est de ce type revient à examiner (x) − min {I(C )} où C représente la kème composante 4-connexe 4-adjacente du
voisinage sombre de x et 2 ≤ k ≤ 4 (voir définition 5). Notons X1, .., Xnles niveaux de gris des pixels de l’ensemble {x} ∪ Ck. La condition ( I(x) − mink=2...4{I(Ck)} ≤ λ ) peut être interprétée comme étant la possibilité d’assimiler le niveau de gris F (x) de x, à l’ensemble des valeurs de niveaux de gris de la composante connexe Ck.
D’un point de vue statistique, ce vecteur (X1, .., Xn) peut être vu comme un n-échantillon de variables aléatoires identiquement distribuées. Par conséquent, et en suppposant que ( {x} ∪ Ck) est composé de n pixels, on peut écrire :
I(x) − mink {I(Ck)} = max(X1, .., Xn) − min(X1, .., Xn) = Wn= X(n)− X(1) (2.4) où Wn est l’étendue de l’échantillon (X1, .., Xn)
L’évaluation du paramètre λ peut être faite dans le cadre d’un test d’hypothèse pour la détection des valeurs aberrantes basé sur la loi de l’étendue. L’écart-type σ étant considéré connu, l’hypothèse H0 revient à considérer (X1, .., Xn) comme échantillon identiquement distribué de variance σ2. Le paramètre λ est par conséquent :
PH0(décider H1) = PH0(Wn > λ) = α · (2.5)
L’étendue peut s’écrire comme suit :
Wn= X(n)− X(1) = σ (Y(n)− Y(1)) = σ Wcr
n · (2.6)
avec (Yi)i=1...n variables centrées réduites issues des (Xi)i=1...n.
Par conséquent, le paramètre λ qui est fonction de n = |Ck| + 1 correspond à :
PH0(Wn> λn) = PH0(Wcr
n > τn) et λn = σ τn .
où σ est connu, si on suppose la stationnarité du bruit dans l’image.
On tabule ici τn par l’unique simulation de l’étendue à l’aide de celle de l’échantillon (Y1, ..Yn) supposée de distribution gaussienne centrée réduite. Le tableau de la Figure 2.3 donne les résultats de simulations permettant le calcul de τn conformément aux valeurs possibles pour n et comme présenté dans le livre [81]. Pour ces simulations de Wcr
n , la valeur minimale de n = |Ck| + 1 à considérer est de 2 et celle de son maximum est de 6 étant donné que 2 ≤ k ≤ 4 et que par conséquent, la taille d’une composante 4-connexe et 4-adjacente au pixel central est 2 ≤ n ≤ 6. Sous l’hypothèse H0, avec un bruit supposé gaussien, les Yi sont identiquement distribués et sont simulés par la loi N (0, 1). Le résultat des simulations de Wcr
n sous l’hypothèse H0 est représenté par la figure 2.3 où le tableau (A) correspond aux calculs des valeurs τn au niveau de confiance α = 5%.
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 100 200 300 400 500 n= 2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 n= 6 n τn 2 2.7879 3 3.3144 4 3.6410 5 3.8591 6 4.0156
Figure 2.3 – Histogrammes de données simulées pour n = 2 et n = 6. Taille de l’échan-tillon utilisé : 10000 et tableau τn au niveau de confiance α = 0.05
D’un autre côté, on procède de la même manière qu’au précédent paragraphe pour la construction de la décision d’abaissement de pixel λ-pic et λ-extr´emit´e en se basant sur la définition initiale 6 de ces deux critères d’abaissement. En effet, il suffit de simuler la loi Vn = X(n)− X(n−1) à la place de la loi de l’étendue pour calculer les quantiles aux différents niveaux de confiance.
Si l’on se ramène comme précédemment à l’échantillon de (Y1, .., Yn), on cherche à tabuler
τn, quantile de la distribution de Vcr
n tel que : Vn= X(n)−X(n−1)= σ (Y(n)−Y(n−1)) = σ Vcr n où une fois encore on suppose connaître σ puisque calculé sur toute l’image. Si l’on souhaite abaisser le pixel central x correspondant à un λ-pic ou une λ-extr´emit´e, on le considère comme faisant partie de la composante connexe formée par les voisins plus sombres. La taille de l’échantillon étant n = |c| + 1, comme le montre la figure 1.3, la taille de c pour le cas λ-extr´emit´e est |c| = 7 d’où n = 8 alors que dans le cas de λ-pic, |c| = 8 et ainsi
n= 9.
Nous effectuons nos propres simulations de l’inter-quantile X(n)− X(n−1) pour n = 8 dans le cas du λ-extr´emit´e et n = 9 dans le cas du λ-pic.
Comme pour le critère λ-crˆete, l’évaluation du paramètre λ est faite sous l’hypothèse gaussienne. Les valeurs de τn sont calculées pour les niveaux de confiance α = 0.05 et
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 200 400 600 800 1000 1200 1400
n= 9 cas de pixel λ-pic
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 200 400 600 800 1000 1200 1400
n= 8 cas de pixel λ-extrémité
Tableau τn
α= 0.05 α= 0.01 n τn n τn
8 1.5314 8 2.1416 9 1.4886 9 2.0739
Figure 2.4 – Histogramme des simulations de Y(n)− Y(n−1) : Taille de l’échantillon utilisé : 10000.
Manquements de ce premier test statistique Outre le changement du critère
d’abais-sement des pixels λ-extr´emit´e et λ-pic qui implique un changement des tabulations du quantile τn, le test statistique établi dans [80] omet 2 choses :
1. Pour être λ-extr´emit´e, λ-pic ou λ-crˆete, il faut d’abord vérifier si le pixel est res-pectivement extrémité, pic ou crête. En effet, avant même de vérifier la distance du pixel central au fond, il faut tout d’abord identifier sa nature. Le classer comme pic, extrémité, crête ou même simple passe par la topologie en coupes qui identifie la nature du pixel selon la connaissance de son niveau de gris. C’est pourquoi il faut utiliser la loi conditionnelle pour la statistique de test à considérer.
2. Pour les pixels λ-crˆete, valider la condition d’abaissement liée au paramètre λ revient à vérifier cette condition simultanément pour (K−1) composantes connexes du fond. C’est pourquoi, il est utile de considérer une fusion des tests statistiques afin d’établir un niveau de confiance global adéquat.
Ce constat nous amène à revoir les tests utilisés pour mieux ajuster le paramètre λ en considérant le conditionnement par la connaissance du niveau de gris du pixel central et la fusion des tests statistiques dans le cas des λ-crˆetes.