Lorsque l’on considère le cas d’images en niveaux de gris, la notion de contours et d’objets n’est plus évidente, à moins que nous procédions par binarisation de l’image, ce qui peut conduire à la perte d’information. Une image en niveaux de gris peut-être vue comme un relief topographique où les valeurs de niveaux de gris correspondent à la hau-teur d’un pixel sur ce relief. Nous notons la valeur du niveau de gris d’un pixel x par
I(x) ∈ {0, 1, .., Imax}.
L’extension de l’algorithme d’amincissement au domaine gris repose sur la définition de la topologie en coupes introduite par J. Serra dans [47]. La coupe transversale d’une image I à un niveau de gris l est une image binaire Il = {y, 1[l,Imax](I(y))}. Pour une image en niveaux de gris, Serra [47] transpose la définition d’un pixel simple pour l’image binaire I aux images en niveaux de gris si l’on considère que x est simple pour la coupe
des images en niveaux de gris sont données par la définition 4 et sont illustrées par la figure 1.6. On y montre des configurations où le pixel central x est respectivement identifié comme simple, pic et extr´emit´e suivant la coupe binaire Il(x) composée d’un objet formé par x et ses voisins plus clairs N>
8 (x) = {y ∈ N8(x), I(y) ≥ I(x)} et d’un fond composé par N<
8 (x).
Définition 4 Soit x un pixel de l’image en niveaux de gris I, l = I(x) le niveau de gris
du pixel et Il(x) = {y, 1[l,Imax](I(y))} la coupe binaire composé des voisins plus clairs de
x.
x est simple s’il est simple pour Il(x),
x est pic s’il est pic pour Il(x),
x est extr´emit´e s’il est extr´emit´e pour Il(x)
100 10 110 150 160 60 20 50 200 150 100 100 100 60 60 20 50 50 150 200 100 100 60 60 20 50 50 (a) (b) (b)
Figure 1.6 – (a) : simple. (b) : pic. (c) : extr´emit´e.
Cette extension basique de l’amincissement au cadre gris a la même structure algorith-mique que la version binaire. La phase de détection des pixels à traiter est maintenue en utilisant les notions de la définition 4. Quant à la phase de suppression, elle est rem-placée par une phase d’abaissement des niveaux de gris. En effet, la meilleure analogie de la suppression binaire transposée au contexte gris est donnée par [32]. Elle consiste à remplacer l’élimination des pixels objets par un abaissement du niveau de gris du pixel en cours de traitement au niveau de gris de son voisin sombre le plus proche. Cette analogie permet d’implanter l’amincissement sans risque de déconnecter l’objet gris. A l’issu de l’abaissement, la nouvelle valeur du niveau de gris du pixel x traité est définie comme suit :
I(x) = max{I(y), y ∈ N<
8 (x)}, où N<
8 (x) = {y ∈ N8(x), I(y) < I(x)}.
L’algorithme 2 décrit les étapes d’un amincissement séquentiel appliquée aux images en niveaux de gris.
Algorithme 2 Algorithme d’amincissement séquentiel basique appliqué aux images en
niveaux de gris
Entrées: I(x) niveau de gris de x dans l’image I
1: Répéter
2: Composer la liste L de pixels simple Et non extr´emit´e (extr´emit´e)
3: Ordonner la liste L selon les niveaux de gris ascendants
4: Pour Pixel x dans L faire
5: Si x est toujours simple Et extr´emit´e à ce stade alors
6: I(x) ← max {I(y), y ∈ N< 8 (x)}
7: fin Si
8: fin Pour
9: jusqu’à L est vide
Par analogie avec l’amincissement d’images binaires, nous ajoutons un parcours aléa-toire de la liste L pendant la phase d’abaissement afin de vérifier si l’amincissement d’images en niveaux de gris est homotopique et s’il est dépendant au parcours. La fi-gure 1.7 montre le déroulement de l’amincissement sur une image synthétique en niveaux de gris en utilisant différents types de parcours : l’ordre d’apparition dans l’image, le tri ascendant des niveaux de gris des pixels retenus dans la liste L et parcours aléatoire de L.
Image I S1 S2
Smoy Sapp. Sր
S1 S2 Smoy Sapp. Sր
Nb. d’itérations 23 21 Moy = 22.4 43 14
Figure1.7 – Dépendance au parcours : S1 et S2squelettes obtenus par différents parcours aléatoires de la liste L pour l’image en niveaux de gris I. Smoy : Moyenne des squelettes de 10 parcours aléatoires de L obtenus pour I. Sapp. : squelette obtenu en suivant l’ordre d’apparition. Sր: squelette obtenu en triant la liste L à chaque itération selon les niveaux de gris ascendants.
tats de l’amincissement suivant un parcours aléatoire de la liste d’abaissement, face à l’amincissement suivant l’ordre d’apparition ou le tri ascendant de L. En effet, plusieurs pixels sur la pente du relief topographique que représente l’image en niveaux de gris sont retenus pour la phase d’abaissement. Ces pixels sont donc abaissés au niveau de gris d’un de leur voisin sombre le plus proche. Si l’opération se fait aléatoirement, nous créons une variation des niveaux de gris assimilable à un bruit, rendant ainsi le relief moins lisse et son amincissement impossible à certains endroits où les conditions d’abaissement ne sont plus valides (simple et extr´emit´e).
Très peu de variation est perceptible entre le squelette obtenu par amincissement suivant l’ordre d’apparition ou le tri ascendant de L. Cependant, concernant le nombre d’itérations nécessaires à l’obtention d’un squelette, nous notons que le tri de L par ordre croissant des niveaux de gris réduit considérablement le nombre d’itération. C’est pourquoi, l’ajout de l’action de tri à la ligne 3 de l’algorithme 2 permet d’optimiser l’algorithme d’amincisse-ment en traitant d’abord les pixels les plus sombres pour abaisser les simples aux niveaux de gris les plus bas, et de progresser au fil des itérations vers les pixels de niveaux de gris élevés qui seront à leur tour abaissés systématiquement au niveau de gris du fond. La figure 1.8 illustre un exemple simple du changement d’un profil de ligne jusqu’à obtention d’un squelette centré sur la crête centrale.
0 a 255 0 a 255 b b
Progression des abaissements Crête centrale finale
Figure1.8 – Exemple sur un profil de ligne de la progression des abaissements des niveaux de gris lors d’un amincissement suivant un tri ascendant des niveaux de gris des pixels de la liste L.
Par conséquent, nous utilisons dans ce qui suit l’algorithme 2 qui ajoute un tri de la liste L des pixels abaissables afin de minimiser le nombre d’itérations d’abaissement.
1.4.1 Défis de l’amincissement gris classique
Cette extension basique de l’amincissement au cadre gris opère correctement sur des images idéales où le relief topographique est lisse. Les crêtes centrales du squelette sont positionnées sur les plus hautes lignes du relief topographique suite à des abaissements successifs des niveaux de gris partant des pixels les plus sombres vers les hauteurs du
reliefs. Ce résultat est illustré par la figure 1.9.(a) où le squelette est superposé en rouge à l’image initiale. Cependant, pour une image bruitée, l’amincissement basique conduit à un squelette sur-connecté où l’on note la présence de crêtes et extrémités insignifiantes liées à la présence de bruit dans l’image. Par exemple, en appliquant un bruit gaussien additif à l’image synthétique de la figure 1.9.(b), le résultat de l’amincissement gris basique de la figure 1.9.(c) montre l’apparition de branches non significatives du squelette aussi bien dans le fond que sur l’objet. Ces nouveaux éléments ne peuvent pas être abaissés lors des amincissements successifs car ils ne répondent pas aux critères de la méthode puisque leur élimination implique une déconnexion de l’objet. En effet, le principe d’homotopie sur lequel repose l’amincissement ne permet pas de déconnecter l’objet et ne différencie pas l’information pertinente de celle liée au bruit. L’image du profil (d) de la figure 1.9 montre le déplacement du profil du squelette réel (gras et rouge) par rapport au squelette idéal (en rouge et en pointillés), en plus de l’apparition de pics de faible hauteur correspondant à des crêtes 2D faiblement contrastées.
(a) (b) (c)
(d)
Figure 1.9 – Amincissement basique appliqué sur une image synthétique 153 × 121 dont les niveaux de gris varient dans [0..1]. (a) : Squelette en rouge superposé au relief idéal. (b) : Ajout d’un bruit gaussien σ = 0.03 à l’image (a). (c) : Squelette gris de (b) en utilisant un fond clair pour distinguer les crêtes faiblement contrastées. (d) : Profil de l’image idéale (a) et son squelette en pointillé. Profil de l’image (b) et son squelette (c) en gras.
flexible de l’amincissement qui relâche la forte contrainte d’homotopie afin d’éliminer le bruit.