4 .3 Modélisation du processus d’acquisition de l’image nu- nu-mérique
Remarque 4.5. Dans la pratique, les pixels ne sont pas tous identiquement sensibles à l’agi-
l’agi-tation thermique, en raison de la présence d’impuretés dans le substrat semi-conducteur. Le terme de pixel “chaud” est souvent utilisé pour qualifier les pixels les plus sujets à l’agitation thermique.
La terminologie de bruit de structure fixe (ou fixed pattern noise, FPN) est usuellement utili-sée en référence à la non-uniformité de l’efficacité quantique des pixels et à la présence de pixels chauds, ces phénomènes se répétant “de façon fixe“ sur chaque image.
Bruit quantique de comptage (Shot noise)
Ce bruit est directement lié à la nature corpusculaire de la lumière et des charges élec-triques. Les électrons d’origine thermique et photonique générés dans un pixel sont stockés indifféremment dans le condensateur de ce pixel. Comme précédemment évo-qué, le nombre d’électrons stockés dans le condensateur est assimilable à un processus stochastique de décompte d’un grand nombre d’occurrences aléatoires. En vertu de la propriété de stabilité de la loi de Poisson par la somme, le nombre total d’électrons col-lectés dans le pixel à la position(m, n), noté Ne−[m, n], est également modélisé comme la réalisation d’une variable aléatoire Poissonnienne :
Ne−[m, n] =Nco[m, n] +Nep[m, n]
⇒ Ne−[m, n] ∼ P µep[m, n] +µco. (4.22) où selon (4.21) µep[m, n] = λ
hcQ[m, n]qepK[m, n].
Bruit de lecture et d’amplification
L’amplificateur transforme le nombre d’électrons collectés en une tension électrique mesurable. Les opérations d’amplification et de lecture étant (presque) réalisées si-multanément, i. e. en sortie du registre horizontal, les bruits intervenant au cours de ces deux opérations sont considérés conjointement. Physiquement, ce bruit est dû aux imperfections des semi-conducteurs de l’unité de lecture et d’amplification ; ce bruit est donc indépendant de la position du pixel et de la charge collectée au sein de ce dernier. Le bruit de lecture, noté Nlec[m, n], peut être modélisé avec une bonne
préci-sion [129,130] comme la réalisation d’une variable aléatoire Gaussienne de moyenne
nulle et de variance σ2
lec (constante sur l’ensemble des pixels). L’amplification du
si-gnal, est caractérisée par le gain, noté A, représentant le facteur multiplicatif de la conversion charge-tension. La tension de sortie V[m, n]correspondant au pixel(m, n)
est donc finalement donnée par :
V[m, n] =A Nep[m, n] +Nco[m, n] +Nlec[m, n]
(4.23)
(a) Image “RAW” d’une surface de luminance constante.
0 400 800 1200 indice des pixels zm,n:valeur des pixels
50 100 150 200 Ligne du milieu regression cos4 Ligne supérieure regression cos4
(b) Illustration du lobe de l’éclairement au travers de deux lignes. 40 60 80 100 120 zm,n σm ,n ( zm ,n ) 8.5 9 9.5 10 b σm,n= f (ezm,n) modèle : σm,n= a ·ezm,n+ b
(c) Écart-type du bruit en fonction de la moyenne des pixels (régression en utili-sant un modèle quadrique du lobe (4.3) - (4.5)).
Figure 4.3: Illustration du lobe de l’éclairement incident pour mettre en évidence le bruit quan-tique de comptage des photons : l’écart-type du bruit de comptage dépend linéai-rement de l’énergie incidente. La moyenne et la variance ont été calculées sur des blocs de 50×50 pixels modélisés par une quadrique :∑i,j∈{0,2}ai,jxiyj.
Enfin, le signal analogique V[m, n] est numérisé par un convertisseur
analogique-numérique (CAN). À ce stade de l’acquisition d’une image, la valeur des pixels est
quantifiée avec un pas ∆can très faible (typiquement 12,14 voire 16 bits sont utilisées
pour représenter ces valeurs) ; cela notamment pour permettre une application des
traitements post-acquisition décrits dans l’annexe 4.4. En outre, une quantification
linéaire uniforme est usuellement utilisée pour réaliser cette conversion analogique-numérique. La valeur z[m, n]du pixel(m, n)“pré-quantifiée” est donc rigoureusement donnée d’après (4.23) par :
z[m, n] =Q∆can(V[m, n]) =Q∆can A Nep[m, n] +Nco[m, n] +Nlec[m, n] . où Q∆can représente la fonction de quantification définie par la relation (2.26).
Remarque 4.6. Ici encore, le phénomène de “clipping” ou de “censoring“ (écrêtage du si-gnal) n’est pas considéré pour des raisons de clarté et de simplicité. Il est donc implicitement supposé que le pas de quantification∆can et le facteur d’amplification A sont choisis de telle sorte que A·V[m, n]n’excède jamais la quantité(2b−1/2)∆can.
En considérant que le pas de quantification∆canest “suffisamment petit”, une valeur
approchée de la tension quantifiée z[m, n]est donnée par :
z[m, n] =A Nep[m, n] +Nco[m, n] +Nlec[m, n]
où Ncan[m, n] est la réalisation d’une variable aléatoire représentant le bruit dû à la
conversion analogique-numérique modélisée [118,129] par :
Ncan[m, n] ∼ U −1 2∆can;1 2∆can .
oùU [a; b]représente la loi de distribution uniforme (continue) sur l’intervalle[a; b]. Le but de cette section étant de fournir un modèle statistique de l’image enregistrée par un appareil avant application des traitements post-acquisition, la quantification finale (sur 8 bits) et la compression de l’image ne sont pas considérées ici. En outre, la quantification de la valeur des pixels d’une image et son impact sur la détection statistique ont déjà été longuement étudiés dans les sections3.1-3.4.
4.3.2 Modèle simplifié du bruit
Les caractéristiques des phénomènes stochastiques décrits dans la section4.3.1sont
résumées dans le tableau4.2; il est toutefois rappelé que cette liste n’a pas vocation à
l’exhaustivité mais correspond aux principaux phénomènes [129,130].
Bruits dépendants de l’intensité du signal.
Bruit Modélisation Origines / Propriétés
NUEQ Nep∝ K[m, n] ·Q[m, n] ∝ Q[m, n](4.21),
K[m, n] ∼ N (1, σ2
K) variant spatialement
Comptage Nep∼ P µep[m, n]
hétéroscédastique
des photons variant spatialement
Bruits stationnaires.
Bruit Modélisation Origines / Propriétés
Courant Nco∼ P µco d’origine thermique
obscur ∝ durée d’exposition
Lecture Nlec∼ N (0, σlec2 ) bruit additif,
Amplification blanc et Gaussien
Conversion Ncan ∼ U −∆can 2 ; ∆can 2 bruit de quantification
analog.-num. additif de variance∆2
can/12.
Table 4.2: Bruits d’acquisition pris en compte dans le modèle statistique d’une image.
La distribution statistique rigoureusement exacte de la valeurs de chacun des pixels est difficilement exploitable en pratique ; en particulier, le paramètre de la distribution
de Poisson est lui-même la réalisation d’une variable aléatoire puisque selon (4.21)
λ
hcQ[m, n]qepK[m, n], avec K[m, n] ∼ N (1, σK2). Il est donc proposé quelques approxima-tions permettant une simplification de la loi de distribution de la valeur des pixels :
– Le nombre d’électrons collectés dans les pixels est très grand. Il est donc possible
La charge maximal du condensateur d’un pixel est usuellement comprise entre 60.000e−et 300.000e−
d’approcher avec une grande précision la distribution Poissonienne de Ne−[m, n]
par une distribution Gaussienne ; on a alors :
Ne−[m, n] ∼ N (µep[m, n] +µco, µep[m, n] +µco). (4.25)
– D’autre part, compte-tenu du fait que σK2 1, il peut être proposé de négliger
la NUEQ en considérant que [129]∀(m, n) ∈ I, K[m, n] =1. Une approche alter-native, retenue dans le présent mémoire, consiste à modéliser le bruit de NUEQ
comme un phénomène intervenant de façon additive dans le nombre d’électrons d’origine photonique [130,131] : K[m, n] ' N (1, σK2) ⇒ Nep[m, n] ' N µep[m, n], µep[m, n] +µep[m, n]2σK2 . (4.26) En utilisant les simplifications (4.25) et (4.26) dans les relations (4.21) et (4.22), il est immédiat de décrire statistiquement le nombre d’électrons collectés par :
Ne−[m, n] =Nep[m, n] +Nco[m, n]
⇒ Ne−[m, n] ∼ NA(µep[m, n] +µco), A2(µcoµep[m, n] +µep[m, n]2σK2).
Les simplifications (4.25) et (4.26) permettent de décomposer le bruit d’acquisition sous la “forme canonique” suivante
z[m, n] = θ[m, n] + Nimg[m, n] + Nind
z }| {
signal mesuré zpartie déterministe}| { zbruit hétéroscédastique}| { zbruit stationnaire}| {
(4.27) avec Nimg[m, n] ∼ N (0, A2µep[m, n] +A2σK2µep[m, n]2)
et Nind∼ N (0, A2(σlec2 +µco)).
Dans la relation (4.27), le terme Nimg[m, n]est la réalisation d’une variable aléatoire re-présentant les bruits d’acquisition dont la distribution dépend de l’intensité moyenne du pixel, θ[m, n], et, à l’inverse, Nind est une variable aléatoire représentant les bruits d’acquisition indépendant de l’énergie reçue par le pixel(m, n).
10−1 100 101 102 103 104 105
103 104 105 106
Variance du signal σsig2 Bruit NUEQ : A2
σK2N2 ep Bruit de comptage : A2Ne− Bruit stationnaire : A2(σlec2 +Eco)
N=σlec2 +Eco N=1/σK2
bruit stationnaire bruit de comptage bruit de NUEQ Ep: nombre de photons
σ
2(Ep
)
Figure 4.4: Importance relative de chaque type de bruit en fonction du nombre de photo-électrons collectés. Dans cet exemple, les paramètres d’acquisition sont caractérisés par un facteur d’amplification A = 4, un bruit de lecture avec σlec = 4, un bruit de NUEQ avec σK =0.01 et un bruit électronique de courant obscur générant en moyenne µco=4e−électrons.
Enfin, l’espérance de chacun des pixels θ[m, n] = E[z[m, n]], représentant le contenu de l’image numérique, peut également être décomposée de la façon suivante :
θ[m, n] = Aµep[m, n] + Aµco
z }| {
partie déterministe zsignal lumineux}| { z }| {“biais”
(4.28)
où, selon (4.21) le contenu de l’image dû à l’énergie lumineuse incidente est donnée
par :
µep[m, n] =E Nep[m, n]
= λ
hcQ[m, n]qepK[m, n].
L’importance relative de chaque type de bruit en fonction du nombre de photo-électrons collectés est illustrée dans la figure 4.4. Il est notable qu’à très faible flux, Nep.σlec2 +µco, ce sont les bruits électronique et de courant obscur dont l’importance est prépondérante. À l’inverse lorsque le nombre de photons incidents par pixel
de-Pour la radiographie, le flux de rayons X étant faible les détecteur sont refroidis à environ −40◦C afin d’accroître le rapport signal-sur-bruit.
vient très important, Nep & 1/σK2 , le “bruit” de NUEQ devient prépondérant. Enfin, dans une région médiane σlec2 +µco . Nep . 1/σK2, qui correspond assez raisonnable-ment au nombre de photons collectés par les pixels d’un appareil photographique le bruit quantique de comptage des photons a une importance prépondérante.
Conclusions du chapitre :
Au cours de ce chapitre, une description et une modélisation du système d’acquisition d’une image naturelle ont été présentées. L’analyse des phénomènes physiques don-nant naissance à l’image numérique permet de mettre en exergue deux particularités des images numériques :
– Le bruit présent dans une image est non-stationnaire : la variance du bruit d’acquisi-tion d’un pixel dépendant, notamment, de l’énergie reçue par ce pixel et donc n’est pas identique sur l’ensemble d’une image numérique.
– Le système optique est également non-stationnaire, il ne peut rigoureusement être modélisé comme un système invariant par translation : divers phénomènes optiques
engendrent une réponse dépendante des coordonnées du point (x, y) de l’image
considéré.
Ces deux phénomènes ont des impacts distincts. La non-stationnarité du bruit doit être prise en compte dans le test statistique visant à détecter d’éventuelles informations cachées, comme par exemple dans les RV (3.11) et (3.53).
La non-stationnarité du système optique d’acquisition doit être prise en compte dans la modélisation du contenu, θ, des images. Toutefois, il apparaît clairement qu’une modélisation exploitable des images n’est possible que si l’on peut modéliser la scène S(x, y). À la suite du présent chapitre4, il demeure nécessaire d’étudier les propriétés physiques de la scène imagée afin de proposer une modélisation des images naturelles acquises, ce point est abordé dans le chapitre suivant5.