5 .4 Annexes du chapitre 5 : démonstrations des théorèmes 5 .1 et5.2
Démonstration 5.1. Soit l’ensemble D = S
i∈I⊆Nxi avec pour tout i ∈ I , xi < xi+1 et soit f :X \{D} 7→R une fonction continue par morceaux sur un compactX = [xmin; xmax]. Pour tout i∈ I le compact ouvertYiest défini parYi = [xmin; xi+1[et la fonction fi:Yi →R Il est notable que :
Yi= Yi−1∪ [xi; xi+1[. est définie pour tout x∈ Yipar fi(x) = f(x).
Il est proposé de démontrer le théorème5.1par récurrence. Pour cela le cas de la fonction f1, n’admettant donc qu’une unique discontinuités de premier ordre, est considéré dans un premier temps. En utilisant la définition5.1il est possible de définir deux fonctions f1,c :Y1 7→R et
f1,s:Y17→R comme suit : f1,c(x) = f(x) si x<x1 f(x) + (lim x→x−1 f(x) − lim x→x1+ f(x)) si x>x1 et f1,s(x) = 0 si x<x1 lim x→x+1 f(x) − lim x→x−1 f(x) si x>x1
La fonction f1 admet, pour tout x ∈ Y1, la décomposition f1(x) = f1,c(x) + f1,s(x) avec f1,c∈ C0(Y1,R)et, en posant u1=limx→x+
1 f(x) −limx→x−
1 f(x)on a f1,s =u11x>x1(x). La démonstration par récurrence se poursuit en considérant que i−1 ∈ I la fonction fi−1
admet, pour tout x∈ Yi−1, la décomposition fi−1(x) = fi−1,c(x) +fi−1,s(x)avec fi−1,c ∈ C0(Yi−1,R)et fi−1,s = ∑i=1i−1ui1x>xi(x). Le cas de la fonction fi défini sur l’ensemble
Yiest traité en posant :
fi,c(x) = fi−1(x) si x<xi f(x) −∑i−1 k=0uk+ ( lim x→x−i f(x) − lim x→x+i f(x)) si x>xi et fi,s(x) = fi−1,s si x<xi fi−1,s+ lim x→x+i f(x) − lim x→x−i f(x) si x>xi
La décomposition étant admise au rang i−1 on a, pour tout x < xi on a f(x) = fi,c(x) +
fi,s(x). En posant ui = limx→x+
i f(x) −limx→x−
i f(x) il est immédiat de vérifier fi,c ∈ C0(Yi,R)et que fi,s(x) = fi−1,s(x) +ui1x>xi(x) = ∑i
k=1uk1x>xk(x). En outre, un rapide calcul permet de montrer que pour tout x ∈ Yi|x > xi on a fi,c(x) + fi,s(x) = f(x) −
∑i
k=0uk+fi,s(x) = f(x). La propriété est donc vérifiée au rang i ce qui clôt la démonstration.
Comme cela est détaillé dans la section 5.1.3, le résultat de la convolution d’une
fonction continue par morceaux par un noyau spatialement invariant est aisément cal-culable en vertu de la linéarité de l’intégration et du théorème5.1sur la décomposition
afin d’obtenir une relation entre intensité d’une ligne de la scène et éclairement inci-dent au niveau de la même ligne du photo-détecteur n’est pas éviinci-dent en raison du caractère 2D de la convolution (et de la scène) et la PSF spatialement variante.
L’introduction de la notion d’amplitude d’une discontinuité est nécessaire pour for-maliser la relation entre Sket θk, resp. les fonctions univariées représentant l’intensité rayonnée par la k-ième ligne de la scène et l’intensité incidente sur la k-ième ligne du photo-détecteur.
Pour comprendre les difficultés que pose l’extension de la proposition 5.1 au cas
de fonctions à deux variables, il est proposé de brièvement étudier le cas simple de deux ensembles ouverts ˚X1et ˚X2, séparés par une frontière ∂X, et d’un champ scalaire
f :X \∂X défini par f(x, y) =∑2
i=1fi(x, y)1X˚i(x, y). Il est immédiat de constater qu’il existe deux fonctions fcet fs telles que fc∈ C0(X,R)et fd=u21X˚2(x, y)vérifiant :
∀(x, y) ∈ X, f(x, y) = fc(x, y) + fd(x, y) = fc(x, y) +u21X˚2(x, y), (5.17)
si et seulement si l’amplitude des discontinuités est constante, i. e.∀(x, y) ∈∂X, U(x, y) =
u∈R. Ce cas, très restrictif, ne permet pas une modélisation réaliste des
discontinui-tés de la fonction S représentant l’intensité rayonnée par la scène imagée.
En outre, si l’on suppose que cette condition est vérifiée, le calcul du résultat de la convolution du champ scalaire f par un noyau h est délicat en raison de la géométrie de la discontinuité : g(x, y) = [f∗∗h](x, y) = [fc∗∗h](x, y) + [fd∗∗h](x, y) = [fc∗∗h](x, y)(x, y) +u2 Z ˚ X2h(x−u, y−v)du dv. (5.18)
Le dernier terme de cette somme peut avoir une expression difficilement exploitable suivant la géométrie de l’ensemble ˚X2(ou de la courbe de discontinuité ∂X).
Pour résoudre cette difficulté et prendre en compte la PSF spatialement variante, il est proposé d’utiliser l’étendue du support de la PSF autour d’un point (xk, yk) =
Γ(tk), tk ∈ J pour définir un voisinageVe
k autour de ce point. Il est rappelé en préam- Le fait que la PSF soit
une fonction positive, i. e. hopt(x, y; ς0) ≥ 0 n’est pas utilisé ici.
bule que la PSF hoptvérifie, par définition, la propriété :RR2|hopt(x, y; ς0)|dx dy=1.
Définition 5.3. Soit un point(xk, yk) =Γ(tk), tk ∈ J, un noyau de convolution isotrope (la PSF optique dans notre cas) hopt et le disque de centre (xk, yk) et de rayon ρ i. e.Dk(ρ) = {(x, y) ∈ R2/(x−xk)2+ (y−yk)2ρ}. Le voisinage Ve
k du point(xk, yk)est défini comme le plus petit disqueDk(ρmin)permettant de vérifierR R
Dk(ρmin)hopt(x−xk, y,−yk)dx dy ≥
1−e, ou plus formellement, en posant ρmin=arg minρ∈R+1−R R
Dk(ρ)hopt(x, y)dx dy≤e.
La définition du voisinage Ve
k est difficilement applicable en pratique mais permet
de formaliser l’analyse locale d’une discontinuité. L’idée de cette approche est de sim-plifier l’expression analytique de l’éclairement incident autour d’un point de discon-tinuités, (xk, yk) = Γ(tk), tk ∈ J en limitant le domaine d’intégration à un voisinage
Ve
k.
Un dernier exemple permet alors de mettre en évidence comment l’expression de l’éclairement peut être modélisée simplement à l’aide des notions précédemment défi-nies et, surtout, de formaliser les conditions d’applications.
Exemple 5.1. Soit un compact ferméX et deux sous ensembles ouverts ˚X1et ˚X2séparés par une frontière ∂X tels que{X˚1, ˚X2, ∂X }forment une partition deX. Soit un champ scalaire
f :X →R défini pour tout(x, y) ∈ X \∂X par f(x, y) =∑2
i=1fi(x, y)1X˚i(x, y). Supposons qu’il existe un point(xk, yk) ∈∂X et e&0 tel
1. l’ensemble ∂X ∩ Vk peut être représenté par le segmentSk= {(x, y) ∈ Vk/y=yk};
6 - y x z=S(x, y)
Figure 5.6: Illustration d’un champ scalaire simple, S(x, y), continu par morceaux mais ne pou-vant être décomposé tel (5.17).
Alors, un calcul direct permet de montrer que pour tout(x, y) ∈ Vk, le résultat de la convolu-tion du champ scalaire f par un noyau h isotrope est donné par :
g(x, y) = [fc∗∗h](x, y) +uk Z Z Vk1u>xk(u)h(x−u, y−v)du dv = gc(x, y) +uk Z Z R21u>xk(u)h(x−u, y−v)du dv−e = gc(x, y) +u2H(x−xi) −e (5.19)
où, en vertu de l’isotropie de h, H(x−xk) =R
R Rx−xk −∞ h(u, v)du dv= R R R∞ xk−xh(u, v)du dv.
La relation (5.19) permet une modélisation simple de l’éclairement incident dans un
voisinage du point de discontinuité(xk, yk).
Les conditions d’applications de l’exemple précédent peuvent être étendues au cas où, dans le voisinageVk, l’amplitude des discontinuités dépend linéairement de y, i. e. s’il existe deux réels uk,0et uk,1tels que U(x, y) = (uk,0+uk,1(y−yk)) 1∂X(x, y). En effet, le calcul (5.19) devient alors :
g(x, y) = gc(x, y) +uk,0 Z Z R21u>xk(u)h(x−u, y−v)du dv + uk,1 Z Z R21u>xk(u)(y−yk)h(x−u, y−v)du dv−e.
Or en vertu de l’isotropie de h, cette fonction est paire alors que(y−yk)est impaire ; le dernier terme de la somme est donc nul.
En outre, il est immédiat d’étendre, en utilisant un changement de repère adéquat, les
deux exemples précédents au cas où l’ensemble ∂X ∩ Vk peut être représenté par un
segment quelconqueSk.
Similairement, le problème de la PSF spatialement variant peut-être résolu de façon analogue ; cette dernière pouvant en effet être considérée localement comme
spatiale-ment invariante. Ainsi, la proposition5.2résume ci-dessous le modèle de l’éclairement
incident sur une ligne de l’image et les conditions permettant l’obtension de ce résultat.
Proposition 5.2(Décomposition d’un champ scalaire continu par morceaux). Soit un compact X ⊆ R2 et N sous-ensembles compacts ouverts Xi, i = {1, . . . , N} dont l’en-semble des frontières est noté ∂X = {Γ(t), t ∈ J}.Soit un champ scalaire f : X → R
défini par : f(x, y) = ∑N
i=1fi(x, y)1(x,y)∈Xi(x, y) définissant le champ scalaire d’amplitude des discontinuités U et f0 la restriction de f à la droite D = {(x, y) ∈ X/y = y0} avec
D∪∂X = {(xk, y0)}K0
k=1 . Soit enfin un noyau de convolution h :R2 →R et g : R2 →R défini par g= f∗∗h.
Si dans un voisinage Vk de (xk, y0) ∈ ∂X “suffisamment large” les conditions suivantes sont vérifiées :
C-1 la réponse impusionnelle h est isotrope et spatialement invariante dansVk, i. e. si h(u, v, x, y) =
h(ρk)avec ρ2k= (xk−u)2+(y0−v)2;
C-2 ∂X ∩ Vkpeut être représentée par la droite Dkformant un angle ψkavec la droite D ; C-3 pour tout(x, y) ∈ Vkon a U(x, y) =uk1∂X(x, y), avec u∈R.
alors la fonction g0, la restriction du champ scalaire g à la droite D= {(x, y) ∈ X/y=y0}, admet la décomposition suivante :
g0(x) =g0,c(x) + K0
∑
k=1 ukH x−xk ψk avec g0,c∈ C0et H(x) =RR Rx −∞h(u, y)du dyDémonstration 5.2. Pour démontrer le théorème, il est proposée d’analyser g0(x) dans un voisinage Vk de (xk, y0) ∈ ∂Xi,j. En utilisant le changement de repèreΨ : (x,e ey) → (x, y)
défini par Ψ : (ex,ye) = xk+ex cos(ψk) +y sine (ψk)
yk+ex sin(ψk) −y cose (ψk)
!
de sorte que le nouveau repère soit centré sur le point de discontinuité et l’axeex orthogonal à l’axe optique. Pour tout(ex,ye) ∈ Vk
on a :
g(x,e ey) = [f∗∗h](x,e ey) =
Z
Vk f(xe−u,ye−v)h(u, v)du dv.
Or en vertu des conditions C-1, C-2 et C-3, la fonction f admet, pour tout(x,eye) ∈ Vk, la décomposition à mettre en propo-sition
décomposition f(ex,ye) = fc(x,e ey) +U(x,eye), où fc∈ C0(Vk,R)et le champ scalaire est défini dans la proposition5.2.
Il est alors immédiat de vérifier que : g(x,eye) = [fc∗∗h](ex,ye) + Z Vkuk1Xj(ex−u,ey−v)h(u, v)du dv = [fc∗∗h](ex,ye) +uk Z R Z ex −∞h(u, v)du dv = gc(x,eye) +ukH(xe)
il en découle alors, en utilisant le changement de repèreΨ−1, que : g(x, y0) = [f∗∗](x, y) y=y0 =gc(x, y0) +ukH x−xk cos(ψk)