Pr´ esentation d’une m´ ethode de visualisation de tous les

D’apr`es le th´eor`eme 3, nous pouvons voir que g´en´eralement nous aurons une infinit´e de mouvements cycliques possibles stables. Dans cette section, nous donnons une repr´ e-sentation qui permet de visualiser tous les mouvements cycliques stables, et permettre ainsi de faire ressortir un certain nombre de crit`eres pour choisir parmi l’ensemble de ces possibilit´es. Ces crit`eres seront en comp´etition avec les crit`eres de minimisation d’´energie de la g´en´eration de mouvement pr´esent´ee en section 3.

La m´ethode de visualisation consiste `a superposer les graphes de la vitesse maximale de d´ebut de double support ˙α<sub>iDS,max</sub>( ˙α<sub>f DS</sub>) qui permet de conduire `a ˙α_{f DS}, de la vitesse minimale de d´ebut de double support ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}) qui permet de conduire `a ˙α_{f DS}

et ˙α_iDS = a( ˙α_{f DS}). Les deux premi`eres fonctions vont ˆetre calcul´ees par une int´egration num´erique en double support pour un ensemble de valeurs discr`etes de ˙α_{f DS}. La troisi`eme ´

equation r´esulte, elle, d’une seule int´egration en simple support. Un exemple d’un tel graphe est repr´esent´e en figure 4.5.

Sur ce graphe, nous pouvons d’abord lire la vitesse de d´ebut de double support ˙αiDS

obtenue par le simple support et l’impact, `a partir de la vitesse de fin de double support ˙

α_{f DS} du pas pr´ec´edent, `a partir de la courbe ˙α_iDS = a( ˙α_{f DS}). Ensuite nous pouvons lire, pour une valeur ˙α_{f DS} donn´ee, l’ensemble des vitesses de d´ebut de double support

˙

α_iDS permettant d’atteindre cette vitesse ˙α_{f DS}. Ce domaine est compris entre les bornes ˙

α_iDS,min( ˙α_{f DS}) et ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}). De mani`ere similaire, il est possible de lire, pour une

valeur ˙α_iDS, l’ensemble des vitesses de fin de double support ˙α_{f DS} qu’il est possible d’ob-tenir. Ce domaine est compris entre les valeurs de ˙α_{f DS} intersection de la droite hori-zontale en ˙α_iDS avec ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}) et ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}). Autrement dit, ce domaine est donn´e par [ ˙αf DS,min( ˙αiDS), ˙αf DS,max( ˙αiDS)] o`u la vitesse minimale de ˙αf DS qu’il est pos-sible d’obtenir `a partir de ˙α_iDS est d´efinie par ˙α_{f DS,min}( ˙α_iDS) = ˙α⁻¹_iDS,max( ˙α_iDS) et la vitesse maximale de ˙α_{f DS} qu’il est possible d’obtenir `a partir de ˙α_iDS est d´efinie par

˙

α_{f DS,max}( ˙α_iDS) = ˙α⁻¹_iDS,min( ˙α_iDS).

Ce graphe permet ´egalement de voir s’il existe un mouvement cyclique pour une valeur de la vitesse de d´ebut de double support ˙α_{c,f DS}. Pour cela, d’apr`es le th´eor`eme 3, il faut que ˙αc,iDS = a( ˙αc,f DS) obtenu apr`es le simple support et l’impact soit dans le domaine de convergence vers ˙α<sub>c,f DS</sub>, soit ˙α<sub>iDS,min</sub>( ˙α<sub>c,f DS</sub>)≤ ˙αc,iDS ≤ ˙αiDS,max( ˙α<sub>c,f DS</sub>). Concr`etement, l’ensemble des valeurs ˙α_{f DS} pour lesquelles des mouvements cycliques sont possibles va ˆ

etre donn´e par le domaine pour lequel ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS})≤ a( ˙αf DS)≤ ˙αiDS,max( ˙α_{f DS}). Dans le cas pr´esent´e, il correspond au domaine d’admissibilit´e du simple support, et ´egalement au domaine de convergence global que nous verrons plus loin, not´e D_{gf DS}. C’est donc le simple support qui est le plus limitant quand aux mouvements cycliques possibles. Les mouvements cycliques sont repr´esent´es par des points sur le graphe de la fonction

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 D_{gf DS} D_giDS D_1fDS D_1iDS a( ˙αf DS) ˙

α_iDS,max( ˙α_{f DS}) et ˙α_{f DS,min}( ˙α_iDS) ˙

α_iDS,min( ˙α_{f DS}) et ˙α_{f DS,max}( ˙α_iDS)

˙ αc,f DS ˙ α_c,iDS ˙α^iD S ˙ αf DS

Fig. 4.5 – Repr´esentation de α˙_iDS,max( ˙α_{f DS}), α˙_{f DS,min}( ˙α_iDS), α˙_iDS,min( ˙α_{f DS}), ˙

αf DS,max( ˙αiDS) et ˙αiDS = a( ˙αf DS) avec le domaine d’attraction global en ˙αf DS Dgf DS,

le domaine d’attraction global en ˙α_iDS D_giDS, le domaine de convergence en un pas en ˙

α_{f DS} D_1fDS, le domaine de convergence en un pas en ˙α_iDS D_1iDS. Le mouvement cy-clique repr´esent´e par le point ( ˙αc,f DS, ˙αc,iDS) a ´et´e choisi arbitrairement parmi l’infinit´e des mouvements cycliques existant.

˙

α_iDS = a( ˙α_{f DS}).

D’apr`es le th´eor`eme 4, les mouvements cycliques serons stables si ˙αiDS,min( ˙αf DS) <

a( ˙α_{f DS}) < ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}). Dans le cas pr´esent´e tous les mouvements cycliques possibles v´erifient cette condition strictement, et sont donc tous stables, si ce n’est que les mouve-ments cycliques correspondant aux bornes du domaine D_{gf DS} ne seront d´efinis que d’un cˆot´e. Il est `a remarquer que la stabilit´e des dynamiques de α d´epend seulement du fait que a( ˙α_{f DS}) est entre ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}) et ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}), et ne d´epend pas de la pente de

a( ˙α_{f DS}), contrairement au cas sans double support o`u la stabilit´e d´epend de la pente de

a( ˙α_{f DS}), voir notamment Chevallereau et al. [21].

Sur ce graphe, nous pouvons ´egalement lire le domaine de convergence en un pas pour un mouvement cyclique. Si l’on consid`ere ˙α<sub>c,iDS</sub>, nous avons la vitesse ˙α<sub>c,f DS</sub> qui permet de l’obtenir qui v´erifie ˙α<sub>c,iDS</sub> = a( ˙α<sub>c,f DS</sub>). Le domaine qui permet de conver-ger en un pas vers ˙α<sub>c,iDS</sub> est donc donn´e par le domaine qui permet d’obtenir ˙α<sub>c,f DS</sub>, soit [ ˙α<sub>iDS,min</sub>(a<sup>−1</sup>( ˙α<sub>c,iDS</sub>)), ˙α<sub>iDS,max</sub>(a<sup>−1</sup>( ˙α<sub>c,iDS</sub>))]. Ce domaine est repr´esent´e par D<sub>1iDS</sub> pour le mouvement cyclique repr´esent´e. Si l’on consid`ere maintenant ˙α_{c,f DS}, nous d´ eter-minons le domaine qui permet d’obtenir ˙α_{c,f DS}, soit [ ˙α_iDS,min( ˙α_{c,f DS}), ˙α_iDS,max( ˙α_{c,f DS})]. Une fois le domaine en ˙αiDS permettant d’arriver en ˙αc,f DS obtenu, nous d´eterminons avec la fonction a( ˙α_{f DS}) le domaine ˙α_{f DS} permettant d’obtenir le domaine ˙α_iDS pr´ e-c´edent. Ce domaine est donn´e par l’intervalle 

a⁻¹

max ( ˙α_iDS,min( ˙α_{c,f DS}) , ˙α_iDS,minSS) ,

a⁻¹

min ( ˙α_iDS,max( ˙α_{c,f DS}) , ˙α_iDS,maxSS)

o`u ˙α_iDS,minSS et ˙α_iDS,maxSS sont les bornes des

vitesses ˙α_iDS possibles dues aux contraintes en simple support. Les max() et min() sont ici pour le cas o`u le domaine en ˙α_iDS permettant d’avoir ˙α_{c,f DS} d´epasserait du domaine possible en simple support. Nous pouvons constater que le domaine de convergence en un pas vers ˙α_{c,f DS} repr´esent´e, not´e par D_1fDS est justement limit´e par le simple support sur une de ses bornes.

Il est ensuite possible d’´etudier la convergence vers un mouvement cyclique en de-hors du domaine de convergence en un pas. Si la vitesse ˙α_{c,f DS}(n) au pas n est d’am-plitude plus grande que ˙α_{c,f DS} et en dehors du domaine de convergence en un pas, nous obtenons d’abord ˙α_iDS(n + 1) = a( ˙α_{f DS}(n)). Puis la vitesse ˙α_{f DS}(n + 1) obte-nue est celle qui rapproche le plus de ˙α_{c,f DS}, c’est-`a-dire celle donn´ee par ˙α_{f DS}(n + 1) =

˙

α_{f DS,max}( ˙α_iDS(n+1)). C’est donc l’intersection de la droite horizontale ˙α_iDS = ˙α_iDS(n+1)

avec la courbe ˙αiDS,min( ˙αf DS). Cette s´equence est it´er´ee jusqu’`a obtenir ˙αf DS dans le do-maine de convergence en un pas. Il est possible de voir que l’on aura convergence si

˙

α_{f DS}(n) < ˙α_{f DS}(n + 1) < ˙α_{c,f DS} et donc si a⁻¹( ˙α_iDS(n + 1)) < ˙α_{f DS,max}( ˙α_iDS(n + 1)). En d’autres termes, il faut que la courbe a( ˙α_{f DS}) soit `a gauche de ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}). Il s’agit donc en fait de la mˆeme condition que la condition de stabilit´e d’un mouvement cyclique. Le domaine global de convergence pour des vitesses d’amplitude plus grande que celle du mouvement cyclique sera donc le plus grand domaine [ ˙α_{f DS,ming}, ˙α_{c,f DS}] tel que

e-rieure du domaine global de convergence. Ce domaine s’arrˆeterait en une intersection de

a( ˙α_{f DS}) et ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}) si une telle intersection existait. Ici, ce domaine est limit´e par la v´erification des contraintes en simple support. Enfin dans ce cas de convergence, l’ap-plication de Poincar´e est donn´ee par ˙α_{f DS}(n + 1) = ˙α_{f DS,max}(a( ˙α_{f DS}(n))). Nous pouvons constater que a( ˙α_{f DS}) est proche de ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}). La convergence sera donc lente.

Dans le cas o`u la vitesse ˙α_{f DS}(n) est d’amplitude plus faible que ˙α_{c,f DS}, c’est avec les courbes ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}) et ˙α_{f DS,min}( ˙α_iDS) que va se construire la convergence. Et le domaine de convergence globale sera donn´e par le plus grand domaine ne contenant pas d’intersection de a( ˙αf DS) avec ˙αiDS,max( ˙αf DS). Enfin, l’application de Poincar´e sera alors donn´ee par ˙α_{f DS}(n + 1) = ˙α_{f DS,min}(a( ˙α_{f DS}(n))). Nous pouvons constater que a( ˙α_{f DS}) est ´

eloign´e de ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}), et que la convergence est donc rapide. Il serait donc int´eressant d’´equilibrer la distance de a( ˙α_{f DS}) avec ˙α_iDS,min( ˙α_{f DS}) et ˙α_iDS,max( ˙α_{f DS}) afin d’obtenir une vitesse de convergence aussi rapide quelque soit le signe de l’erreur sur ˙α_{f DS}.

Ainsi il est possible d’obtenir le domaine de convergence globale, en concat´enant les deux domaines de convergence obtenus pour des erreurs sur ˙α_{f DS} positives et n´egatives. Ce domaine est not´e sur la figure 4.5 par D_{gf DS}.

De la mˆeme fa¸con, il est possible d’´etudier la convergence sur ˙α_iDS. Nous en pr´esentons seulement le domaine de convergence global qui a ´et´e obtenu D_giDS.

En conclusion, le graphe4.5permet de d´eterminer tous les mouvements cycliques pos-sibles pour diff´erentes dynamiques de α pour un mˆeme mouvement d´efini par les δ_j,SS(α),

j = 1, ..., 4 et δ_j,DS(α), j = 1, 2. Il permet ´egalement de voir si tous ces mouvements

cycliques sont stables, et de d´eterminer les domaines de convergence en un pas et de convergence globale pour tous ces mouvements cycliques.

Il est `a remarquer sur le graphe4.5que les mouvements cycliques sont tous stables, sauf aux bornes du domaine des mouvements cycliques possibles, et que tous ces mouvements cycliques ont le mˆeme domaine de convergence globale.

L’exploitation de l’ensemble de ces mouvements cycliques possibles nous semble int´ e-ressante pour faire varier de mani`ere simple la vitesse de marche du robot bip`ede, `a partir d’un seul mouvement de marche obtenu par optimisation, et ce tout en garantissant la stabilit´e. D’un point de vue efficacit´e, il est bien sˆur plus int´eressant d’utiliser l’approche propos´ee dans Wieber et Chevallereau [83] et Chevallereau et Adouane [19] pour faire varier la vitesse de marche.