D´ etermination de la zone de convergence en temps fini en

egalement que la zone de convergence en temps fini en double support pour la vitesse finale cyclique ˙α_{c,f DS} d’un mouvement de r´ef´erence, d´efinit une zone de convergence en un pas. Finalement en section 4.2.2.4nous pr´esenterons une repr´esentation graphique qui permet de voir toutes les possibilit´es de mouvements cycliques d´ependant des dynamiques de α, et les domaines d’attraction correspondant.

Tous les r´esultats de cette section sont obtenus sous les hypoth`eses suivantes :

(H1) ¨α_min et ¨α_max sont toujours d´efinis.

Cette hypoth`ese signifie qu’il est toujours possible de satisfaire les contraintes (4.2). En r´ealit´e pour satisfaire (H1) nous allons consid´erer un sous espace pour lequel (H1) est satisfaite. Nous pouvons voir sur le figure4.2 que la restriction s’applique pour des valeurs importantes de ˙α. De plus nous verrons en section 4.2.2.4 que les contraintes les plus restrictives ne sont pas celles de double support, mais celles de simple support.

(H2) Nous consid´erons les cas ˙α≤ 0.

Les cons´equences de (H2) sont que α est tout le temps d´ecroissant en fonction du temps, et que donc la valeur finale de α, α_{f DS}, est plus faible que la valeur initiale de α, α_iDS. Un mouvement de α dans le plan de phase se d´eplacera de la droite `a la gauche.

(H3) ¨α_min < 0 quand ˙α = 0. Pour le mouvement consid´er´e cette hypot`ese est v´erifi´ee. Si elle ne l’´etait pas, les d´emonstrations seraient plus difficiles par la suite.

4.2.2.1 Pr´esentation de la m´ethode de Poincar´e

La m´ethode de Poincar´e consiste `a repr´esenter l’´evolution de l’´etat d’un mouvement cyclique `a un instant caract´eristique, pour un syst`eme, d’une p´eriode `a la suivante. Pour la marche consid´er´ee ici, avec les hypoth`eses pr´ec´edentes, l’application de Poincar´e est une fonction d’un espace de dimension 1 seulement dans un autre espace de dimension 1. En effet, α jouant le rˆole du temps, pour une valeur de α caract´eristique, les dynamiques de α consid´er´ees sont repr´esent´ees par la seule vitesse ˙α. Nous repr´esentons donc l’application de Poincar´e de ˙α, et nous observerons `a l’instant caract´eristique initial ou final du double support. Dans l’application de Poincar´e, un mouvement cyclique est repr´esent´e par un point invariant, et ce mouvement cyclique est stable si la pente de l’application de Poincar´e est comprise entre −1 et 1. Dans la partie suivante, nous allons d´eterminer la zone de

double support permettant la convergence vers une valeur donn´ee de fin de double support.

4.2.2.2 D´etermination de la zone de convergence en temps fini en double support

Dans cette section, nous allons d´efinir la zone de convergence en un pas en double support. Nous commen¸cons par donner une d´efinition.

D´efinition : Pour une vitesse donn´ee en fin de double support ˙α_{f DS}, nous consid´erons les deux fonctions ˙α_min(α, ˙α_{f DS}) et ˙α_max(α, ˙α_{f DS}) d´efinies comme suit :

                   ˙ α_min(α, ˙α_{f DS}) = α_{f DS} α ¨ α_min ˙ α ^{ds + ˙αf DS} ˙ α_max(α, ˙α_{f DS}) = α_{f DS} α ¨ α_max ˙ α ^{ds + ˙αf DS} (4.15) ˙

αmin(α, ˙αf DS) et ˙αmax(α, ˙αf DS) sont les ´evolutions de α qui donnent le point final (α_{f DS}, ˙α_{f DS}) quand on applique respectivement l’acc´el´eration minimale possible et l’ac-c´el´eration maximale possible. Ces ´equations sont obtenues par int´egration en α `a rebours. Ces ´equations sont solutions des ´equations diff´erentielles (4.16).

¨

α = ¨α_min(α, ˙α)

¨

α = ¨α_max(α, ˙α) ^(4.16)

Nous pouvons maintenant d´efinir une surface dans la plan de phase en fermant le contour compos´e de ˙α_min(α, ˙α_{f DS}) et ˙α_max(α, ˙α_{f DS}).

Definition : Pour une vitesse donn´ee `a la fin du double support ˙α_{f DS}, nous consid´erons la surface S_d d´elimit´ee par ˙α_min(α, ˙α_{f DS}), ˙α_max(α, ˙α_{f DS}), ˙α = 0 et α = α_iDS.

Cette surface est repr´esent´ee en figure 4.4. Elle constitue effectivement une surface ferm´ee puisque ˙α_min(α, ˙α_{f DS}) intersecte de mani`ere ´evidente ˙α<sub>max</sub>(α, ˙α<sub>f DS</sub>) au point (α<sub>f DS</sub>, ˙α<sub>f DS</sub>), puisque ˙α = 0 intersecte aussi de mani`ere ´evidente α = α_iDS au point

(αiDS, 0). La fronti`ere ˙α = 0 a ´et´e introduite afin que la surface Sd n’inclue pas des

mouvements r´etrogrades avec ˙α > 0.

Le th´eor`eme suivant affirme que quelque soit un point dans la surface S_d, il est possible de trouver un mouvement satisfaisant les contraintes qui permet la convergence au point (α_{f DS}, ˙α_{f DS}).

Th´eor`eme 1 : ∀(α, ˙α) ∈ Sd,∃ un mouvement αDS(t) qui va de (α, ˙α) `a (α_{f DS}, ˙α_{f DS}) tout en v´erifiant (4.2). De plus ∀(α, ˙α) ∈ {(α, ˙α), tel que (α, ˙α) /∈ Sd et ˙α < 0 et α < αiDS},
αDS(t) qui permet d’aller de (α, ˙α) `a (αf DS, ˙αf DS), tout en v´erifiant (4.2).

Preuve : La d´emonstration est bas´ee sur la construction d’un mouvement qui va conver-ger vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}). Nous avons construit ce mouvement en appliquant l’acc´el´eration minimale puis maximale successivement. Nous appliquons d’abord ¨α_min. Le mouvement est solution de la premi`ere ´equation diff´erentielle de (4.16). La fonction ¨α<sub>min</sub> satisfait la condition de Lipschitz, la solution de l’´equation diff´erentielle est donc unique. Et deux solutions ayant des conditions initiales diff´erentes ne se croiseront jamais. Donc la so-lution de la premi`ere ´equation diff´erentielle de (4.16) ne croisera jamais ˙α_min(α, ˙α_{f DS}),

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 ˙ α = 0 ˙ α_min(α, ˙α_{f DS}) ˙ α_max(α, ˙α_{f DS}) α = α_iDS α ˙α

Fig. 4.4 – Repr´esentation de la surface S_d dans le plan de phase

ni ˙α = 0 car nous avons suppos´e (H3), ni α = α_iDS puisque nous avons suppos´e (H2).

Cette solution va donc forc´ement couper ˙α_max(α, ˙α_{f DS}). Finalement en appliquant ¨α_max

la mouvement va converger vers (αf DS, ˙αf DS). Bien sˆur ce mouvement n’est pas le seul qui permette de converger `a partir d’un point de S_d vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}). Typiquement, il y aura une infinit´e de tels mouvements. Si nous consid´erons maintenant un point initial (α, ˙α) ∈ {(α, ˙α), tel que (α, ˙α) /∈ Sd et ˙α < 0 et α < α_iDS}, avec le fait que deux

solu-tions des mˆemes ´equations diff´erentielles ne vont jamais se rencontrer, si (α, ˙α) est sous S_d (respectivement au dessus de S_d), la solution en appliquant l’acc´el´eration maximale (respectivement minimale) possible n’atteindra jamais (α_{f DS}, ˙α_{f DS}), sinon cela signifierait qu’il y a eu une intersection avec ˙α_max(α, ˙α_{f DS}) (respectivement ˙α_min(α, ˙α_{f DS})), ce qui est impossible.

Le th´eor`eme suivant signifie que la convergence vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}) peut ˆetre obtenue avec la commande (4.1) et avec un mouvement de r´ef´erence appropri´e.

Th´eor`eme 2 : Si un mouvement de r´ef´erence αc(t) tel que lorsque αc = αiDS, ˙αc = ˙αc,iDS

et lorsque α_c = α_{f DS}, ˙α_c = ˙α_{c,f DS} satisfait les contraintes (4.2) ∀α ∈ [αf DS, α_iDS], alors

∀α ∈ Sd la loi de commande (4.1) permet la convergence vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}).

Preuve : D’abord, un tel mouvement de α_c(t) est dans S_d, car si ce n’´etait pas le cas, il ne satisferait pas les contraintes pour arriver en (α_{f DS}, ˙α_{f DS}). Alors, de la mˆeme fa¸con que dans la preuve du th´eor`eme 1, il peut ˆetre montr´e que ∀(α, ˙α) ∈ Sd la commande (4.1) coupera α_c(t) et alors convergera vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}).

Il existe une infinit´e de tels mouvements de r´ef´erence cycliques α_c(t) satisfaisant les contraintes et les conditions limites (α_iDS, ˙α_iDS) et (α_{f DS}, ˙α_{f DS}). Et le choix de ce mou-vement de r´ef´erence n’a aucune influence sur la convergence vers (α_{f DS}, ˙α_{f DS}) avec cette

commande. Nous avons obtenu un tel mouvement α_c(t) par le processus d’optimisation pr´esent´e chapitre3.