Pr´ esentation des probl` emes CFEMF et CFEMF-OD

4.1.1. Probl`eme CFEMF

On veut r´esoudre le probl`eme du Couplage d’un Flot Entier et d’un Multiflot Fractionnaire (CFEMF).

Pour un multiflotf = (f^k)k∈K, on noteSum(f) = X

k∈K

f^k le flot agr´eg´e.

Trouver sur un r´eseau G= (V, E), un flot entierF ≥0 et un multiflot f ={f^k, k∈ K} ≥0 quiminimise c.F +p.Sum(f)

sous les contraintes

F ≤M AX (24.1)

C_min≤f ≤C_max (24.2)

X

e∈ω⁻(v)

Fe− X

e∈ω⁺(v)

Fe= 0 ∀v∈V (24.3)

X

e∈ω⁻(v)

f_e^k− X

e∈ω⁺(v)

f_e^k= 0 ∀v∈V,∀k∈K (24.4) Sum(f)_e≤F_e ∀e∈A (24.5)

F ∈N (24.6)

f ∈R⁺ (24.7)

connaissant un sous-ensemble supportA⊂E, un support d’indexationK, un vecteur capacit´e entier M AX = (M AXe)e∈E, deux familles de vecteurs C_min^k = (C_min^k _e)e∈E

etC_max^k = (C_max^k _e)e∈E, et des vecteurs coˆutsc≥0 et p≥0 index´es sur E.

Pl.24 : Probl`eme CFEMF

Les contraintes (24.3) et (24.4) sont les contraintes de conservation de flot pour F et f.

Les contraintes (24.5) sont les contraintes de couplage entre le flotF et le multiflotf. 4.1.2. Probl`eme CFEMF-OD

Lo¨ıc Yon Chapitre 4. Approche de Benders pour CFEMF

d´ej`a ´evoqu´e, cette approche particuli`ere se justifie par le fait que l’on ne cherche pas un syst`eme de connexions fixes mais un objet circulant que les passagers ne sont pas oblig´es d’utiliser pour se d´eplacer.

Contrairement aux formulations classiques, la contrainte de couplage ne concerne que certains arcs du r´eseau et il en r´esulte qu’il n’est plus possible d’envisager une approche poly´edrale fond´ee sur la relaxation de la contrainte d’int´egrit´e du flot : il n’est `a priori plus possible d’introduire des coupes sur le flot traduisant le fait que tous les arcs supports deF doivent connecter tout couple de sommets origine-destination de l’ensemble de commodit´es.

De plus, la contrainte d’int´egrit´e surF refl`ete le besoin, voire la n´ecessit´e, qu’ont les usagers de se regrouper (´economie d’´echelle) afin de partager un r´eseau d’infrastructures faiblement maill´e par rapport au r´eseau initial. La relaxation de cette contrainte fournit de mauvais r´esultats, refl´etant cette absence de partage, et ce, contrairement `a ce qui est observable dans les applications en T´el´ecommunications.

On normalise les demandes (X

k∈K

D^k = 1) et on suppose que chacune des demandes est petite devant l’unit´e.

Description du probl`eme Le probl`eme s’´enonce ainsi :

Trouver dans un r´eseau G= (V, E), un flot entier F ≥0 et un multiflot f ≥0 qui

Le probl`eme CFEMF-OD est bien un probl`eme CFEMF car pour se retrouver dans le cas du probl`eme pr´ec´edent, il suffit d’ajouter un arc fictif pour chaque commodit´e. Cet arc

Chapitre 4. Approche de Benders pour CFEMF Lo¨ıc Yon

ira ded^k `a o<sup>k</sup>, de capacit´es minimale et maximale identiques et ´egales `a la demande D^k de la commodit´e. Tous les arcs du graphe auront une capacit´e minimale nulle et une capacit´e maximale infinie (ou sup´erieure `a la demande maximale qu’ils peuvent satisfaire).

Taille du probl`eme

Variables

N m

R Km

Contraintes

´

egalit´es (K+ 1)n

”inf´erieur ou ´egal” a+ 2m(K+ 1) a+ (2m+n)(K+ 1)

Le probl`eme exprim´e en termes de programme lin´eaire mixte est rendu difficile par la pr´esence de m variables enti`eres (une pour chaque arc du graphe).

4.1.3. Exemple d’application : mod´elisation d’un probl`eme de transport Il s’agit de mod´eliser un probl`eme de transport du mˆeme ordre que ceux que l’on a pr´ e-sent´es au chapitre 2, en introduisantla notion de temps. On devra, par exemple, respecter une nouvelle contrainte comme ladate au plus tard d’arriv´ee `a destination.

Cette nouvelle contrainte est un ´el´ement constituant majeur pour une commodit´e. Prendre en compte une telle contrainte pourra faire exploser le nombre de commodit´es. En effet, pour un mˆeme trajet origine-destination, si l’on dispose de plusieurs dates d’arriv´ee au plus tard, on d´efinira autant de commodit´es.

On va faire l’optimisation sur un horizon de temps pr´ed´etermin´e et on cr´ee un graphe temporel discr´etis´e afin d’essayer d’en limiter la complexit´e. Malheureusement, cette ma-ni`ere de faire pourra introduire un biais de r´esolution.

On consid´erera deux modes de transport : un mode de transport rapide, en conteneur et un mode de d´eplacement lent lorsque le produit se d´eplace hors d’un conteneur.

Soit un grapheG= (V, E) repr´esentatif d’un r´eseau de transport. On aE =A∪A o`u A est l’ensemble des arcs de type ”rapide” etAl’ensemble des arcs de type ”lent”.

Soit un ensemble de commodit´es d´efinies par le quintuplet (o^k, d^k, D^k, t^k, T^k) o`u o^k est l’origine,d^k est la destination, D^k est la demande,t^k est la date pour laquelle le trajet doit ˆetre r´ealis´e,T^k est la dur´ee maximale acceptable du trajet.

Les conteneurs partent tous d’un d´epˆot unique not´e D et sont identiques de capacit´e donn´ee.

On choisit un pas de tempsδet un entierN tels que tous les produits soient acheminables de leur origine `a leur destination sur une ´echelle de temps allant de 0 `a N δ.

On va construire un graphe dynamique G^∗ = (V^∗, E^∗) prenant en compte certaines contraintes temporelles, les diff´erents modes de transport possibles et la discr´etisation tem-porelle.

Pour chaque sommetv∈V, on cr´eeN+ 1 copies ´etiquet´eesv₀, . . . , v_N. On rep´erera donc facilement dansG^∗ le sommet original deGpar la mise en indice de l’instant correspondant.

Pour ´etablir les lois de conservation de flot, on introduit deux sommets fictifsU etDpour repr´esenter respectivement les produits et le d´epˆot (par commodit´e, on garde le mˆeme nom

Lo¨ıc Yon Chapitre 4. Approche de Benders pour CFEMF

Si l’on note `(e), le temps de parcours de l’arc e, on d´etermine les quantit´es suivantes :

`<sup>∗</sup>(e) =d<sup>`(e)</sup>_δ e,t^∗k=d^t_δ^ke

Tous les arcs suivants d´efinissentE^∗ :

• deux arcs [vr, vr+1] pour v ∈V etr : 0. . . N−1, l’un de type rapide et l’autre de type lent ;

• [D, Dr] et [Dr, D] pourr : 0. . . N, arcs de type rapide ;

• [U, o^k_r] et [d^k_r, U] pour toutk etr: 0. . . N, arcs de type lent ;

• [x_r, y<sub>r+`</sub><sup>∗</sup><sub>(e)</sub>] pour toute= [x, y]∈A et 0≤r ≤N−`^∗(e), arcs de type rapide ;

• [x_r, y<sub>r+`</sub><sup>∗</sup><sub>(e)</sub>] pour toute= [x, y]∈A et 0≤r ≤N−`^∗(e), arcs de type lent.

Tous les arcs lents d´efinissent A^∗ et tous les arcs rapides d´efinissent A^∗. On a bien entendu A^∗∪A^∗ ⊂E^∗.

Le probl`eme de transport prend alors la forme d’un probl`eme CFEMF-OD de la forme : On cherche dans le r´eseau G^∗ d´efini pr´ec´edemment, un flot conteneur (v´ehicule) F et le multiflot produitf tels que :

• cF+pSum(f) est minimale ;

• Fe= 0 pour toutE ∈A^∗;

• f_e^k =D^k pour e= [U, o^k_r] o`ur =d^tk−T_δ ^ke (cf Note 1) ;

• f_e^k = 0 pour tout arce= [x, yr] tel quer > t^∗k;

• Sum(f)e ≤ Fe pour chaque e ∈ A^∗ (on peut introduire ici la capacit´e des conteneurs).

Pl.26 : Interpr´etation d’un probl`eme de type CFEMF-OD

Note 1 : Dans ce cas, on consid`ere que les passagers partent le plus tard possible, sinon il faut plutˆot utiliser la contrainte suivante :

X

e=[x,o^k_r]|r≤d(t^k−T^k)/δe

f_e^k =D^k

On cherche `a minimiser la quantit´e X

e∈A^∗

LeFe o`u

Le=











`<sub>e</sub> sieest de la forme [x<sub>r</sub>, y<sub>r+`</sub>^∗_e] µ sieest de la forme [x_r, x_r+1] α sieest de la forme [D, Dr] 0 ailleurs

avecµetαdeux constantes donn´ees repr´esentant des coˆuts li´es `a la chronologie (d´elai, temps d’attente, retard, etc).

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