Un cas simple : un routage satisfaisant au niveau temps

a ce mod`ele simplifi´e. La premi`ere motivation est de proposer diff´erentes alternatives dans le cadre d’une aide `a la d´ecisionen fonction des objectifs recherch´es, tel un jeu de construction.

Nous cherchons aussi `a obtenir des mod`eles qui soient directement exploitables par des sol-veurs de programmes lin´eaires comme CPLEX, XPRESS ou GLPK, mˆeme si nous explorons des pistes qui sont clairement non lin´eaires ou font intervenir d’autres m´ecanismes (multiob-jectif par exemple). On se servira donc du formalisme issu de la programmation lin´eaire en nombre entier. Lesecond objectif est de pouvoir disposer d’unpanel de solutionslorsque cela est possible pour servir de r´ef´erence et ainsi permettre l’´evaluation de la qualit´e des m´etaheuristiques que nous avons adapt´ees pour cette famille de probl`emes.

2.2. Un cas simple : un routage satisfaisant au niveau temps

Ce cas simple du mod`ele g´en´eral se concentre sur les temps de d´eplacement des pro-duits. On mesure la qualit´e de service en fonction du temps d’acheminement correspondant de l’origine `a la destination de la commodit´ek. On appelle Φ^kla fonction de qualit´e de service d´ependante du temps. Elle sera en g´en´eral param´etr´ee par diff´erents temps de d´eplacement, dits de r´ef´erence, qui serviront `a ´etablir sa forme, suivant sa nature.

Chapitre 2. R´eseaux de mobilit´e - Mod`eles Lo¨ıc Yon

2.2.1. Fonction objectif

On noteS la fonction objectif du probl`eme, i.e. la satisfaction totale. Si l’on appellet<sup>k</sup><sub>Γ</sub> le temps de parcours de la commodit´ek induit par le syst`eme de transport Γ, on a :

S=QoS= X

k∈K

D^kΦ^k(t^k_Γ(f^k))

Par abus de notation, on notera ´egalementScomme une fonction directement du multiflot f et non pas du temps induit, c’est-`a-dire :S= X

k∈K

D^kΦ^k(f^k)

2.2.2. Contraintes sur le syst`eme de transport recherch´e (conteneurs) Nous rappelons que nous cherchons `a d´eterminer le syst`eme de transport Γ, un flot re-pr´esentant le d´eplacement des conteneurs. Plusieurs contraintes peuvent ˆetre associ´ees `a ce flot :

• les contraintes de conservation de flottout d’abord, qui s’´ecrivent naturellement : X

e∈ω⁻(u)

x_e− X

e∈ω⁺(u)

x_e= 0,∀u∈V_A

• on peut vouloir ensuite contrˆoler le coˆut du syst`eme de transport et donc, si l’on dis-pose d’une famille de coˆut (pe)e∈A et d’une borne sup´erieure pmax de ce coˆut, on a la contrainte budg´etairesuivante :

X

e∈A

p_ex_e≤p_max

• enfin, on peut tout `a fait prendre en compte descontraintes de capacit´esur les arcs, c’est-`a-dire sur le nombre de conteneur circulant sur un arc, et ainsi, si (M AXe)e∈Aest une famille de bornes positives, on a :

0≤xe≤M AXe,∀e∈A 2.2.3. Contraintes sur le routage induit des produits

De cet objet principal d´ecoule le routage des produits que l’on mod´elise sous la forme d’un multiflot. Pour simplifier la mod´elisation, on prend unmultiflot fractionnaire`a valeurs dans l’intervalle r´eel [0,1]. Pour connaˆıtre la quantit´e de produitksur un arce, il suffit de multiplier f<sub>e</sub><sup>k</sup> par la demande D<sup>k</sup> associ´ee `a la commodit´e. Celui-ci doit donc respecter les contraintes de conservation du flot pour chaque composante :

X

e∈ω⁻(u)

f_e^k− X

e∈ω⁺(u)

f_e^k=b^k_u,∀u∈V,∀k

o`ub^k_u est une constante d´ependante de la nature du sommetuconsid´er´e pour la commodit´ek.

k

Lo¨ıc Yon Chapitre 2. R´eseaux de mobilit´e - Mod`eles

par le syst`eme de transport pour une commodit´e donn´ee k ∈ K. Connaissant les temps de parcoursc_e des arcs de G, ce temps s’´ecrit naturellement comme suit :

t^k_Γ=X

e∈E

c_ef_e^k

Par abus de notation, on le notera le plus souventt^k. 2.2.4. Contraintes de couplage

Les contraintes de couplage sont au cœur du probl`eme que nous ´etudions. Elles symbolisent la relation forte entre le routage des produits et le flot des conteneurs qui circulent sur le r´eseau.

Comme dans tous les probl`emes de synth`ese de r´eseaux, ce sont ces contraintes qui rendent leprobl`eme difficile.

Elles se d´eclinent de plusieurs fa¸cons, suivant les param`etres que l’on veut prendre en compte ou encore suivant les m´ethodes de r´esolution (certaines contraintes peuvent avoir un meilleur comportement vis-`a-vis des diff´erentes relaxations comme on a pu le constater lors de l’´etude des diff´erents probl`emes au chapitre consacr´e `a l’´etat de l’art).

Conteneurs de taille infinie

Supposons tout d’abord que la capacit´e des conteneurs est infinie (ce qui peut ˆetre le cas par exemple sur un r´eseau si, sur une ´echelle de temps donn´ee, la fr´equence des conteneurs est suffisamment ´elev´ee pour absorber tout le trafic). On peut normaliser les demandes des produits, X

k∈K

D^k= 1 et alors les contraintes de couplage sont : X

k∈K

f_e^k≤xe,∀e∈A

Ce qui donnem contraintes de couplage.

On peut tr`es bien choisir d’´eclater cette contrainte au niveau des commodit´es, et plutˆot choisir de l’´ecrire :

f_e^k≤x_e,∀e∈A,∀k∈K

On a alorsmKcontraintes. Mais cette formulation peut ˆetre plus forte en terme de relaxation.

Conteneurs identiques de taille donn´ee

Supposons maintenant que la capacit´e des conteneurs, tous identiques, est finie et fix´ee `a la valeurQ. La contrainte de couplage entre le flot et le multiflot, s’´ecrit naturellement :

X

k∈K

D^kf_e^k ≤Qx_e,∀e∈A

Chapitre 2. R´eseaux de mobilit´e - Mod`eles Lo¨ıc Yon

2.2.5. Mod`ele

Voici donc une instance simple du probl`eme de synth`ese de r´eseaux de mobilit´e avec demande ´elastique o`u les conteneurs sont de capacit´e infinie et o`u le support temps est limit´e :

Trouver sur un r´eseau G = (V, E), un flot conteneur x = (xe)e∈A et un multiflot produitf = (f_e^k)^k∈K_e∈E tels que S= X

k∈K

D_kΦ^k(f^k) soitmaximale (20.0) sous les contraintes :

X

e∈A

p_ex_e≤p_max (20.1)

X

e∈ω⁻(u)

xe− X

e∈ω⁺(u)

xe= 0 ∀u∈VA (20.2)

X

e∈ω⁻(u)

f_e^k− X

e∈ω⁺(u)

f_e^k=b^k_u ∀u∈V,∀k (20.3) f_e^k≤x_e ∀e∈A,∀k (20.4) xe∈N,0≤xe≤M AXe ∀e∈A (20.5) f_e^k∈[0,1] ∀e∈E,∀k (20.6) connaissant A ⊂ E, des commodit´es (D^k, o^k, d^k)k∈K, des coˆuts p_max, (p_e)e∈A et (ce)e∈E, et des capacit´es (M AXe)e∈A

Pl.20 : Instance simple du probl`eme de synth`ese de r´eseaux de mobilit´e

En raison de la probl´ematique soulev´ee en introduction qui consiste `a ˆetre capable de connaˆıtre des fonctions de qualit´e de service acceptables et r´ealistes, nous avons laiss´e une forme encore tr`es g´en´erale dans cette formulation. Nous allons choisir des expressions parti-culi`eres de ces fonctions au point 2.3.

Ce mod`ele se place dans l’optique o`u l’on cherche des lignes de transport associ´ees aux conteneurs. Avec une mod´elisation par flot, ces lignes sont ferm´ees, on peut donc aussi parler de circuits ou encore de tourn´ees. Un tel mod`ele ne permet pas de connaˆıtre, a priori, ni le nombre de lignes cr´e´ees ni leurs qualit´es intrins`eques (forme, taille, ...). Sans analyse, on ne sait pas non plus si des connexions complexes sont pr´esentes sur le r´eseau. Nous verrons comment ajouter des contraintes pour fixer le nombre de tourn´ees d´esir´ees au point 2.4.6.

Comme nous l’avons d´ej`a ´evoqu´e, ce mod`ele ne prend pas en compte certains probl`emes li´es `a la gestion du temps : synchronisation des lignes et connexions complexes.

Nous pouvons juste supposer qu’il y a suffisamment de conteneurs (au niveau de la fr´equence) pour absorber la demande globale.

Le d´eplacement des conteneurs se fait sur les arcs rapides sur des lignes d´etermin´ees par x. Le d´eplacement des produits se fait suivant la r`egle du plus court chemin (PCC) de

Lo¨ıc Yon Chapitre 2. R´eseaux de mobilit´e - Mod`eles

Le nombre de variables enti`eres, le nombre d’arcs rapides a, peut devenir probl´ematique lors de la r´esolution d’un probl`eme.

2.2.7. Complexit´e th´eorique

Montrons que ce probl`eme, mˆeme avec une formulation aussi simple, est un probl`eme NP-difficile.

Pla¸cons-nous dans les conditions suivantes :A=E, Φ^k(f^k) =P

ecef_e^k,Dk = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ . On cherche alors `a minimiserP

exe. Chercher une telle somme inf´erieure ou ´egale `a n(n=|V|) revient `a trouver un cycle hamiltonien et se ram`ene donc `a un probl`eme de Voyageur de Commerce qui est NP-difficile [LR81], mˆeme si quelques unes des instances de ce probl`eme peuvent ˆetre r´esolues en temps polynomial [LAP92].

2.2.8. Borne sup´erieure sur la fonction objectif

Nous aimerions r´epondre `a la question de savoir si on peut disposer d’une bonne borne sur l’´evaluation de la fonction objectif S.

Naturellement, si la contrainte (20.1) est relˆach´ee, il est tr`es facile de calculer une borne sup´erieure Smax de S. En effet, elle est obtenue si toutes les commodit´es sont rout´ees avec une qualit´e de service optimale et vaut :

Smax= X

k∈K

D^k

Bien entendu, dans le cas g´en´eral, cette borne est grossi`ere et doit ˆetre mod´er´ee suivant les contraintes sur le coˆut du syst`eme de transport Γ , notamment (20.1). Nous ne disposons pas d’une borne plus fine qui s’exprimerait en fonction de ce coˆut. Cependant, on peut esp´erer obtenir une bonne estimation en r´esolvant un programme lin´eaire o`u les contraintes d’int´egrit´e du flot sont relˆach´ees : en effet, la satisfaction r´eelle ne peut ˆetre sup´erieure `a la satisfaction obtenue en relˆachant ces contraintes. Nous discutons du gap, ´ecart d’´evaluation de la fonction objectif entre la solution enti`ere et la solution obtenue par relaxation, `a la section 2.5.