Avant d’introduire la th´eorie des graphes, nous aimerions rappeler quelques notations utiles au d´eveloppement propos´e dans ce chapitre
Notations : Pour une matrice carr´ee P ∈ RN ×N, P 0 (resp. P ≺ 0) signifie que la matrice P est d´efinie positive (resp. n´egative). λmin(P ) est la plus petite valeur propre de la matrice P .
Soit diag(a1, a2. . . aN −1, aN) la matrice diagonale d´efinie par a1 0 . . . 0 0 . .. ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 aN ∈ RN ×N. Pour
un vecteur x∈ RN donn´e,|x| (resp. ||x||) d´esigne la norme 1 (resp. 2 ou euclidienne) de x. Pour x = (x1, . . . , xN)T ∈ RN et b≥ 0, d´efinissons bxeb = sign (x1)|x1|b, . . . , sign (xN)|xN|bT
. Soit D∗f (t) la d´eriv´ee sup´erieure droite de Dini d’une fonction f (t), i.e. D∗f (t) = limh→0+supf (t+h)−f (t)h . Rappelons que la d´eriv´ee de Dini est une g´en´eralisation de la d´eriv´ee d’une fonction.
Th´eorie des graphes
Afin de r´esoudre le probl`eme de rendez–vous et mod´eliser l’´echange d’informations entre les agents, la th´eorie des graphe est rappel´ee ci–dessous.
Consid´erons un groupe de N syst`emes, appel´es agents. La topologie de communication parmi tous les agents peut ˆetre repr´esent´ee par un graphe not´e G qui consiste `a un ensemble de noeuds V = {1, 2, · · · , N} et un ensemble de liens E ⊂ V × V. Notons que chaque noeud de l’ensemble V correspond `a un agent i et chaque lien (i, j)∈ E correspond `a un lien de communication de l’agent i vers l’agent j.
La topologie du graphe G est repr´esent´ee par la matrice pond´er´ee A = (aij) ∈ RN ×N, appel´ee matrice adjacente qui est donn´ee par aij > 0 si (j, i)∈ E et aij = 0 sinon. La matrice Laplacienne du graphe G est d´efinie par L = (lij) ∈ RN ×N o`u lii = PN
j=1, j6=iaij et lij = −aij pour i 6= j. En guide d’exemple, on peut voir sur les Fig. 5.2 et 5.3 deux graphes de communication avec leur matrice Laplacienne respective. Un graphe G est dit connect´e si et seulement si sa matrice Laplacienne a une seule valeur propre nulle avec son vecteur propre associ´e 1N = (1, 1, . . . , 1)T ∈ RN [Ren et al., 2005].
Figure 5.3 – Exemple de graphe de communication non dirig´e.
Le graphe de communication peut ˆetre dirig´e ou non et fixe ou commutant. Le graphe est dirig´e (cf. Fig. 5.2) si les communications sont unidirectionnelles entre les agents, i.e.∃i, j ∈ V, (i, j) ∈ E ⇒ (j, i) /∈ E. Pour les graphes dirig´es, la matrice adjacente n’est pas sym´etrique. Le graphe de communication est non dirig´e (cf. Fig. 5.3) si les communications entre les agents se font dans les deux sens, i.e. ∀i, j ∈ V, (i, j) ∈ E ⇔ (j, i) ∈ E. De plus, pour les graphes non dirig´es, la matrice adjacente A est sym´etrique et la matrice Laplacienne est sym´etrique d´efinie positive. Lorsque le graphe est fixe, la topologie de communication ne varie pas au cours du temps. A l’inverse, le graphe est commutant si les liens de communication entre les agents changent au cours du temps comme on peut le voir sur la Fig. 5.4.
Pour ce chapitre, le graphe de communication est fixe et non dirig´ee, c’est–`a–dire que les communi-cations se font dans les deux sens et ne varient pas au cours du temps.
Stabilit´e `a temps fixe
La strat´egie de commande propos´ee dans ce chapitre se base sur la stabilit´e `a temps fixe. Il est donc pr´ef´erable de la rappeler bri`evement. Consid´erons le syst`eme suivant
( ˙
x(t) ∈ F (t, x(t))
x(0) = x0 (5.2.1)
o`u x∈ Rn est l’´etat du syst`eme, F : R+× Rn→ Rn est une fonction semi-continue `a valeur convexe, telle que l’ensemble F (t, x(t)) soit non vide pour chaque (t, x)∈ R+× Rn et F (t, 0) = 0 pour t > 0. Les solutions du syst`eme (5.2.1) sont comprises au sens de Filippov [Fillippov, 1988].
D´efinition 5.1 [Bhat et Bernstein, 2005] L’origine du syst`eme (5.2.1) est globalement un ´equilibre `
a temps fini s’il existe une fonction T : Rn 7→ R+ telle que pour tout x0 ∈ Rn, la solution x(t, x0) du syst`eme (5.2.1) est d´efinie, stable au sens de Lyapunov et que x(t, x0)∈ Rn pour t∈ [0, T (x0)) et limt→T (x0)x(t, x0) = 0. T (x0) correspond au temps de convergence.
D´efinition 5.2 [Polyakov, 2012b] L’origine du syst`eme (5.2.1) est globalement un ´equilibre `a temps fixe s’il est globalement stable `a temps fini et le temps de convergence T (x0) est born´ee par un r´eel positif Tmax > 0, i.e. T (x0)≤ Tmax pour tout x0 ∈ Rn.
La stabilisation `a temps fixe `a l’origine peut ˆetre d´emontr´ee `a l’aide du plus simple syst`eme de contrˆole scalaire ˙x(t) = u(t) (simple int´egrateur), o`u x ∈ R est l’´etat du syst`eme et u ∈ R est son entr´ee. Si le retour d’´etat u =− sign (x) est appliqu´e, alors le syst`eme en boucle ferm´ee est stable en temps fini avec le temps de stabilisation T (x0) =|x0|. Il convient de noter que le temps de convergence est d´ependant des conditions initiales et est non born´e. Le protocole de commande `a temps fixe issu de [Polyakov, 2012b] est de la forme u =−(|x|2+ 1) sign (x). Ceci garantit une convergence `a temps fini ind´ependamment des conditions initiales, `a savoir une convergence `a temps fixe o`u T (x0)≤ Tmax= π2. Pour illustrer ces propos, deux figures sont propos´ees. La Fig. 5.5–(a) donne une comparaison entre les convergences asymptotique, `a temps fini et `a temps fixe pour le syst`eme ˙x(t) = u(t). La Fig. 5.5–(b) montre l’ind´ependance par rapport aux conditions initiales du protocole de commande propos´e dans [Polyakov, 2012b] pour ce syst`eme.
Lemme 5.1 [Polyakov, 2012b] Supposons qu’il existe une fonction d´efinie continuement d´erivable et radialement non born´ee V : Rn→ R+ telle que
(a) (b)
Figure 5.5 – Exemples pour le syst`eme ˙x(t) = u(t) : (a) comparaison entre convergence asymptotique, `a temps fini et `a temps fixe (b) Ind´ependance par rapport aux conditions initiales du protocole de commande `a temps fixe
avec a, b, p, q, k > 0, pk < 1 et qk > 1. Alors, l’origine de l’inclusion diff´erentielle (5.2.1) est globalement stable `a temps fixe avec un temps de convergence estim´e par
T (x0)≤ Tmax= 1
ak(1− pk) + 1 bk(qk− 1)
En affinant ce lemme, on peut obtenir un r´esultat moins conservatif `a l’aide du lemme ci–dessous.
Lemme 5.2 [Parsegov et al., 2012] Supposons qu’il existe une fonction d´efinie continuement d´erivable et radialement non born´ee V : Rn→ R+ telle que
D∗V (x)≤ −aVp(x)− bVq(x) pour x6= 0
o`u a, b > 0, p = 1− 1
µ, q = 1 + 1µ et µ≥ 1. Alors, l’origine de l’inclusion diff´erentielle (5.2.1) est globalement stable `a temps fixe avec un temps de convergence estim´e par
T (x0)≤ Tmax= πµ 2√
ab