Souvent, une information spécifique concernant un cas particulier peut être exploitée pour améliorer le calcul en réduisant la taille du problème pour ce cas. Dans l’article de Belmokh- tar et al. [Belmokhtar et al., 2006] certaines procédures de prétraitement de données ont été développées avant l’utilisation d’un modèle de programmation linéaire en variables mixtes du problème P .
Nous allons proposer une autre procédure adaptée à notre approche. Ses objectifs sont les suivants :
• Réduire l’ensemble des blocs.
• Diminuer l’ensemble des LA-stations.
• Déterminer les LA-stations présentes dans la solution optimale (les LA-stations certaines).
Extension des relations de précédence. L’instrument principal du prétraitement est
l’analyse des relations de précédence. Si l’ensemble des arcs Ao du graphe de précédence Go =
des LA-stations W sans perte de la solution optimale.
L’ensemble Ao peut être élargi de la façon suivante. Si une opération i précède une opération j, c’est-à-dire, (i, j) ∈ Ao, et si k ∈ I0 alors l’arc (k, j) est ajouté à Ao. Après l’ajout de tous
ces arcs, des opportunités d’ajouter des arcs transitifs dans le graphe Go peuvent apparaître.
Les arcs transitifs sont également ajoutés.
Réduction de l’ensemble des blocs B. Définissons les relations de précédence sur l’en-
semble des blocs de sorte qu’un bloc b1 précède un bloc b2 . C’est exprimé comme b1 ⇒ b2,
s’il y a des opérations i ∈ b1, j ∈ b2 telles que i → j. Ces relations ne sont pas transitives et
elles admettent des cycles. Introduisons un graphe non-orienté Gb = (B, Eb) représentant des conflits de blocs, pour lequel l’ensemble des sommets coïncide avec l’ensemble des blocs B. Il
y a une arête de conflit {b1, b2} ∈ Eb dans ce graphe si et seulement si les blocs b1 et b2 ont
soit une opération commune soit ils précédent l’un l’autre : b1 ⇒ b2 et b2 ⇒ b1. Les blocs reliés
par une arête de conflit sont appelés (mutuellement) en conflit. Il est évident que des blocs en conflit ne peuvent pas être simultanément présents dans une solution admissible du MinSPP.
Nous allons appliquer un prétraitement des données du problème pour élargir l’ensemble des arêtes de conflit. Considérons les blocs b1 et b2 tels que {b1, b2} 6∈ Eb. Considérons l’ensemble B
sans tous les blocs en conflit avec b1 ou b2. Si cet ensemble ne couvre pas l’ensemble de toutes
les opérations N , alors une arête {b1, b2} est introduite, c’est-à-dire que b1 et b2 ne peuvent pas
apparaître simultanément dans une solution admissible.
L’ensemble des blocs B peut être réduit de la façon suivante. Si l’ensemble N de toutes les opérations n’est pas couvert par un bloc b quelconque et tous les blocs qui ne sont pas en conflit avec lui, alors b ne peut pas être présent dans une solution admissible. Il est donc retiré de l’ensemble B. Un ensemble initial W des LA-stations sera donc construit en utilisant l’ensemble réduit B.
Réduction de l’ensemble W des LA-stations. Si une LA-station contient au moins deux
blocs en conflit, alors elle est enlevée de l’ensemble W. S’il y a deux LA-stations Wr et Wp telles
que leurs ensembles d’opérations coïncident etP
b∈Wrq(b) ≤
P
b∈Wpq(b), alors la station Wp est
retirée de W. Pour les LA-stations restantes, nous effectuons les calculs suivants. Le graphe
réduit W.
Deux stations Wi et Wj sont appelées en conflit (mutuellement) si elles ont une opération
commune ou il y a des arcs (Wi, Wj) et (Wj, Wi) dans le graphe Gw. Des stations en conflit ne
peuvent pas être présentes dans une solution admissible du MinSPP. Si l’ensemble N de toutes les opérations n’est pas couvert par une station W quelconque et les stations qui ne sont pas en conflit avec elle, alors W ne peut pas être présente dans une solution admissible. Elle est donc enlevée de l’ensemble W.
Notons que l’analyse complète des stations en conflit nécessite un temps O(|W|2) qui peut
être très grand pour des situations pratiques où |W| peut atteindre des centaines de milliers. Dans ce cas, une analyse réduite des conflits entre les stations et les blocs peut être effectuée. Appelons une station W et un bloc b en conflit si W est en conflit avec une station W0 = {b}. Si l’ensemble N de toutes les opérations n’est pas couvert par une LA-station W quelconque et par les blocs qui ne sont pas en conflit avec W , alors W est retirée de l’ensemble W. L’analyse réduite peut être mise en œuvre en temps O(nT |W|).
Les ensembles Sj des LA-stations qui contiennent une opération j, j ∈ N , sont construits
en se fondant sur l’ensemble réduit W. Ensuite, si k 6= j et l’ensemble Sk comporte l’ensemble Sj comme un sous-ensemble propre, alors des LA-stations de l’ensemble Sk\Sj sont enlevées de
W.
LA-stations certaines. Si une opération j appartient à une seule LA-station Wr, c’est-à-
dire, Sj = {Wr}, alors Wr est présente dans une solution optimale, et nous définissons xr = 1.
Resserrement des inégalités (3.4) et (3.5). Soit Q une collection des ensembles non-
intersectés Sj, y compris le cas d’un seul ensemble Sj. L’inégalité (3.5) peut être resserrée de
sorte que les variables xr correspondantes aux LA-stations de Q en sont retirées (mais pas des
autres contraintes ni de la fonction objectif), la borne de côté gauche est remplacée par 0 et la borne de côté droit est ré-initialisée comme m0 := m0− |Q|.
Une procédure similaire peut être appliquée aux inégalités de « cycle » (3.4) : si toutes les LA- stations de la collection Q définie plus haut appartiennent à un certain cycle Y , alors l’égalité correspondante (3.4) peut être resserrée de sorte que les variables xr correspondantes aux LA-
de la fonction objectif) et la borne de côté droit est ré-initialisée comme |Y | − 1 := |Y | − 1 − |Q|. Toutes les actions de prétraitement décrites plus haut sauf la dernière sont réitératives. Pour le resserrement d’une des inégalités (3.4) ou (3.5), seulement un ensemble Q (même si c’est un seul ensemble Sj) peut être utilisé.
Une application des actions de prétraitement « LA-stations certaines » et « Resserrement des inégalités (3.4) et (3.5) » peut conduire à ce que dans la formulation du MinSPP une égalité apparaît dans laquelle le côté droit contient un zéro. Dans ce cas, toutes les variables du côté gauche sont mises à zéro. Cela implique l’élimination des LA-stations correspondantes de l’ensemble W.