3.2.1 Hypothèses mathématiques
Soit T le temps maximal de l’étude,
0† T § `8. On rappelle que
E0 “ tq P L2p0, T ; L2p⌦qq; 0 § qpt, xq § ¯p presque partout dans ⌦ ˆ p0, T qu,
E “ tq P L2p0, T ; L2p⌦qq X W1,1p0, T ; Xq; 0 § qpt, xq § ¯p presque partout dans ⌦T, }↵Btq}L1p0,T ;Xq § Cpu $ ’ ’ & ’ ’ %
où X est tel que L2p⌦q s’injecte continûment dans X, Cp ° 0 est une constante donnée et ↵ P R est défini par ↵ “
#
0 si g “ gpt, x, pq tel que ✏p ` g est indépendant de p, 1 sinon.
On note bien sûr que E0 “ E lorsque ↵ “ 0. On pose enfin pour tout ✏ ° 0
E✏ “ tq P L2p0, T ; L2p⌦qq X W1,1p0, T ; Xq; 0 § qpt, xq § ¯p presque partout dans ⌦T, }✏↵Btq}L1p0,T ;Xq § Cpu. Lorsque ✏ Ñ 0, l’ensemble E✏ tend vers E0.
On reprend les mêmes hypothèses qu’au chapitre précédent, à savoir :
— l’opérateur Spvq est supposé donné par (1.2) avec ↵L• ↵T • 0. Notons que d’après la définition (1.2) du tenseur de dispersion, on a
Spvq⇠ ¨ ⇠ • pSm` ↵T |v|q |⇠|2
,|Spvq⇠| § pSm` ↵L|v|q |⇠| @⇠ P RN.
On suppose que Sm ° 0. On suppose qu’il existe des réels ´et `avec 0 † ´ § `
tels que le tenseur de perméabilité vérifie :
— on suppose que B⌦ est de classe C2 et qu’une des deux hypothèses suivantes est vérifiée (afin d’assurer v P L8p⌦Tq) :
P pC1p¯⌦qqNˆN et 1 P W2,pp¯⌦q avec p ° N,
“ ˚Id avec ˚ : ¯⌦Ñ R et ˚ P C1p¯⌦q et 1 P W2,pp¯⌦q avec p ° N 2 ;
— on suppose que la fonction x fiÑ rp✏, xq est dérivable à dérivée bornée sur r0, 1s et telle que rp✏, 0q “ 0, rp✏, 1q ` g • 0, et ce pour tout 0 † ✏ † ✏0 où ✏0 ° 0 ;
— posant pour tout 0 † ✏ † ✏0 et x P r0, 1{✏s, r✏pxq “ rp✏, ✏xq{✏, on suppose que r✏
converge simplement vers ˜r;
— on suppose que ˜r est concave, dérivable à dérivée bornée sur R`; — le facteur de retard est tel que R ° 0 ;
— la concentration initiale est c0 P L8p⌦q avec 0 § c0pxq § 1 presque partout dans ⌦;
— la fonction g appartient à L8p⌦Tq ;
— la fonction f est continue2, strictement concave et définie sur ⌦ ˆ r0, ¯ps ;
— pour presque tout x P ⌦, l’opérateur c P L2p⌦Tq fiÑ Dpx, cq P Mp⌦Tq est croissant, strictement convexe, hémicontinu et borné au sens où il existe h P L1p⌦Tq tel que |Dpx, cq| § hpt, xq presque partout dans ⌦T, pour tout c P L2p⌦Tq ;
— la porosité appartient à L8p⌦q et il existe ´ et ` des réels tels que 0† ´§ pxq § `, presque pour tout x P ⌦ ;
— dans le cas de conditions aux bords de type Dirichlet pour la concentration (c “ c1
sur B⌦ ˆ p0, T q, (1.11)), on supposera la régularité suivante pour c1 : c1 P H1p0, T ; L2p⌦q X L2p0, T ; W1,8p⌦qq si ↵T “ 0, c1 P H1p0, T ; L2p⌦q X L2p0, T ; W1,4p⌦qq si ↵T ° 0 ;
2. L’hypothèse de continuité de f par rapport à p peut être légèrement assouplie en supposant f semi-continue supérieurement et bornée par rapport à p, cf Remarque 1.2.1.
— dans le cas de conditions aux bords de type Neumann pour la charge hydraulique (´r ¨ n “ v1 sur B⌦ ˆ p0, T q, (1.12)), on supposera
v1 P L2pB⌦q.
Remarque 3.2.1 Explicitons l’hypothèse de convergence simple de r✏ vers ˜r dans le cas simple où le terme de réaction issu du processus d’adimensionnement est rp✏, ✏ˆcpq “ rp✏ˆcpq, c’est-à-dire le cas où les paramètres caractéristiques de la réaction ne dépendent pas de ✏. Supposer l’existence de ˜r revient alors à supposer que r1p0q existe. Ce n’est donc pas une hypothèse supplémentaire. Notons qu’alors, pour ✏c✏ au voisinage de 0, on peut écrire rp✏c✏q “ rp0q ` ✏c✏r1p0q ` ✏c✏⌘p✏c✏q avec lim✏c✏Ñ0⌘p✏c✏q “ 0, où rp0q “ 0 par hypothèse. Si c✏converge de façon adéquate vers c, on a alors r✏pc✏q “ rp✏c✏q{✏ qui converge vers ˜rpcq “ r1p0qc. On est donc dans le cas où à la limite l’isotherme est linéaire. Mais en tenant compte d’une potentielle dépendance de r en ✏, i.e. rp✏, ✏ˆcpq, on doit envisager à la limite des isothermes variés.
3.2.2 Problème dépendant de ✏
Dans le problème d’optimisation dépendant de ✏, la fonctionnelle à optimiser dans E est celle introduite précédemment :
Jpp✏, c✏,p✏q “ ª R` ˆª ⌦ fpx, p✏q ´ Dpx, c✏,p✏q dx ˙ e´⇢tdt.
L’équation d’état associée est le modèle d’équations aux dérivées partielles dépendant de ✏ régissant le problème hydrogéologique. Nous introduisons une définition de solution faible appropriée à cette "équation" en ✏.
Définition 3.2.1 Soit p✏ P E0. L’équation d’état désigne le système
R Btpc✏,p✏q ´ divp Spv✏,p✏qrc✏,p✏q ` v✏,p✏ ¨ rc✏,p✏ “ ´r✏pc✏,p✏q ` p✏p1 ´ ✏c✏,p✏q ´ gc✏,p✏
(3.14) divpv✏,p✏q “ ✏p✏` g, v✏,p✏ “ ´r ✏,p✏, (3.15) dans ⌦ ˆ p0, T q, complété par les conditions initiales et aux bords
Spv✏,p✏qrc✏,p✏¨ n “ 0 sur B⌦ ˆ p0, T q, c✏,p✏|t“0 “ c0 dans ⌦ (3.16)
Un couple pc✏,p✏, ✏,p✏q, avec c✏,p✏ P L2p0, T ; H1p⌦qq et ✏,p✏ P L8p0, T ; H2p⌦qq, est solution faible de (3.14)-(3.17) au sens où pour toute fonction test ' P H1p0, T ; H1p⌦qq avec '|t“T “ 0, on a : ´ ª ⌦T R c✏,p✏Bt' dx dt´ ª ⌦ R c0'|t“0dx` ª ⌦Tpv✏,p✏¨ rc✏,p✏q' dx dt ` ª ⌦T Spv✏,p✏qrc✏,p✏¨ r' dx dt “ ª ⌦T ´ ´r✏pc✏,p✏q ` p✏p1 ´ ✏c✏,p✏q ´ gc✏,p✏ ¯ ' dx dt, (3.18) ª ⌦T div v✏,p✏' dx dt“ ª ⌦Tp✏p✏` gq' dx dt, (3.19) et pour tout P L1p0, T ; H1 0p⌦qq, ª ⌦T v✏,p✏ ¨ r dx dt “ ª ⌦T´r ✏,p✏ ¨ r dx dt, (3.20) ✏,p✏ “ 1 sur B⌦ ˆ p0, T q. (3.21) Nous pouvons alors définir le sous-ensemble Ec de E contraint par l’équation d’état :
Ec “ tp✏ P E✏;Dpc✏,p✏, ✏,p✏q solution faible du système (3.14)-(3.17) associé à p✏
au sens de la Définition 3.2.1u. Mais au vu des résultats du paragraphe 2.3 du Chapitre 2, on a Ec “ E✏.
Notre problème de contrôle optimal peut alors être défini comme suit. Définition 3.2.2 Trouver pp˚ ✏, c˚✏, ˚✏q tels que Jpp˚ ✏, c˚✏q “ max p✏PE✏Jpp✏, c✏,p✏q et pc˚
✏ “ c✏,p˚✏, ˚✏ “ ✏,p˚✏q est solution faible du système (3.14)-(3.17) associé à p˚
✏ au sens de la Définition 3.2.1.
On rappelle le résultat d’existence issu du Théorème 2.4.2 (mais qui sera re-démontré dans le présent chapitre avec une autre méthode, voir au paragraphe 3.5) :
Proposition 3.2.1 Soit ✏ ° 0.3 Il existe une solution pp˚
✏, c˚✏, ˚✏q au problème de contrôle optimal au sens de la Définition 3.2.2 telle que pour tout T ° 0, c˚
✏ P H1p0, T ; W´1,4p⌦qqX L2p0, T ; H1p⌦qq, v˚
✏ P L8p0, T ; L8p⌦qq et 0 § c˚
✏pt, xq § 1
✏ presque partout dans ⌦ ˆ R.
3. La preuve du principe du maximum 0 § c˚
✏ § 1
✏ presque partout dans ⌦ ˆ p0, T q présuppose que la condition initiale vérifie 0 § c0pxq § 1
✏ presque partout dans ⌦ ˆ p0, T q. Comme c0est supposée telle que c0pxq • 0 presque partout et que c0 P L8p⌦Tq, la Proposition 3.2.1 est plus rigoureusement vraie pour tout ✏ ° 0 tel que ✏ † sup⌦Tc0.
Remarque 3.2.2 L’équation d’état est :
R Btc˚✏ ` v˚✏ ¨ rc˚✏ ´ divp Spv✏˚qrc˚✏q “ ´r✏pc˚✏q ´ gc˚✏ ` p˚✏p1 ´ ✏c˚✏q. L’estimation 0 § c˚
✏ § 1
✏ (qui équivaut à 0 § ✏c˚
✏ § 1) presque partout pour le problème dépendant de ✏ est due au terme p1 ´ ✏c˚
✏q (voir le Chapitre 2).
Remarque 3.2.3 À ✏ ° 0 fixé, chercher le contrôle optimal dans E✏ est bien sûr équi-valent à le chercher dans E. Nous avons cependant choisi de mentionner la dépendance en ✏ car nous utiliserons plus loin une suite de contrôles optimaux (✏ fiÑ p˚
✏) et nous voulons insister sur le fait que la borne du contrôle dans W1,1p0, T ; Xq peut être choisie arbitrairement grande.
3.2.3 Problème limite
La fonctionnelle à optimiser dans le problème d’optimisation limite est toujours la suivante Jpp, cpq “ ª R` ˆª ⌦ fpx, pq ´ Dpx, cpq dx ˙ e´⇢tdt,
mais cette fois-ci dans E0. En effet, l’espace E0 est l’espace "naturel" de recherche de l’optimum puisque, au vu de l’équation d’état définissant la vitesse qui ne dépend pas de p (voir par exemple (3.27) quelques lignes plus bas), l’espace E doit être caractérisé par ↵“ 0 ici, et on a donc E “ E0.
L’équation d’état associée est le modèle d’équations aux dérivées partielles régissant le problème hydrogéologique après upscaling. Nous introduisons une définition de solution faible appropriée à cette "équation" limite.
Définition 3.2.3 Soit p P E0. L’équation d’état désigne le système
R Btc´ divp Spvqrcq ` v ¨ rc “ ´˜rpcq ` p ´ gc (3.22) divpvq “ g, v “ ´r , (3.23) dans ⌦ ˆ p0, T q, complété par les conditions initiales et aux bords
Spvqrc ¨ n “ 0 sur B⌦ ˆ p0, T q, c|t“0 “ c0 dans ⌦ (3.24) “ 1 sur B⌦ ˆ p0, T q. (3.25)
Un couple pc, q, avec c P L2p0, T ; H1p⌦qq et P L8p0, T ; H2p⌦qq, est solution faible de (3.22)-(3.25) au sens où pour toute fonction test ' P H1p0, T ; H1p⌦qq avec '|t“T “ 0, on a : ´ ª ⌦T R cBt' dx dt´ ª ⌦ R c0'|t“0dx` ª ⌦T pv ¨ rcq' dx dt ` ª ⌦T Spvqrc ¨ r' dx dt “ ª ⌦t ` ´˜rpcq ` p ` pqp1 ´ cq ´ gc˘' dx dt, (3.26) ª ⌦T div v' dx dt“ ª ⌦T g' dx dt, (3.27) et pour tout P L1p0, T ; H1 0p⌦qq, ª ⌦T v¨ r dx dt “ ª ⌦T ´r ¨ r dx dt, (3.28) “ 1 sur B⌦ ˆ p0, T q. (3.29) Nous pouvons alors définir le sous-ensemble Ec0 de E0 contraint par l’équation d’état :
Ec0 “ tp P E0;Dpcp, q solution faible du système (3.22)-(3.25) associé à p
au sens de la Définition 3.2.3u. D’après les résultats du Chapitre 2, paragraphe 2.3, on a en fait Ec0 “ E0.
On remarque que définie par (3.28)-(3.29) est de fait indépendante de p. Ce n’est donc plus une inconnue du problème.
Notre problème de contrôle optimal peut alors être défini comme suit. Définition 3.2.4 Trouver pp˚, c˚q tels que
Jpp˚, c˚q “ max
pPEc0Jpp, cpq
et pc˚, q est solution faible du système (3.22)-(3.25) associé à p˚ au sens de la Définition 3.2.3.