Présentation des outils d'analyse de l'écoulement

Avant de présenter les premiers résultats des simulations eectuées, on dénit ici les quantités

dont on se sert dans la suite du manuscript comme variables d'adimensionnalisation, puis nous

présentons les outils d'analyse des données générées. Par convention, une majuscule,A, représente

la partie moyenne d'une variable a, alors que a

0

désigne la quantité uctuante correspondante.

Enn,

a

désigne un vecteur. (x;y;z) désignent respectivement les directions longitudinale,

verti-cale et transverse de l'écoulement.

5.2. Présentation des outils d'analyse de l'écoulement

Unités pariétales

A partir de la vitesse de frottement moyenne,U, dénie comme suit:

U

U

0

=

s

@U_@y

paroi

;

oùU

0

est la vitesse de référence, on construit les unités pariétales suivantes:

8 > > < > > :

y

+

=y U

U

+

= U

U : ^(5.1)

Coecient de frottement

Le coecient de frottement normalisé par la vitesse de l'écoulement libre de l'entrée est donné

par

Cf = p

1 2

U

2 0

; (5.2)

oùp, contrainte à la paroi, est liée à la vitesse de frottement par:

p =U

2

:

Longueur moyenne de rattachement

La longueur de rattachement moyennée en temps et selon l'envergure, Xr, est déterminée par

la position où la contrainte à la paroi p s'annule. Cette longueur est sensible aux diérents

paramètres de l'écoulement ainsi qu'à la géométrie: Xr est pour cette raison, utilisée comme

longueur pour adimensionner les données et permet de comparer favorablement les résultats

issus de congurations diérentes (voir Westphal et al., 1983). Ainsi, on est amené à utiliser,

dans la suite de l'exposé, l'abscisse réduite

X

= x Xr

Xr qui permet de comparer les diérents

résultats en s'aranchissant de la dépendance par rapport à la longueur de rattachement.

Visualisation des structures : isosurfaces du critère Q

Pour identier les structures cohérentes de l'écoulement, nous avons choisi d'utiliser un critère

basé sur le second invariant des gradients de vitesses (Hunt et al., 1988). Ce dernier, noté Q, est

déni de la façon suivante:

Q= 12(ijij SijSij); (5.3)

où

Sij = 12

@ui

@xj + @uj

@xi

,

correspond à la partie symétrique de ce tenseur et

ij = 12

@ui

@xj @uj

@xi

,

à sa partie antisymétrique. Ainsi, ce critère permet de distinguer les régions de l'écoulement où

le terme de rotation lié àij prévaut sur le terme de cisaillement lié à Sij. Pour illustrer

son intérêt, la gure (5.2) présente un champ instantané issu d'un calcul réalisé durant cette

étude sur une géométrie de marche descendante. Puisqu'il s'agit ici de donner un exemple, nous

ne détaillerons pas maintenant les conditions de cette simulation. Trois isosurfaces de ce champ

sont visualisées. La première (5.2a) est celle de la norme de la vorticité; l'écoulement dans

le cas d'une marche présente diérentes zones avec une composante de vorticité dominante qui lui

est propre. En eet, à la séparation, l'organisation des structures est plutôt transverse alors que

dans la zone de relaxation celle-ci est majoritairement longitudinale. La zone de rattachement

quant à elle présente les deux types d'organisation. Ce changement structurel dans l'écoulement

fait de la norme de vorticité un critère relativement médiocre dans la mesure ou il confond la

nature de la vorticité. Finalement, la norme de vorticité mène à une représentation qui ne permet

pas de dégager les structures caractérisant l'écoulement. La seconde isosurface présentée est celle

d'une basse pression (uctuante). Cette quantité permet d'identier les structures majeures :

les tourbillons issue de l'instabilité de Kelvin-Helmholtz dans la couche cisaillée après la marche

et les structures en après le rattachement. Pourtant, en comparant cette visualisation avec

celle obtenue au moyen du critère Q (5.2c), on note que la pression ltre un certain nombre

de structures, notamment celles de plus petite dimension. Ce comportement s'explique si on

considère la relation liant ces deux quantités (équation de Poisson):

r

2

p= 2Q , (5.4)

qui met en évidence que le second invariant concernent des échelles plus petites que celles

im-pliquées dans les iso-pression. Pour ces raisons, nous avons choisi, dans la suite du mémoire, de

visualiser des structures de l'écoulement à l'aide d'isosurfaces de la partie positive du second

invariant des vitesses.

Inclinaison des structures

L'orientation privilégiée des structures tourbillonnaires est étudiée au moyen de l'inclinaison par

rapport à l'horizontale, des vecteurs de vorticité. Pour cela, on introduit, l'angle formé par la

composante longitudinale de la vorticité, !x, et la composante verticale,!y:

= arctan

!y

!x

(5.5)

An de privilégier l'angle où la vorticité dans le plan (x,y) est la plus intense, on opère une

pondération de la contribution de chaque point considéré par l'intensité normalisée (voir Moin

& Kim, 1885):

I!

xy

= !

2

x+!

2

y

< !

2

x+!

2

y > ^(5.6)

La moyenne<>est réalisée dans la direction homogène (z dans notre cas). Après un moyennage

temporel, les résultats sont nalement présentés sous forme d'histogrammes qui indiquent l'angle

le plus probable à la position considérée.

Corrélations spatiales - Corrélations temporelles

La corrélation spatiale entre deux variables a et b en fonction de la séparation

x

est donnée

par:

Ca

0

b

0

(

x

) = a

0

(

x

)b

0

(

x

+

x

)

(a

0

)(b

0

) ^(5.7)

où correspond à la variance de la variable considérée. Les corrélations sont ensuite moyennées

temporellement.

5.2. Présentation des outils d'analyse de l'écoulement

(a)!n=2U 0 =h (b)p 0 = 0:0015 (c)Q=0:5U 2 0 =h 2

Fig. 5.2 Visualisation instantanée de l'écoulement au dessus d'une marche, trois isosurfaces :

(a): norme de vorticité, (b): pression uctuante, (c): critère Q.

La corrélation temporelle entre deux variables a et b et pour des positions situées à

x

1

et

x

2

s'exprime, en fonction de la séparation temporellet, de la façon suivante:

Ca

0

b

0

(t) =

h

a

0

(

x

1

;t)b

0

(

x

2

;t+ t)

i

max(Ca

0

b

0

) ; (5.8)

La moyenne

hi

est réalisée dans la direction homogène. Si

x

1

=

x

2

on parle d'autocorrélation sinon

d'intercorrélation. L'intercorrélation temporelle permet de déterminer la vitesse de convection des

structures,

U

c, entre les deux positions choisies grâce à la relation suivante:

U

c=

x

tc;

où tc est pris au maximum de la corrélation (voir g. 5.3) etx représente la séparation des

deux points.

Fig. 5.3 Exemple d'une intercorrélation obtenue à partir de signaux temporels enregistrés en

deux points distincts.

Spectres des signaux temporels

A une position donnée, le spectre des uctuations de la variable aest déni tel que

Z 1

0

Ea

0

a

0

(f)df = (a

0

)

où f est la fréquence adimensionnée. Dans cette étude, l'homogénéité de l'écoulement selon

l'en-vergure permet le moyennage dans cette direction des spectres obtenus sur chacun des points de

même position (x,y). On dénit aussi l'interspectre qui correspond au spectre d'un signal issu

d'une intercorrélation temporelle.

Dans le document Influence des conditions amont sur l'écoulement derrière une marche par la Simulation des Grandes Echelles (Page 69-73)