œdométrique
A2.1 Caractéristiques de l’échantillon
Avant de débuter l’essai, le diamètre, la hauteur initiale et la masse totale initiale de l’échantillon sont mesurés à l’aide d’un vernier. À partir des deux premières mesures sont calculées l’aire de la section transversale et le volume initial de l’échantillon :
𝐴 =𝜋×𝐷4 2 où :
A [m2] : aire de la section transversale
D [m] : diamètre, 𝑉0= 𝐴 × 𝐻0 où :
V0 [m3] : volume initial
A [m2] : aire de la section transversale
H0 [m] : hauteur initiale.
À la fin de l’essai, la masse totale finale de l’échantillon est pesée et sa teneur en eau est mesurée. Ces valeurs permettent de calculer la masse sèche de l’échantillon :
𝑚𝑑= 𝑚𝑇𝑓
1+ 𝑤𝑓
où :
md [kg] : masse sèche
mTf [kg] : masse totale finale
138
Les masses d’eau initiale et finale contenue dans l’échantillon se calculent à l’aide des équations suivantes : 𝑚𝑤0= 𝑚𝑇0− 𝑚𝑑
où :
mw0 [kg] : masse initiale de l’eau
mT0 [m] : masse totale initiale
md [kg] : masse sèche,
𝑚𝑤𝑓= 𝑚𝑇𝑓− 𝑚𝑑 où :
mwf [kg] : masse finale de l’eau
mTf [kg] : masse totale finale
md [kg] : masse sèche.
Il est ensuite possible de calculer les teneurs en eau initiale et finale de l’échantillon ainsi que sa masse volumique sèche :
𝑤0 = 𝑚𝑚𝑤0
𝑑 où :
w0 [%] : teneur en eau initiale
mw0 [kg] : masse initiale de l’eau
md [kg] : masse sèche,
𝑤𝑓 = 𝑚𝑤𝑓
𝑚𝑑
wf [%] : teneur en eau finale
mwf [kg] : masse finale de l’eau
md [kg] : masse sèche,
𝜌𝑑=𝑚𝑉𝑑
0 où :
ρd [kg/m3] : masse volumique sèche
md [kg] : masse sèche,
139
Puisque le sol est considéré comme étant saturé et la masse volumique du fluide interstitielle comme étant connue, le volume des solides de l’échantillon se calcule à l’aide de l’équation suivante :
𝑉𝑠 = 𝑉0−𝑚𝑤0
𝜌𝑤 où :
Vs [m3] : volume des solides
V0 [m3] : volume initial
mw0 [kg] : masse initiale de l’eau
ρw [kg/m3] : masse volumique du fluide.
Ce paramètre permet de déterminer la hauteur des solides équivalente à l’aide de l’équation suivante : 𝐻𝑠=𝑉𝑠
𝐴
où :
Hs [m] : hauteur des solides équivalente
Vs [m3] : volume des solides
A [m2] : aire de la section transversale.
Il est ensuite possible de calculer les indices des vides initial et final à l’aide de l’équation suivante : 𝑒0 = 𝐻0−𝐻𝑠
𝐻𝑠
où :
e0 [-] : indice des vides initial
H0 [m] : hauteur initiale
Hs [m] : hauteur des solides équivalente,
𝑒𝑒 = 𝐻𝑒−𝐻𝑠
𝐻𝑠
où :
ee [-] : indice des vides final
He [m] : hauteur finale.
Hs [m] : hauteur des solides équivalente,
La gravité spécifique des solides peut être déterminée à partir de ces paramètres : 𝐺 = 𝑚𝑑
𝑉𝑠×𝜌𝑤
où :
G [kg/m3] : gravité spécifique des solides
md [kg] : masse sèche
Vs [m3] : volume des solides
140
A2.2 Calculs de la déformation
Les lectures prisent sur le comparateur à chaque palier de consolidation permettent de suivre la variation de la hauteur de l’échantillon. Ceci permet de connaître la hauteur de l’échantillon, la déformation verticale et l’indice des vides à chaque palier, à l’aide des équations qui suivent :
𝐻 = 𝐻0− 𝛥𝐻 où :
H [m] : hauteur de l’échantillon H0 [m] : hauteur initiale
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon, ε𝑣=𝛥𝐻
𝐻0× 100 où :
εv [%] : déformation verticale
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon H0 [m] : hauteur initiale,
e =𝐻−𝐻𝑠
𝐻𝑠
où :
e [-] : indice des vides
H [m] : hauteur de l’échantillon
Hs [m] : hauteur des solides équivalente.
La contrainte effective verticale appliquée sur l’échantillon dépend de la charge verticale appliquée par les masses sur le balancier comme l’indique l’équation qui suit :
𝜎′𝑣=𝐹𝑣
𝐴
où :
σ’v [kPa] : contrainte effective verticale
Fv [kN] : charge verticale
141
Annexe 3 : Présentation des calculs effectués dans
le cadre du traitement des données des essais de
compression triaxiale
A3.1 Caractéristiques de l’échantillon
Avant de débuter l’essai, le diamètre initial et la hauteur initiale de l’échantillon sont mesurés à l’aide d’un vernier. Ces mesures permettent de calculer l’aire de la section transversale initiale et le volume initial de l’échantillon, comme l’indique les équations suivantes :
𝐴0=𝜋×𝐷4 2 où :
A0 [m2] : aire initiale de la section transversale
D0 [m] : diamètre initial,
𝑉0= 𝐴0× 𝐻0 où :
V0 [m3] : volume initial
A0 [m2] : aire initiale de la section transversale
H0 [m] : hauteur initiale.
La variation du volume subie par l’échantillon lors de la consolidation est mesurée à l’aide de la burette. Cette mesure permet de déterminer la hauteur de l’échantillon après la consolidation et le volume de l’échantillon après la consolidation, comme le montrent les équations suivantes :
𝐻𝑐= 𝐻0 × (1 −1
3× 𝛥𝑉𝑐
𝑉𝑐) où :
Hc [m] : hauteur après consolidation
H0 [m] : hauteur initiale
ΔVc [m3] : variation de volume subie lors de la consolidation
Vc [m3] : volume après consolidation,
𝑉𝑐 = 𝑉0− 𝛥𝑉𝑐 où :
Vc [m3] : volume après consolidation
V0 [m3] : volume initial
142
L’air de la section transversale de l’échantillon après la consolidation est calculé à partir de ces deux paramètres selon l’équation suivante :
𝐴𝑐 = 𝑉𝑐 𝐻𝑐 où :
Ac [m2] : aire de la section transversale après consolidation
Vc [m3] : volume après consolidation
Hc [m] : hauteur après consolidation.
A3.2 Traitement des données
Trois données sont enregistrées au cours du cisaillement. La première est la mesure de la position du potentiomètre de position verticale. Elle permet de suivre la variation de la hauteur de l’échantillon, à partir de laquelle il est possible de calculer la hauteur et la déformation verticale durant le cisaillement à l’aide des équations qui suivent :
𝐻 = 𝐻𝑐− 𝛥𝐻
où :
H [m] : hauteur de l’échantillon Hc [m] : hauteur après consolidation.
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon, ε𝑣=𝛥𝐻
𝐻𝑐
où :
εv [%] : déformation verticale
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon Hc [m] : hauteur après consolidation.
La deuxième est la mesure de la charge verticale appliquée par la presse. Elle permet de suivre la la charge verticale lors du cisaillement. L’équation qui suit permet de calculer la contrainte principale appliquée sur l’échantillon lors du cisaillement à partir de ce paramètre :
σ1= σ1𝑐+𝐹𝑣
𝐴𝑐 où :
σ1 [kPa] : contrainte principale
σ1c [kPa] : contrainte principale après consolidation
Fv [kN] : charge verticale
143
La contrainte de confinement demeure constante tout au long du cisaillement et correspond à la contrainte de confinement appliquée à la fin de la consolidation :
σ3= σ3𝑐 où :
σ3 [kPa] : contrainte de confinement
σ3c [kPa] : contrainte de confinement après consolidation.
La troisième est la mesure de pression interstitielle (u [kPa]). Elle permet de calculer la contrainte principale effective (σ’1 [kPa]) et la contrainte de confinement effective (σ’3 [kPa]) à l’aide des équations suivantes :
σ′
1= σ1− 𝑢
où :
σ’1 [kPa] : contrainte effective principale
σ1 [kPa] : contrainte principale
u [kPa] : pression interstitielle. σ′3= σ3− 𝑢
où :
σ’3 [kPa] : contrainte effective de confinement
σ3 [kPa] : contrainte de confinement
u [kPa] : pression interstitielle.
À partir des contraintes effectives peuvent être tracés les cheminements de contraintes selon la représentation de Lambe ou celle de Cambridge. Les paramètres de Lambe sont désignés par s’ et t tandis que les paramètres de Cambridge sont p’ et q :
𝑠′ =σ′1+σ′3
2 , 𝑡 =
σ′1−σ′3
2
où :
s’ et t’ [kPa] : paramètres de la représentation de Lambe σ’1 [kPa] : contrainte effective principale
σ’3 [kPa] : contrainte effective de confinement,
𝑝′ =σ′1−2×σ′3
3 , 𝑞 = σ
′
1− σ′3
où :
p’ et q’ : paramètres de la représentation de Cambridge σ’1 [kPa] : contrainte effective principale
σ’3 [kPa] : contrainte effective de confinement.
La courbe d’état critique est définie comme étant la droite qui passe par les derniers points des cheminements de contrainte effectués par les échantillons normalement consolidés.
144
L’angle de frottement en normalement consolidé et l’angle entre le plan de cisaillement et l’horizontale sont obtenus à partir de la pente de cette droite :
𝑎 = tan 𝛼 = sin Φ’𝑛𝑐 donc Φ’𝑛𝑐 = sin−1(𝑚) et 𝛼 = tan−1(𝑚) où : a [-] : pente de la droite
α [°] : angle entre le plan de cisaillement et l’horizontale Φ’nc [°] : angle de frottement normalement consolidé.
La cohésion effective en normalement consolidé est obtenue à partir de l’ordonnée à l’origine de cette droite : 𝑏 = 𝑐′ × cos Φ’𝑛𝑐
donc
𝑐′ = 𝑏
cos Φ’𝑛𝑐
où :
b [kPa] : ordonnée à l’origine de la droite c’ [kPa] : cohésion effective
Φ’nc [°] : angle de frottement normalement consolidé.
La contrainte de cisaillement est obtenue à partir de l’angle de frottement normalement consolidé et de la contrainte déviatorique selon l’équation suivante :
𝜏 =(σ1 − σ3)
2 × cos Φ’𝑛𝑐
où :
τ [kPa] : contrainte de cisaillement (σ1-σ3) [kPa] : contrainte déviatorique
Φ’nc [°] : angle de frottement normalement consolidé.
Ce paramètre est mis en relation avec la déformation verticale pour obtenir la courbe contrainte-déformation. Celle-ci permet d’observer le comportement du sol testé.
Dans la grande majorité des cas, les argiles sensibles de l’Est du Canada montrent un comportement anti- écrouissage. Pour quantifier la réduction de la résistance entre l’état limite et l’état critique des sols qui montrent un tel comportement, on utilise l’indice de fragilité généralisé.
145
Ce paramètre, calculé à une déformation donnée, est obtenu ainsi : 𝐼𝐺𝐵 =𝜏𝑝𝑖𝑐−𝜏𝜀
𝜏𝑝𝑖𝑐 où :
IGB [-] : indice de fragilité généralisé
Τpic [kPa] : résistance au cisaillement en pic
τε [kPa] : résistance au cisaillement à une déformation donnée.
A3.3 Correction de l’aire
Lors du cisaillement, l’échantillon peut se déformer selon deux modes de ruptures, soit en baril, soit par plan de cisaillement. Dans un cas comme dans l’autre, l’aire de la section transversale de l’échantillon ne demeure pas constante au fur et à mesure de la progression de sa rupture. La Rochelle et al. (1988) proposent de corriger l’aire selon le mode de rupture de l’échantillon.
L’aire corrigée lorsque le mode de rupture est en baril se calcule de la façon suivante : 𝐴𝑐𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑙 = 𝐴𝑐×1+𝛥𝑉 𝑉1−ε⁄ 0
𝑣 où :
Acor baril [m2] : aire corrigée pour rupture en baril
Ac [m2] : aire après consolidation de la section transversale
ΔV [m3] : variation du volume
V0 [m3] : volume initial
εv [%] : déformation verticale.
Puisque le drainage est fermé lors du cisaillement, la variation du volume pendant le cisaillement est nul. L’équation X devient donc :
𝐴𝑐𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑙 = 𝐴𝑐× 1
1−ε𝑣 où :
Acor baril [m2] : aire corrigée pour rupture en baril
Ac [m2] : aire de la section transversale après consolidation.
εv [%] : déformation verticale.
Lorsque le mode de rupture est par plan de cisaillement, La Rochelle et al. (1988) indique de considérer que l’aire de la section transversale de l’échantillon correspond à l’aire corrigée lorsque le mode de rupture est en baril jusqu’à ce que le pic soit atteint. Pour les données subséquentes à la rupture, l’aire de la section transversale de l’échantillon devient l’aire corrigée lorsque le mode de rupture est par plan de cisaillement. Pour calculer celle-ci, il faut d’abord mesurer le plus grand diamètre et le plus petit diamètre de l’ellipse formant la section transversale de l’échantillon à la fin de l’essai.
146
Ces deux mesures permettent de calculer l’aire de la section transversale de l’échantillon à la fin de l’essai à l’aide de l’équation suivante :
𝐴𝑒= 𝜋
4× 𝐷𝑎× 𝐷𝑏
où :
Ae [m2] : aire finale de la section transversale
Da [m] : plus grand diamètre de l’ellipse de la section transversale
Db [m] : plus petit diamètre de l’ellipse de la section transversale
S’il y a gonflement de l’échantillon en plus de la création d’un plan de cisaillement, l’aire corrigée lorsque le mode de rupture est par plan de cisaillement se calcule à l’aide de l’équation suivante :
𝐴𝑐𝑜𝑟 𝑝𝑙𝑎𝑛= 𝐴𝑓+ (𝐴𝑒− 𝐴𝑓) × (εε𝑣−ε𝑣𝑓
𝑣𝑒−ε𝑣𝑓) où :
Acor plan [m2] : aire corrigée pour rupture en plan
Af [m2] : aire de la section transversale à la rupture
Ae [m2] : aire finale de la section transversale
εv [%] : déformation verticale
εvf [%] : déformation verticale à la rupture
εve [%] : déformation verticale finale.
L’aire corrigée, quel que soit le mode de rupture, vient remplacer l’aire de la section transversale de l’échantillon après consolidation dans le calcul de la contrainte principale.
A3.4 Correction de la membrane
Lorsque la membrane utilisée pour protéger l’échantillon du milieu dans lequel il baigne tient fermement sur l’échantillon, ce qui est le cas lorsqu’une contrainte de confinement est appliquée dans la cellule de cisaillement, elle applique une certaine contrainte supplémentaire sur l’échantillon. Cette contrainte dépend du mode de rupture (La Rochelle et al., 1988).
Lorsque le mode de rupture est en baril, la contrainte principale appliquée par la membrane (σ1m [kPa]) se
calcule à l’aide de l’équation qui suit : 𝜎1𝑚 =𝜋×𝐷𝐴 0×𝑀×ε𝑣
𝑐𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑙 où :
σ1m [kPa] : contrainte principale appliquée par la membrane
D0 [m] : diamètre initial
M [N*m] : module d’extension de la membrane εv [%] : déformation verticale
147
Le module d’extension de la membrane dépend de l’épaisseur de la membrane. La relation entre ces deux paramètres est présentée par La Rochelle et al. (1988).
Lorsque le mode de rupture est par plan de cisaillement, la membrane reprend une partie de la contrainte déviatorique. La contrainte déviatorique reprise par la membrane se calcule à l’aide de l’équation suivante :
(σ’1 − σ’3)𝑚= 1,5 × 𝜋 × 𝐷0× √𝑀 × 𝑓 × 𝐷0× 𝛿′
où :
(σ’1-σ’3)m [kPa] : contrainte déviatorique reprise par la membrane
D0 [m] : diamètre initial
M [N*m] : module d’extension de la membrane f [kN] : frottement entre la membrane et l’échantillon
δ’ [%] : déformation verticale causée par le mouvement le long du plan de cisaillement.
Le frottement entre la membrane et l’échantillon se calcule à l’aide de l’équation suivante : 𝑓 = σ’3× tan Φ’𝑛𝑐
où :
f [kN] : frottement
σ’3 [kPa] : contrainte effective de confinement
Φ’nc [°] : angle de frottement normalement consolidé.
La déformation verticale causée par le mouvement le long du plan de cisaillement est fonction de déformation verticale causée par le mouvement le long du plan de cisaillement à la fin de l’essai, comme le montre l’équation suivante :
𝛿′𝑣= 𝛿′𝑒(ε𝑣−ε𝑣𝑓
ε𝑣𝑒−ε𝑣𝑓) où :
δ’v [%] : déformation verticale causée par le mouvement le long du plan de cisaillement
δ’e [%] : déformation verticale finale causée par le mouvement le long du plan de
cisaillement
εv [%] : déformation verticale
εvf [%] : déformation verticale à la rupture
148 Celui-ci se calcule ainsi :
𝛿′𝑒=𝛥𝑑𝑝𝑙𝑎𝑛𝐻×tan 𝛼
0 où :
δ’e [%] : déformation verticale finale causée par le mouvement le long du plan de
cisaillement
Δdplan [m] : distance entre le coin du plan de cisaillement et la surface de l’échantillon
α [°] : angle entre le plan de cisaillement et l’horizontale H0 [m] : hauteur initiale.
149
Annexe 4 : Présentation des calculs effectués dans
le cadre du traitement des données des essais de
cisaillement simple
A4.1 Caractéristiques de l’échantillon
Avant de débuter l’essai, le diamètre et la hauteur initiale de l’échantillon sont mesurés à l’aide d’un vernier. À partir de ces mesures sont calculées l’aire de la section transversale et le volume initial de l’échantillon selon les équations suivantes :
𝐴 =𝜋×𝐷4 2 où :
A [m2] : aire de la section transversale
D [m] : diamètre de l’échantillon, 𝑉0= 𝐴 × 𝐻0
où :
V0 [m3] : volume initial
A [m2] : aire de la section transversale
H0 [m] : hauteur initiale.
Le diamètre de l’échantillon demeure constant tout au long de l’essai. C’est donc aussi le cas pour l’aire de la section transversale de l’échantillon. La hauteur de l’échantillon varie pendant la consolidation et n’est maintenue constante par l’utilisateur qu’à partir du cisaillement. La hauteur de l’échantillon après la consolidation est donnée par le potentiomètre de position verticale. Cette donnée permet de calculer le volume de l’échantillon après la consolidation à l’aide de l’équation suivante :
𝑉𝑐 = 𝐴 × 𝐻𝑐 où :
Vc [m3] : volume après la consolidation
A [m2] : aire de la section transversale
150
A4.2 Traitement des données
Quatre données sont enregistrées au cours du cisaillement. La première est la mesure de la position du potentiomètre de position verticale. Elle permet de suivre la variation de la hauteur de l’échantillon, ce qui permet de calculer la hauteur et la déformation verticale durant le cisaillement selon les équations qui suivent :
𝐻 = 𝐻𝑐− 𝛥𝐻 où :
H [m] : hauteur de l’échantillon
Hc [m] : hauteur après la consolidation
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon, ε𝑣=𝛥𝐻𝐻
𝑐
εv [%] : déformation verticale
ΔH [m] : variation de la hauteur de l’échantillon Hc [m] : hauteur après la consolidation.
Comme la hauteur de l’échantillon est maintenue constante tout au long du cisaillement, ces paramètres doivent être nuls.
La deuxième est la mesure de la charge verticale appliquée par le balancier. Elle permet de suivre la charge verticale appliquée lors du cisaillement. Celle-ci permet de calculer la contrainte effective verticale appliquée sur l’échantillon lors du cisaillement :
𝜎′𝑣=𝐹𝑣
𝐴
où :
σ’v [kPa] : contrainte effective verticale
Fv [kN] : charge verticale
A [m2] : aire de la section transversale.
La troisième est la mesure de la position du potentiomètre de position horizontale. Elle permet de suivre le déplacement horizontal de la tête de l’échantillon, ce qui permet de calculer la déformation angulaire lors du cisaillement :
γ =𝛥𝑑𝐻 𝑐
γ [%] : déformation angulaire Δd [m] : déplacement horizontal Hc [m] : hauteur après la consolidation.
La quatrième est la mesure de la charge horizontale appliquée par le moteur. Elle permet de suivre la charge horizontale lors du cisaillement.
151
Celle-ci permet de calculer la contrainte de cisaillement (τ [kPa]) appliquée sur l’échantillon : 𝜏 =𝐹ℎ
𝐴
où :
τ [kPa] : contrainte de cisaillement Fh [kN] : charge horizontale
152