3.3 Simulation d’une vésicule
4.1.1 Préambule
4.1.3 Ensemble grand-canonique . . . 65
4.2 Calcul analytique de la tension de Laplace . . . . 67
4.2.1 Vésicule quasi-sphérique . . . 67 4.2.2 Cas plan : limite thermodynamique d’une vésicule sphérique . . . . 79
4.3 Simulations Monte Carlo et mesure de la tension de surface . 86
4.3.1 Caractérisation de la vésicule . . . 87 4.3.2 Fonction de correlation position-position . . . 91 4.3.3 Mesures des différentes tensions de la membrane . . . 94 4.3.4 Transition de forme . . . 96 4.3.5 Discussion des simulations d’un membrane plane de Shiba et al. [50] 97 4.3.6 Conclusion . . . 100
Lors des premières simulations Monte-Carlo, nous nous sommes aperçus que lorsque le nombre de points dans les simulations, N, augmentait, les propriétés du système étaient mo- difiées. En effet, les grandeurs telles que la rugosité Èu2Í, ou le carré de la courbure moyenne ÈÒ2u2Í, des grandeurs a priori intensives, évoluent comme des fonctions de N (généralement
logarithmique). Dans le cadre de la simulation il est très difficile de simuler des systèmes de taille réelle. Ici nous simulons de façon «coarse-grained» c’est-à-dire que nous remplaçons un lipide par un ensemble de lipides. Il est donc important de comprendre comment modifier les paramètres lorsque N change pour simuler des systèmes d’intérêt biologique. Ces effets ne sont généralement pas abordés dans les travaux numériques antérieurs concernant des vésicules [43, 46, 47].
En étudiant ces comportements nous nous sommes en outre aperçus que certaines gran- deurs comme la tension de surface n’avaient pas une signification claire. Notamment le lien entre la tension de surface microscopique, ‡, qui fixe l’aire du système, celle qui contrôle les fluctuations, r, et celle ressentie par la vésicule, “, c’est-à-dire l’analogue de la tension de Laplace pour les bulles de savon. Dans ce chapitre nous aborderons ces questions.
Dans un premier temps nous détaillerons le développement du modèle analytique d’une vésicule, avant d’étudier leurs propriétés dans le cas de vésicules quasi-sphériques. Puis nous
regarderons le cas limite correspondant au cas plan. Dans une dernière partie nous ferons le lien avec les résultats obtenus avec notre programme Monte Carlo (Cf. Chapitre 3).
4.1 Tension de surface pour différents ensembles ther-
modynamiques
4.1.1 Préambule
Le but initial du programme Monte Carlo que nous avons développé, était d’étudier le diagramme de phase obtenu dans le Chapitre 2 et de regarder l’impact de notre modèle qui relie la concentration des lipides au modèle de Helfrich sur la forme de la vésicule. De plus nous voulions également étudier l’effet symétrique, c’est-à-dire comment une force appliquée à l’échelle de la vésicule pouvait modifier sa forme mais également les domaines lipidiques qui la composent : le lien donc entre le microscopique et le macroscopique.
Cet objectif a été modifié pour différentes raisons. Tout d’abord, la durée de conception d’un tel programme. Avant même de commencer à programmer mes directeurs m’avaient prévenu quant aux échelles de durée pour réaliser un tel algorithme. En effet, comme abordé dans le Chapitre 3 il a fallu prendre en compte des éléments non prévus tels que la diffusion, la stabilité, etc. Une fois le programme achevé nous avons fait des vérifications de routine, c’est- à-dire retrouver les prédictions théoriques calculées dans les travaux fondateurs de Helfrich et Milner [52, 53] concernant les vésicules dans l’ensemble (‡, V) mais aussi des résultats obtenus dans l’ensemble (A, V) par Seifert [26]. Pour cela nous avons calculé numériquement la rugosité Èu2Í, l’excès d’aire – et les fonctions de corrélations des positions Èu( )u(0)Í dans les deux ensembles.
Lorsque par exemple nous avons voulu ajuster la fonction de corrélation du champ de hauteur calculée numériquement avec la prédiction analytique nous avons rencontré quelques difficultés. En effet la tension de surface et le module de courbure, mis dans les expressions analytiques pour les ajuster aux mesures numériques, ne correspondaient pas à ceux mis en entrée des simulations. Nous avons tout d’abord amélioré la façon dont était calculées les fonctions de corrélation et corrigé des erreurs sur les pas de déplacement (cf. Chapitre 3). Pour les moments du champ de hauteur, nous avons par exemple pris en compte l’aire associée à un sommet pour pondérer nos moyennes (éq. (3.39)) et intégré l’erreur statistique à de nos mesures, éqs. (3.43,3.44). Concernant les déplacements nous avons pris en compte la diffusion du barycentre de notre vésicule qui entraîne une erreur systématique et rend instables nos vésicules, éq. (3.31).
Cette instabilité est possible car dans notre programme nous ne fixons pas de contrainte locale supplémentaire sur nos points, comme cela est souvent fait dans les simulations de membranes tridimensionnelles [46, 47, 54], en plus de la contrainte sur le volume des éq. (3.29) et éq. (3.30). Dans le cas d’une vésicule sphérique «tessellée» par des faces triangulaires, il s’agit de contraintes sur la longueur des arrêtes de chaque triangle. Ces contraintes ne correspondent pas à des membranes fluides mais à des membranes polymérisées [6]. Dans le cas d’une membrane fluide de telles contraintes modifient le hamiltonien de Helfrich, nous avons donc décider de ne pas en ajouter.
Après ces diverses modifications nous pensions être en mesure de reproduire les courbes théoriques avec nos simulations mais ce n’était toujours pas le cas. Dans la littérature cet
effet a déjà été observé et des explications ont été proposées [44, 55, 56, 57, 58] que nous allons réexaminer. Les paramètres microscopiques du modèle d’Helfrich ne correspondent ainsi pas à ceux du spectre de fluctuations. Principalement la tension de fluctuations r, éq. (1.24), est très différente de la tension de surface microscopique ‡ qui fixe l’aire. Depuis une dizaine d’années il existe un débat quant au sens physique de ces différentes tensions. C’est dans ce contexte que nous avons décidé de modifier nos objectifs initiaux.
Dans cette section nous allons tout d’abord reprendre et apporter certaines précisions sur les différents ensembles thermodynamiques associés aux membranes [26, 56, 59]. Cette précision est nécessaire car la tension de surface ‡ est associée à un ensemble thermodyna- mique. C’est elle qui va fixer l’aire moyenne ÈAÍ de la vésicule. Mais d’autres ensembles sont possibles et donc d’autres tensions de surface peuvent être définies. Ensuite nous détaillerons le modèle analytique des vésicules fluctuantes [26, 45, 52, 53, 60].