Discussion des simulations d’un membrane plane de Shiba et al [50]

et al. [50]

Nous allons montrer que les résultats précédents sont également observés dans le cas d’une membrane plane. Des simulations numériques du cas plan ont été faites très récemment par Shiba et al. [50]. Plusieurs points sont à discuter.

Les déplacements «normaux» considérés par H. Shiba et al [50] sont en fait équivalents au terme de Fadeev-Popov (FP) introduit par W. Cai et al [48] et discuté dans le Chapitre 5 suivant. Nous pensons que les auteurs de [50] n’ont pas vu la connexion, cependant ces deux termes sont identiques. Dans la représentation de Monge, nous verrons que le terme FP

Cas sphérique Cas plan

C = 0

C =

_R2

Figure 4.21 – Schéma résumant les résultats observés sur les vésicules simulées à la tran- sition r = 0. La forme moyenne est représenté en pointillés rouges, et la forme fluctuante en noir. Dans le cas plan, on parle de membrane «crumpled», mais la membrane simulée étant de taille finie, elle reste plane en moyenne. Pour C = 2/R, nous supposons que la membrane resterait courbée en moyenne.

s’écrit comme V[h] © N ÿ k=1 1 2—(Òh)2 (4.121)

Les auteurs de [50] corrigent leurs déplacements en ajoutant à leur hamiltonien un terme correctif : Hcorr = ≠1 — ÿ i,j ln[cos(◊i,j)] (4.122)

avec ◊i,j l’angle entre les vecteurs normaux positionné aux sites (i, j). En fait le cosinus de

l’angle peut s’exprimer en fonction de la métrique, nous avons cos(◊i,j) = [1 + (Òh)2]≠1/2.

Les deux termes sont donc égaux. Dans le Chapitre 5 nous monterons que ce terme vient en réalité du modèle sous-jacent au modèle de Helfrich.

Une des principales différences entre les travaux de [50] et les nôtres est la façon dont sont corrigés les déplacements pour être «normaux». Nous corrigeons directement les dépla- cements dans l’algorithme MC alors que Shiba et al. ajoutent le terme correctif éq. (4.122) à leur hamiltonien. Les deux corrections sont bien sûr équivalentes pour les petits excès d’aire, mais pas près de la transition. Nous pensons qu’il s’agit d’une des raisons pour laquelle ils n’observent pas de transition à r = 0.

Dans [50], les auteurs représentent sur leur fig. 5 différentes tensions de fluctuation en fonction de la tension de cadre ·. Nous redonnons ce graphique à la fig. 4.22 et avons re- pris leurs notations. Les différentes tensions de fluctuation qu’ils abordent sont associées à 4 hamiltoniens différents. Ces hamiltoniens viennent des différentes façons de prendre le hamil- tonien tronqué à l’ordre gaussien ou non et de prendre ou non en compte le terme correctif

Figure 4.22 – Tensions de fluctuation r, rEL et rL mesurées par rapport à · et normalisées par ‡ en fonction de ·. r correspond au cas des déplacement normaux à la surface, rEL à l’hamiltonien de Helfrich gaussien mais avec déplacement normaux, et rL à l’hamiltonien de Helfrich gaussien mais avec déplacement radiaux. Cette courbe est issue de [50].

Hcorr introduit à l’éq. (4.122). Pourquoi ces choix ? Comme montré par O. Farago [58], les termes d’ordre 4 jouent un rôle important pour la tension de fluctuation, ils restaurent la symétrie du hamiltonien d’origine. Le second choix consiste à étudier les différents dépla- cements des éqs. (3.37,3.38). Il y a donc 4 tensions r différentes associées, mais ils se sont concentrés sur 3. Ils les appellent r la tension pour un hamiltonien non tronqué et contenant Hcorr, rEL et rL lorsque le hamiltonien est tronqué et, respectivement, contient la correction ou non.

Montrons que la tension qu’ils mesurent est bien rthéode notre éq. (4.120). Sur la fig. 4.22 la première étape est de repérer la grandeur Eb/A0 qui connecte toutes les tensions de

surface. En fait d’après l’éq. (4.120), nous avons avec ‘ = 1 :

‡≠ · ƒ ŸÕ(–₂n)e[2H]2f (4.123) Shiba et al. représentent cette grandeur adimensionnée par ‡ en rouge sur fig. 4.22. Par lecture graphique nous obtenons ŸÕ(–

n) È[2H]2Í /2‡ ƒ 1 pour · = 10≠2. Dans le cas d’un

hamiltonien contenant tous les ordres et le terme Hcorr, les auteurs obtiennent r ƒ ·. Il est impossible de savoir s’il s’agit de “ ou de ·. En effet, la différence, d’ordre –, est comprise dans la taille des symboles. La preuve en est le léger décalage entre les courbes représentant (‡≠·)/‡ et (rL≠·)/‡. Il vient de la prise en compte de ŸÕ(–n) pour la solution à l’ordre gaus-

sien alors qu’il n’y a pas de renormalisation à l’ordre 2. Cela aboutit à un décalage de l’ordre de 3–. Si maintenant nous regardons la dernière courbe représentant (rEL≠ ·)/‡ = f(·), le hamiltonien étant à l’ordre deux, il n’y a pas de terme à ajouter concernant la renormali-

sation. Cependant, la correction est prise en compte il faut donc ajouter ŸÕ(–

n) È[2H]2Í à ‡

pour obtenir rEL. Avec notre vision il vient :

rEL≠ · ƒ ‡ ≠ · + ŸÕ(–n)

e

[2H]2f _(4.124)

ƒ 3ŸÕ(–₂ n)e[2H]2f (4.125) En injectant la valeur obtenue, ŸÕ(–

n) È[2H]2Í /2‡ ƒ 1 pour · = 10≠2, nous obtenons bien

un facteur ƒ 3 entre ces courbes. Le fait que la courbe soit légèrement inférieure vient des corrections d’ordre –. Ici nous ne les avons pas utilisées, car les auteurs font une erreur systé- matique de cet ordre (ils utilisent un module de courbure renormalisé pour des hamiltoniens gaussiens).

Enfin, dans les simulations de Avital et al. [66] et Shiba et al. [50], une transition de forme est observée pour · < 0. Cela vient probablement du fait que leur membrane a une taille caractéristique L π ›p ≥ a e40, ils ne peuvent donc pas observer la transition plan-

«crumpled» à cette échelle.

4.3.6 Conclusion

Nous avons montré que la formule simple prédite à l’éq. (??) pour rthéo est en excellent accord avec les mesures numériques de la tension de flucutations, r, dans le cas de dépla- cements radiaux. Nous expliquons ainsi le facteur 3 entre la tension mesurée et la tension attendue. Dans le cas de déplacements pouvant être considérés comme normaux, nous obte- nons bien r = · pour le régime des petits excès d’aire, équivalent à ˆ‡ ∫ 1. Cependant nous ne pouvons conclure quant à l’égalité proche de r = 0. En effet, lorsque r ƒ 0 les temps de corrélation du système divergent et la correction pour rendre nos déplacements «normaux» n’est plus suffisante. Il serait intéressant de faire une étude plus poussée avec des vrais dé- placements normaux afin de comparer les différence avec des déplacements radiaux (selon ˆez

dans le cas plan). Notamment vérifier si pour de petites tensions microscopique nous avons bien r = ·.

Notre programme a certains avantages. Nous pouvons obtenir la tension de fluctuation r par un ajustement avec l’ensemble du spectre ce qui en fait une valeur très précise. De plus nous ne sommes pas confrontés au problème de bords qui apparaissent dans la transitions de forme ce qui nous permet d’étudier l’effet de la courbure spontanée, contrairement au cas plan pour lequel des bords périodiques sont généralement utilisés.

Cependant, nous prenons une valeur de · obtenue par une équation analytique, probable- ment fausse près de la transition. Pour pousser l’étude il faudrait avoir un moyen de mesurer directement la tension de cadre numériquement : soit nous pourrions essayer de nous placer dans l’ensemble (‡, P ) et faire une mesure à partir du rayon d’équilibre ; soit par exemple par un calcul numérique à partir de la méthode développée par Fournier, basée sur le tenseur des contraintes [44, 45, 78].

Enfin pour la transition présentée sur la fig. 4.20, les techniques standards [38] des transi- tions de phase pourraient être utilisées pour déterminer plus précisément la valeur de ‡ pour laquelle la vésicule change de forme (r ƒ 0). Lorsque r s’annule le système rentre dans la phase «crumpled», cependant dans le cas d’une membrane de taille finie le module de cour- bure reste non nul. Cela sera confirmé dans le Chapitre 5 par un calcul de renormalisation du cas plan. À la transition, pour un Ÿ ”= 0 les faces adjacentes s’alignent les unes avec les

autres selon la valeur de C. Nous pensons qu’à la transition c’est la courbure spontanée qui détermine la forme des vésicules.

Les résultats de cette section nous ont permis de tester et de comprendre les possibilités de notre algorithme. L’objectif suivant serait de rendre les vésicules stables dans l’ensemble (‡, P ) pour éclaircir une fois pour toute le lien entre la tension de cadre et celle de Laplace. Enfin une exploration systématique de toutes les formes obtenues pourrait être intéressante afin de vérifier que nous obtenons bien celles observées en biologie et mises en évidence par G. Lim et al [79] .

Finissons par une remarque concernant le rayon autour duquel est mesurée la fonction de corrélation numérique. Nous avons fait le choix du rayon associé au volume, r = R[1 +

u(◊, Ï)]ˆer éq. (4.17), alors que nous aurions pu faire le choix du rayon de Laplace, r =

RL[1 + v(◊, Ï)]ˆer avec RL défini à l’éq. (4.69). Nous pensons que si le rayon de référence

était celui de Laplace nous obtiendrons “ au lieu de · pour la tension de fluctuation r. Il pourrait être intéressant de vérifier cette idée numériquement. De plus, si le rayon de référence détermine la tension du spectre de fluctuation, il jouera également dans la renormalisation du module de courbure Ÿ.

Chapitre 5

Renormalisation des paramètres

élastiques du modèle de Helfrich

Sommaire

5.1 Introduction au groupe de renormalisation . . . 104

5.1.1 Principe de la renormalisation . . . 105