II. EVALUATION EXPERIMENTALE DE STATIONS GNSS A BAS COUT
II.2. A PPROCHE GNSS CHOISIE
L’objectif de ces travaux est de valider la performance de stations GNSS à bas coût pour le déploiement de réseaux de capteurs pour la surveillance d’ouvrages d’art. Afin d’évaluer les performances maximales, l’approche du calcul relatif a été sélectionnée. Cette méthode est pertinente avec les approches de surveillance par réseaux de capteurs GNSS puisqu’elle permet une mise en référence commune aisée des capteurs, éventuellement dans un repère local. Des points fixes de référence sont par ailleurs généralement établis à proximité des ouvrages en surveillance renforcée ou haute surveillance, facilitant la mise en place d’une station de référence proche. Compte tenu du matériel ciblé, le calcul est effectué uniquement sur les signaux GPS L1 (monofréquence).
Le calcul effectué sur la phase de la porteuse des signaux. La phase 𝜑𝑟𝑠 mesurée par un récepteur 𝑟 avec un satellite 𝑠 s’exprime (Eq. II-7) en fonction de l’ambiguïté entière 𝑁𝑟𝑠, de la distance 𝜌𝑟𝑠 entre le récepteur et le satellite, de la vitesse de propagation 𝑐 de la lumière dans le vide, de la longueur d’onde 𝜆 du signal, des erreurs d’horloge récepteur 𝛿𝑡𝑟 et satellite 𝛿𝑡𝑠, et les termes d’erreur 𝜏𝑟,𝑖𝑜𝑛𝑜𝑠 , 𝜏𝑟,𝑡𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠 et 𝜀 présentés dans le Chapitre I.
47 𝜑𝑟𝑠 =1 𝜆𝜌𝑟 𝑠+𝑐 𝜆(𝛿𝑡𝑟− 𝛿𝑡 𝑠) + 𝜏𝑟,𝑖𝑜𝑛𝑜𝑠 + 𝜏𝑟,𝑡𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠 − 𝑁𝑟𝑠+ 𝜀 Eq. II-7
La méthode utilisée pour l’élimination des erreurs et la résolution des ambiguïtés entières est celle des doubles différences. L’opération de base des doubles différences est l’opération des simples différences. La simple différence utilise les données de deux récepteurs (𝑟1, 𝑟2) et d’un satellite (𝑠1) pour éliminer les erreurs d’horloge 𝛿𝑡𝑠1 et d’orbites du satellite, identiques entre les deux observations. En utilisant une station de référence proche (ligne de base inférieure à 10km), il est possible de faire l’hypothèse que les deux stations sont affectées par la même tranche d’atmosphère. Il est ainsi possible de considérer les erreurs liées à la propagation des signaux dans l’atmosphère 𝜏𝑟,𝑖𝑜𝑛𝑜𝑠 et 𝜏𝑟,𝑡𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠 comme identiques entre les deux stations. L’équation de la simple différence s’exprime alors comme la différence de phase de deux récepteurs avec un satellite (Eq. II-8). On la note cette différence simple ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 (Eq. II-9).
𝜑𝑟1𝑠1− 𝜑𝑟2𝑠1=1 𝜆(𝜌𝑟1 𝑠1− 𝜌𝑟2𝑠1) +𝑐 𝜆(𝑑𝑡𝑟1− 𝑑𝑡𝑟2) − 𝑁𝑟1 𝑠1+ 𝑁𝑟2𝑠1+ 𝜀 Eq. II-8 ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 =1 𝜆∆𝜌𝑟1,𝑟2 𝑠1 +𝑐 𝜆∆𝑑𝑡𝑟1,𝑟2− ∆𝑁𝑟1,𝑟2 𝑠1 + 𝜀 Eq. II-9 avec : ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 = 𝜑𝑟1𝑠1− 𝜑𝑟2𝑠1 Eq. II-10 ∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠1 = 𝜌𝑟1𝑠1− 𝜌𝑟2𝑠1 Eq. II-11 ∆𝑑𝑡𝑟1,𝑟2= 𝑑𝑡𝑟1− 𝑑𝑡𝑟2 Eq. II-12 ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1 = 𝑁𝑟1𝑠1− 𝑁𝑟2𝑠1 Eq. II-13
La double différence consiste à exprimer la différence de deux différences simples de deux récepteurs (𝑟1, 𝑟2) avec deux satellites (𝑠1, 𝑠2) (Eq. II-14). Elle permet d’éliminer le terme d’erreur lié aux horloges des récepteurs ∆𝑑𝑡𝑟1,𝑟2, qui est commun entre les deux simples différences ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 et ∆𝜑𝑟1,r2𝑠2 . On note la double différence sur la phase ∇∆𝜑𝑟1,r2𝑠1,s2 (Eq. II-15).
∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 − ∆𝜑𝑟1,r2𝑠2 =1 𝜆(∆𝜌𝑟1,𝑟2 𝑠1 − ∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠2 ) − ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1 + ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠2 + 𝜀 Eq. II-14 ∇∆𝜑𝑟1,r2𝑠1,s2=1 𝜆∇∆𝜌𝑟1,𝑟2 𝑠1,𝑠2− ∇∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1,𝑠2+ 𝜀 Eq. II-15 avec : ∇∆𝜑𝑟1,r2𝑠1,s2= ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 − ∆𝜑𝑟1,r2𝑠2 Eq. II-16
48 ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠1,𝑠2= ∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠1 − ∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠2 Eq. II-17
∇∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1,𝑠2= ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1 − ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠2 Eq. II-18
On utilise les notations ∆𝜙𝑟1,r2𝑠1 et ∇∆𝜙𝑟1,r2𝑠1,s2 qui s’expriment respectivement en fonction de ∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 et ∇∆𝜑𝑟1,r2𝑠1,s2, et la longueur d’onde 𝜆 du signal utilisé, et qui sont utilisées par RTKlib.
∆𝜙𝑟1,r2𝑠1 = 𝜆∆𝜑𝑟1,r2𝑠1 Eq. II-19
∇∆𝜙𝑟1,r2𝑠1,s2= 𝜆∇∆𝜑𝑟1,r2𝑠1,s2 Eq. II-20
Avec une approche similaire, les doubles différences peuvent également être appliquées aux pseudodistances en utilisant la formulation de la pseudodistance 𝑝𝑟𝑠 en fonction de 𝜌𝑟𝑠, 𝛿𝑡𝑟 et 𝛿𝑡𝑠 (Eq. II-21). On note la double différence sur les pseudodistances ∇∆𝑝𝑟1,r2𝑠1,s2 (Eq. II-22).
𝑝𝑟𝑠= 𝜌𝑟𝑠+ 𝑐(𝛿𝑡𝑟− 𝛿𝑡𝑠) + 𝜀 Eq. II-21
∇∆𝑝𝑟1,r2𝑠1,s2 = (𝑝𝑟1𝑠1− 𝑝𝑟2𝑠1) − (𝑝𝑟1𝑠2− 𝑝𝑟2𝑠2) = ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠1,𝑠2+ 𝜀 Eq. II-22
Les calculs sont réalisés en post-traitement avec le logiciel RTKlib (Takasu, [2009], [2013]), qui est un logiciel scientifique mettant à disposition une grande variété de méthodes de calcul (PPP, relatif, RTK…) et de paramètres, tout en permettant l’accès au code source (logiciel open-source). RTKLib utilise un filtre de Kalman étendu (Extended Kalman Filter, EKF) pour générer les séries temporelles, qui offre notamment la possibilité d’appliquer des contraintes sur la position, la vitesse ou l’accélération de l’antenne, l’empêchant par exemple de s’éloigner rapidement de sa position précédente.
Un filtre de Kalman étendu 𝐾 est un filtre à réponse impulsionnelle infinie qui fonctionne sur un processus itératif de prédiction et mise à jour. L’étape de mise à jour permet d’affiner un état 𝒙𝑡+ d’un système (position, vitesse, accélération…) et sa matrice de covariance associée 𝑷𝑡+ à un instant 𝑡 à l’aide d’observations 𝒚𝑡(pseudodistances, différences de phase, simple ou double différences…) et de la matrice du gain de Kalman 𝑲𝑡 (Eq. II-23, Eq. II-24). Les notations (-) et (+) désignent les valeurs avant et après mise à jour, respectivement.
𝒙𝑡+= 𝒙𝑡−+ 𝑲𝑡(𝒚𝑡− 𝒉(𝒙𝑡−)) Eq. II-23
𝑷𝑡+ = (𝑰 − 𝑲𝑡𝑯(𝒙𝑡−))𝑷𝑡− Eq. II-24
Avec :
𝑲𝑡 = 𝑷𝑡−𝑯(𝒙𝑡−) × (𝑯(𝒙𝑡−)𝑷𝑡−𝑯(𝒙𝑡−)𝑇+ 𝑹𝑡)−1 Eq. II-25
Dans cette formulation, 𝒉(𝑥) est une fonction permettant de modéliser les observations à partir d’un état prédit, 𝑯(𝑥) est la matrice Jacobienne associée, 𝑹𝑡 est la matrice de covariance des résidus entre les observations et le modèle des observations et 𝑰 est la matrice identité. La formulation de 𝒉(𝑥) et donc de 𝑯(𝑥) et 𝑹𝑡 est dépendante de la méthode de calcul utilisée. Pour un calcul monofréquence entre deux récepteurs (𝑟1, 𝑟2), avec 𝑟2 la référence fixe, le vecteur 𝒙
49 contient la position 𝒓𝑟1 du récepteur 𝑟1 (3 composantes), sa vitesse 𝒗𝑟1 (3 composantes), et les ambiguïtés entières des simples différences avec les 𝑗 satellites visibles (𝑠1, ⋯ , 𝑠𝑗) (Eq. II-26).
𝒙 = (𝒓𝑟1, 𝒗𝑟1, ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠1 , ⋯ , ∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠𝑗 ) Eq. II-26
Le vecteur 𝒚 contient les doubles différences de phases et de pseudodistances entre les satellites (𝑠1, ⋯ , 𝑠𝑗) et un satellite pivot 𝑠𝑖 (Eq. II-27). Le satellite pivot est sélectionné automatiquement de façon à avoir la plus longue période de visibilité sur la période étudiée. Le satellite pivot change en cas de perte de visibilité.
𝒚 = (∇∆𝜙𝑟1,r2𝑠i,s1, ⋯ , ∇∆𝜙𝑟1,r2𝑠i,sj, ∇∆𝑝𝑟1,r2𝑠i,s1, ⋯ , ∇∆𝑝𝑟1,r2𝑠i,sj ) Eq. II-27
Enfin, pour un calcul avec une ligne de base courte (≤ 10 𝑘𝑚), 𝒉(𝑥) s’exprime en fonction des termes constituant les doubles différences entre les satellites 𝑠𝑗 et un satellite pivot 𝑠𝑖 (Eq. II-28). 𝒉(𝑥) = (𝒉𝜙, 𝒉𝑝) Eq. II-28 avec : 𝒉𝜙 = ( ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠1 − 𝜆∇∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠1 ⋮ ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠𝑗 − 𝜆∇∆𝑁𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠𝑗 ) Eq. II-29 𝒉𝑝= ( ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠1 ⋮ ∇∆𝜌𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠𝑗 ) Eq. II-30
L’étape de prédiction permet d’estimer un état 𝒙𝑡+1− et sa covariance 𝑷𝑡+1− à partir des estimations mises à jour, de la matrice transfert 𝑭𝑡𝑡+1, et de 𝑸𝑡𝑡+1 la matrice de covariance du bruit de processus entre les instants 𝑡 et 𝑡 + 1 (Eq. II-31, Eq. II-32).
𝒙𝑡+1− = 𝑭𝑡𝑡+1𝒙𝑡+ Eq. II-31
𝑷𝑡+1− = 𝑭𝑡𝑡+1𝑷𝑡+(𝑭𝑡𝑡+1)𝑇+ 𝑸𝑡𝑡+1 Eq. II-32
La forme de 𝑭𝑡𝑡+1 et de 𝑸𝑡𝑡+1 est déterminée par le mode de calcul employé. Dans le cas d’un calcul dit « cinématique », 𝑭𝑡𝑡+1 s’exprime comme une matrice identité, et 𝑸𝑡𝑡+1 comme décrit dans l’Eq. II-33 (on note 𝐽 le nombre de double différences utilisées dans le filtre de Kalman). Des variantes sont détaillées dans le Chapitre II.4.1.
𝑸𝑡𝑡+1= (
∞3×3 ⋯ 0
⋮ 03×3 ⋮
0 ⋯ 0(3𝐽−3)×(3𝐽−3)
50 Lors de la mise à jour du vecteur d’état (Eq. II-34), on obtient un vecteur d’état 𝒙𝑡+ contenant des estimations de sa position 𝑟̂𝑟1, de sa vitesse 𝑣̂𝑟1 et des ambiguïtés des simples différences ∆𝑁̂𝑟1,𝑟2𝑠𝑗 , ainsi que sa matrice de de covariance 𝑷𝑡+.
𝒙𝑡+= (𝒓̂𝑟1, 𝒗̂𝑟1, ∆𝑁̂𝑟1,𝑟2𝑠1 , ⋯ , ∆𝑁̂𝑟1,𝑟2𝑠𝑗 ) Eq. II-34
La résolution des ambiguïtés est réalisée sur ces valeurs mises à jour : 𝒙𝑡+ et 𝑷𝑡+ sont différenciées à l’aide de la matrice 𝑫 de transformation des simples différences vers doubles différences : 𝑫 = ( 𝐼6×6 0 0 0 ⋯ 0 0 1 −1 0 ⋯ 0 0 1 0 −1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 0 0 ⋯ −1) Eq. II-35
On obtient ainsi 𝒙̇𝑡+qui exprime les doubles différences d’ambiguïtés de phase calculées à partir des simples différences estimées et sa covariance associée estimée 𝑷̇𝑡+ (Eq. II-36, Eq. II-37). Les termes de position et de vitesse restent inchangés.
𝒙̇𝑡+= 𝑫𝒙𝑡+= (𝒓̂𝑟1, 𝒗̂𝑟1, ℵ̂) Eq. II-36
𝑷̇𝑡+ = 𝑫𝑷𝑡+𝑫𝑇 Eq. II-37
avec :
ℵ
̂ = ∇∆𝑁̂𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠1, ⋯ , ∇∆𝑁̂𝑟1,𝑟2𝑠𝑖,𝑠𝑗 Eq. II-38
La covariance 𝑷̇𝑡+ peut être séparée en 4 matrices de covariance 𝑄𝑅𝑅, 𝑄𝑅𝑁, 𝑄𝑁𝑅 et 𝑄𝑁𝑁, respectivement les covariances de la position et vitesse seules, de la position et vitesse avec les ambiguïtés, des ambiguïtés avec la position et la vitesse, et enfin des ambiguïtés seules (Eq. II-39).
𝑷̇𝑡+ = (𝑸𝑸𝑹𝑹 𝑸𝑵𝑹
𝑹𝑵 𝑸𝑵𝑵) Eq. II-39 La résolution des ambiguïtés consiste à trouver du vecteur d’entiers ℵ̆ solution du système à moindres carrés entiers (Integer Least Squares, ILS) défini par :
ℵ̌ = argmin ℵ∈ℤ
((ℵ − ℵ̂)𝑇𝑄𝑁𝑁−1(ℵ − ℵ̂)) Eq. II-40
RTKlib utilise les algorithmes LAMBDA et MLAMBDA pour résoudre ce problème, et trouver la valeur optimale ℵ̌. Les algorithmes peuvent également exprimer la seconde meilleure solution au problème ℵ̌2. Cette valeur est utilisée pour calculer un « ratio test » 𝑅𝑡𝑒𝑠𝑡 (Eq. II-41).
𝑅𝑡𝑒𝑠𝑡=(ℵ̌2− ℵ̂)𝑇𝑄𝑁𝑁−1(ℵ̌2− ℵ̂)
51 La valeur de 𝑅𝑡𝑒𝑠𝑡 est comparée à un seuil 𝑅𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙. Si 𝑅𝑡𝑒𝑠𝑡 est supérieure à 𝑅𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙, alors les ambiguïtés sont considérées comme résolues (Fixed) à l’instant 𝑡. Les positions et vitesses de l’antenne sont alors mises à jour avec les valeurs 𝒓̌𝑟1 et 𝒗̌𝑟1 ajustées grâce à ℵ̌ (Eq. II-42).
(𝒗𝒓̌̌𝑟1
𝑟1) = (𝒗̂𝒓̂𝑟1
𝑟1) − 𝑄𝑅𝑁𝑄𝑁𝑁−1(ℵ̂ − ℵ̌) Eq. II-42
Si 𝑅𝑡𝑒𝑠𝑡 est inférieure à 𝑅𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙, alors les ambiguïtés sont considérées comme non-résolues (Float) à l’instant 𝑡, et les positions et vitesses ne sont pas mises à jour.
La résolution des ambiguïtés à chaque époque (temps GPS) permet d’une part d’accroître significativement la précision du calcul, et permet un calcul plus rapide. Néanmoins, il est important de noter que le test utilisé pour valider la résolution ne repose pas sur une estimation de l’exactitude ou de la précision réelle de la position obtenue, mais sur la proximité des entiers obtenus par rapport aux valeurs décimales estimées.