0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 0.1 0.2
(a) EVD exacte avec fenêtre rectangulaire
Fréquences (Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 0.1 0.2
(b) EVD exacte avec fenêtre exponentielle
Fréquences (Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 0.1 0.2
(c) Méthode des puissances itérées avec fenêtre rectangulaire
Fréquences (Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0 0.1 0.2
(d) Méthode des puissances itérées avec fenêtre exponentielle
Fréquences (Hz)
Temps discret (échantillons)
Fig. VI.2 – Algorithmes de complexité élevée
VI.3
Poursuite de la matrice spectrale et des pôles
Après l’étape de poursuite de l’espace signal, nous nous intéressons aux techniques de suivi de la matrice spectrale, parfois appelées algorithmes ESPRIT adaptatifs dans la littérature. Ces techniques sont généralement liées à un algorithme de poursuite de l’espace signal spécifique. Ainsi, la méthode proposée dans [Moonen et al., 1994] repose sur l’algorithme Jacobi SVD [Moonen et al., 1992], et celle proposée dans [Liu et al., 1994] est fondée sur la décomposition URV révélatrice de rang [Stewart, 1992]. La complexité de ces méthodes est de l’ordre de n2 opérations à chaque instant. Dans [Strobach, 1998],
d’autres algorithmes ESPRIT adaptatifs ont été proposés pour un usage conjoint avec les algorithmes de poursuite de l’espace signal baptisés Low Rank Adaptive Filter (LORAF) [Strobach, 1996] et Bi- iteration SVD (Bi-SVD) [Strobach, 1997a]. En comparaison avec [Moonen et al., 1994] et [Liu et al., 1994], la complexité de ces algorithmes est réduite à O(nr2) ou O(nr). Cependant nous avons observé
que les algorithmes LORAF3 et Bi-SVD3, de complexité O(nr), ne convergent pas en pratique, si bien que seul l’algorithme ESPRIT adaptatif de complexité O(nr2) s’avère intéressant. Enfin, nous avons
récemment proposé dans [Badeau et al., 2003b] et [Badeau et al., 2005e] deux nouvelles implémentations adaptatives de la méthode ESPRIT, de complexité O(nr), qui peuvent s’appuyer par exemple sur les algorithmes de poursuite de l’espace signal proposés dans [Abed-Meraim et al., 2000,Douglas, 2000]. Il est important de noter que tous les algorithmes mentionnés ci-dessus calculent la matrice spectrale de manière exacte, c’est-à-dire sans introduire d’approximation supplémentaire par rapport à l’algorithme de poursuite de l’espace signal.
Une fois que la matrice spectrale est estimée, ses valeurs propres peuvent être calculées à l’aide d’une EVD, de complexité O(r3), comme cela a été proposé dans [Liu et al., 1994]. Cependant, il
86
CHAPITRE VI. ETAT DE L’ART DES TECHNIQUES DE POURSUITE DE L’ESPACE SIGNAL ET DES PÔLES 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 Fréquences (Hz)
(a) Fréquences exactes
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (b) SWASVD2 Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (c) SW−OPAST Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (d) SW−PAST Fréquences (Hz)
Temps discret (échantillons)
Fig. VI.3 – Algorithmes de complexité linéaire O((n + l)r2) ou O(nr) à fenêtre rectangulaire
Champagne, 1996] repose sur la théorie des perturbations mais péche par son manque de robustesse. Une seconde technique proposée dans [Strobach, 1998] repose sur le théorème «split-Schur», mais s’avère moins précise et aussi coûteuse qu’une simple EVD. Dans [Badeau et al., 2005e], nous avons introduit une nouvelle approche permettant de calculer l’EVD de la matrice spectrale récursivement et de manière exacte. Cette méthode sera approfondie dans la section IX.3.2.
VI.4
Conclusion
L’étude comparative des algorithmes de poursuite proposée dans la section VI.2.3 a montré la su- périorité de la méthode des puissances itérées en terme d’estimation de l’espace signal. En effet, cette méthode atteint des performances remarquablement proches de celles obtenues à l’aide d’une EVD. En revanche, elle reste assez coûteuse. Parmi les algorithmes de plus faible complexité, OPAST semble sor- tir du lot. En effet, il fait partie des algorithmes les plus rapides. De plus, il garantit l’orthonormalité de la matrice estimée, et présente l’avantage d’avoir été développé pour les deux types de fenêtres4. Enfin
et surtout, pour chaque type de fenêtre, aucun algorithme parmi ceux illustrés dans les figures VI.3 à VI.6 n’atteint de meilleures performances que OPAST.
En ce qui concerne les techniques de suivi de la matrice spectrale, nous retiendrons que la plus rapide d’entre elles a une complexité de l’ordre de nr MACs par itération. Elle présente également l’avantage de calculer l’EVD de la matrice spectrale de manière récursive [Badeau et al., 2005e].
4
VI.4. CONCLUSION 87 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (a) NP2 Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (b) Karasalo Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (c) TQR−SVD Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (d) Loraf2 Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (e) BiSVD1 Fréquences (Hz)
Temps discret (échantillons)
Fig. VI.4 – Algorithmes de complexité linéaire O(nr2) à fenêtre exponentielle
(a) NP2 (b) Karasalo (c) TQR-SVD (d) Loraf2 (e) BiSVD1
88
CHAPITRE VI. ETAT DE L’ART DES TECHNIQUES DE POURSUITE DE L’ESPACE SIGNAL ET DES PÔLES 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (a) NIC Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (b) OPAST Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (c) Householder PAST Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (d) PAST Fréquences (Hz)
Temps discret (échantillons)
Fig. VI.5 – Algorithmes de complexité linéaire O(nr) à fenêtre exponentielle
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (a) FAST Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (b) FST Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (c) PASTd Fréquences (Hz) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.1 0.2 (d) ROSA Fréquences (Hz)
Temps discret (échantillons)
89
Chapitre VII
Approximation de la méthode des
puissances itérées
Résumé
Nous proposons dans ce chapitre une implémentation rapide de la méthode des puis- sances itérées, basée sur une approximation moins restrictive que celle connue sous le nom de projection approximation. Cet algorithme, baptisé méthode API rapide, garantit l’orthonormalité de la base de l’espace signal à chaque itération. Il peut être appliqué à la fois en analyse spectrale et en traitement d’antenne. De plus, ses performances sont meilleures que celles de nombreux algorithmes de poursuite de sous-espace liés à la méthode des puissances itérées, tels que les algorithmes Projec- tion Approximation Subspace Tracking (PAST), Novel Information Criterion (NIC), fast Natural Power (NP3) et OPAST. Par ailleurs, il est plus rapide que NIC, NP3 et OPAST, et aussi rapide que PAST. La méthode API est conçue à la fois pour des fenêtres exponentielles et des fenêtres rectangulaires. Les simulations numériques montrent que les fenêtres rectangulaires offrent une réponse plus rapide à de brusques variations du signal. Les développements qui vont suivre ont fait l’objet d’un article pour IEEE Transactions on Signal Processing [Badeau et al., 2005b].
90 CHAPITRE VII. APPROXIMATION DE LA MÉTHODE DES PUISSANCES ITÉRÉES
VII.1
Introduction
Comme cela a été mentionné dans la section VI.2.3.1, l’estimation de l’espace signal peut être vue comme un problème d’optimisation avec ou sans contraintes [Oja, 1989, Xu, 1993, Chen et Amari, 2001, Kung et al., 1994, Mathew et Reddy, 1995, Fu et Dowling, 1995], pour lequel l’introduction de l’hypothèse connue sous le nom de projection approximation conduit à des méthodes rapides de pour- suite de l’espace signal (voir par exemple les algorithmes PAST [Yang, 1995] et NIC [Miao et Hua, 1998]). Dans [Hua et al., 1999], il est prouvé que ces algorithmes sont étroitement liés à la méthode des puissances itérées introduite dans la section VI.2.2. Plusieurs implémentations de cette méthode ba- sées sur des factorisations QR ont été proposées dans [Strobach, 1996], parmi lesquelles les algorithmes LORAF2 et LORAF3. Cependant, comparés à PAST et NIC, LORAF2 est plus coûteux, et LORAF3 est moins performant. Une autre implémentation rapide de la méthode des puissances itérées, l’algo- rithme NP3 qui repose sur des modifications matricielles de rang 1, est proposée dans [Hua et al., 1999], mais nos simulations numériques ont montré que cet algorithme ne converge pas dans de nombreux cas. Une version orthonormée de l’algorithme PAST, proposée dans [Abed-Meraim et al., 2000], peut être vue comme une implémentation rapide de la méthode des puissances naturelles et s’avère plus performante que PAST, NIC et NP3. En comparaison, la récente méthode API [Badeau et al., 2003c], basée sur la méthode des puissances itérées et sur une nouvelle approximation, a la même complexité que les algorithmes mentionnés ci-dessus, mais fournit une meilleure estimation de l’espace signal.
Ce chapitre présente plusieurs implémentations rapides de la méthode API. Ces algorithmes pré- sentent plusieurs avantages :
– ils peuvent être appliqués soit sur une fenêtre exponentielle infinie ou sur une fenêtre tronquée, – une base orthonormée de l’espace signal est calculée à chaque itération, ce qui est nécessaire pour
certaines méthodes d’estimation paramétrique de type sous-espace, comme MUSIC [Schmidt, 1981],
– ils reposent sur une nouvelle approximation, moins restrictive que celle connue sous le nom de projection approximation, ce qui permet d’atteindre de meilleurs résultats de poursuite. En particulier, il est montré que les algorithmes PAST et OPAST peuvent être vus comme des approximations de la méthode API rapide.
Ce chapitre est organisé de la façon suivante : la section VII.2 présente une formalisation unifiée pour les diverses formes de fenêtres appliquées aux données. La nouvelle approximation est abordée dans la section VII.3. Notre méthode API est introduite dans la section VII.4, et une implémentation rapide de cet algorithme est proposée dans la section VII.5. Dans la section VII.6, il est montré que PAST et OPAST peuvent être vus comme des approximations de l’algorithme API rapide (FAPI). Une méthode pour suivre la structure propre dominante de la matrice de corrélation est proposée dans la section VII.7. Dans la section VII.8, les performances de cette méthode sont comparées à celles de plusieurs algorithmes classiques, parmi lesquels PAST et OPAST. Les principales conclusions de ce chapitre sont résumées dans la section VII.9.