Potentiels géométriques et champ magnétique fictif

Si l’on introduit les angles de m´elange α et β, d´efinis de telle sorte que l’´etat noir (7.23) s’´ecrive

|ni = cos(β/2)|g+i + e^iαsin(β/2)|g−i , (7.24) on obtient pour les potentiels g´eom´etriques des expressions formellement identiques `

a celles que nous avons d´eriv´ees pour un atome polaris´e dans un pi`ege magn´etique : An= ^~ 2^{(cos β}− 1)∇α , (7.25) Un= ^~ 2 8M  (sin β ∇α)²+ (∇β)²  . (7.26)

Le champ magn´etique se d´eduit directement de l’expression du potentiel vecteur : B_n= ^~

2^{∇ (cos β)}∧ ∇α . (7.27)

Juzeli¯unas et al.donnent une interpr´etation simple de l’´equation pr´ec´edente : le pre-mier terme du produit vectoriel ´etant proportionnel au vecteur qui relie les « centre de masse » des deux faisceaux, et le second ´etant proportionnel `a leur impulsion relative, il ne peut exister de champ magn´etique effectif non nul que si les faisceaux pr´esentent un moment angulaire relatif.

Les expressions (7.25), (7.26) et (7.27) ont le m´erite d’ˆetre ind´ependantes de la g´eom´etrie et du profil spatial des faisceaux. Nous les explicitons maintenant pour la g´eom´etrie particuli`ere pr´esent´ee ici. Apr`es avoir exprim´e les angles de m´elange en fonction des fr´equences de Rabi :

α = π + arg(Ω+/Ω−) et tan β = ²|Ω+Ω−| |Ω−|2− |Ω+|2 , (7.28) nous obtenons1 An=−~k _cosh(x/x^exp(x/x0) 0)^{ey , (7.29)} Un= ^~ 2k² 2M 1 + 1/x²₀k² cosh²(x/x₀) ^(7.30) et B_n= −~k x₀ 1 cosh²(x/x0)^{ez , (7.31)}

o`u l’on a introduit l’´echelle de longueur x0= w²/2b.

1. Les expressions (7.30) et (7.31) diff´erent de celles deJuzeli¯unas et al.(2006) par un facteur num´erique.

Chapitre 7 - Exemples de potentiels géométriques

7.2.3 Effet des potentiels géométriques

Nous constatons sur les expressions (7.29) et (7.30) que l’amplitude des potentiels g´eom´etriques au centre de la configuration est directement fix´ee par l’impulsion et l’´energie associ´ees `a l’absorption d’un photon. Nous verrons au chapitre suivant que ceci traduit l’implication des forces radiatives dans la dynamique de l’atome.

Nous mesurons l’amplitude du champ magn´etique fictif (7.31) `a l’aune du nombre de vortex qui lui seraient associ´es dans un condensat de Bose–Einstein. Nous consi-d´erons pour simplifier b = w. Dans la limite o`u l’extension ` du condensat v´erifie x0  `, le champ magn´etique apparaˆıt comme essentiellement homog`ene et la phase de Berry qui lui est associ´ee est simplement γ<sub>n</sub>' k`2/x₀. On prend conscience alors de l’int´erˆet de coupler l’atome `a des faisceaux laser, ceux-ci offrant deux ´echelles de longueurs tr`es diff´erentes : 1/k et x0. Il est ainsi ais´e de rendre la phase de Berry importante : en prenant typiquement x₀ ∼ 100 µm, 1/k ∼ 100 nm et ` ∼ 10 µm, on obtient par exemple γn ∼ 10. Une telle configuration est donc favorable `a la nucl´eation de plusieurs vortex.

Pour terminer, nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que l’´etat coupl´e du multiplet fondamental subit ´egalement l’effet d’un champ magn´etique fictif B_c= −Bn. Le sens de rotation des vortex est oppos´e dans les deux ´etats : les vortex de l’´etat coupl´e tournent dans le sens « naturel », associ´e `a la pression de radiation des faisceaux, alors que ceux de l’´etat noir tournent dans le sens inverse.

Annexe 7.A Calcul des potentiels géométriques dans un piège

magnétique

7.A.1 Potentiel vecteur

Nous commen¸cons par le calcul de |∇ni en fonction des angles α(r) et β(r). `A partir de (7.6), nous obtenons directement

|∇ni = i^h∇α− ∇α ˆF_ze^{−iα ˆF}ze^{−iβ ˆF}y− ∇β e^{−iα ˆ}Fz_Fˆ_ye−iβ ˆFyⁱ|nzi . (7.32) Il vient donc, moyennant l’usage des commutations possibles,

hn|∇ni = i ∇α^h1− hnz| e^{iβ ˆF}y_Fˆ_ze−iβ ˆFyⁱ|nzi , (7.33) On voit apparaˆıtre dans la relation pr´ec´edente le vecteur |nz0i = exp(−iβ ˆF_y)|nzi, ce qui sugg`ere d’introduire le tri`edre (e_x0, e_y, e_z0) d´eduit de (e_x, e_y, e_z) par rotation de l’angle β autour de ey. En notant que ˆFz= cos β ˆFz0+ sin β ˆFx0, on obtient pour l’´el´ement de matrice de (7.33) :

hnz| e^{iβ ˆF}y_Fzˆ _e−iβ ˆFy|nzi = mF cos β . (7.34) La combinaison de (7.33) et (7.34) fournit directement l’expression du potentiel vecteur An= i~hn|∇ni, `a savoir :

Chapitre 7 - Exemples de potentiels géométriques

7.A.2 Potentiel scalaire

Nous rappelons pour commencer l’expression du potentiel scalaire g´eom´etrique :

U_n= ^~ 2

2M h∇n| · |∇ni + hn|∇ni2
. Le second terme de cette relation est ´egal `a −A2

n et n’est plus `a calculer. Pour le calcul du premier terme, nous allons supposer par soucis de simplicit´e que le champ magn´etique est `a sym´etrie cylindrique, de sorte que les vecteurs ∇α et ∇β sont perpendiculaires. Cette sym´etrie est pr´esente dans la plupart des pi`eges utilis´es dans les laboratoires. En utilisant (7.32) puis en effectuant les commutations possibles, il vient simplement

h∇n| · |∇ni = (∇α)²hnz| e^{iβ ˆF}y_Fˆ2

z e^{−iβ ˆF}y|nzi + (∇β)²hnz| ˆF_y²|nzi . (7.36) Pour expliciter cette ´equation, il va nous ˆetre utile d’introduire les op´erateurs ˆF± d´efinis par

ˆ

F±|F, mFi =^pF (F + 1)− mF(mF ± 1) |F, mF ± 1i (7.37) et v´erifiant les relations

ˆ Fx = ¹ 2^{( ˆF++ ˆF−) , (7.38a)} ˆ F_y = ¹ 2i^{( ˆF+}− ˆF−) . (7.38b)

Pour calculer le premier terme du membre de droite de (7.36), nous passons momen-tan´ement dans la base (e_x0, e_y, e_z0) :

hnz0| ˆF_z²|nz0i = cos2βhnz0| ˆF_z²0|nz0i + sin2βhnz0| ˆF_x²0|nz0i = m²_F cos²β + ¹

2F (F + 1) − m2

F sin2β , (7.39) o`u nous avons utilis´e les relations (7.37) et (7.38) et le fait que hnz| ˆF<sub>z</sub>F<sup>ˆ</sup>x|nzi = 0. Le second terme s’obtient quant `a lui directement en utilisant 7.38b:

hnz| ˆF_y²|nzi = ¹ 4 h hnz| ˆF+F−^ˆ |nzi + hnz| ˆF−F+^ˆ |nziⁱ = ¹ 2F (F + 1) − m2 F  , (7.40)

o`u nous avons fait usage du fait que hnz| ˆF+F+|nzi = hnz| ˆ^ˆ F−F−|nzi = 0. En^ˆ rassemblant (7.33), (7.39) et (7.40), on obtient finalement l’expression recherch´ee :

U_n= ^~ 2 F (F + 1)− m2 F
4M  (sin β ∇α)²+ (∇β)^2 . (7.41) 121

Chapitre 7 - Exemples de potentiels géométriques

7.A.3 Calcul direct du champ magnétique effectif

Le point de d´epart du calcul du champ magn´etique effectif est la relation B^g´_n^eom=−~ × Im ^X

m6=n

hn|∇ ˆH^´el|mi ∧ hm|∇ ˆH^´el|ni

(εn− εm)^{2 , (7.42)}

ˆ

H´el(r) = T´el+ ˆVcoul+ ˆVmag(r) d´esigne le hamiltonien ´electronique et ε_ml’´energie de l’´etat interne |mi : ˆH^´el|mi = εm|mi. Puisque seule l’´energie potentielle magn´etique (7.1) d´epend des coordonn´ees r, le terme ∇ ˆH^´el est donn´e par :

∇ ˆH^´el=−µF∇ ˆ_F· B^ . (7.43) Pour les prochaines ´etapes du calcul, nous utilisons comme axe de quantification le vecteur directeur du champ magn´etique au point r, w(r). Nous y associons les vecteurs u(r) et v(r) afin de former le tri`edre direct local (u, v, w). Cette base est consid´er´ee comme fixe. L’´equation (7.43) devient alors

∇ ˆH^´el=−µF^∇B_uF^ˆ_u+ ∇B_vF^ˆ_v+ ∇B_wF^ˆ_w^ , (7.44) o`u les indices u, v et w d´esignent les composantes des vecteurs sur les axes u, v et w. Puisque les ´etats|mi sont des ´etats propres de ˆF<sub>w</sub>, seuls les deux premiers termes de l’´equation (7.44) vont contribuer au champ magn´etique effectif. Le produit vectoriel apparaissant dans (7.42) est ainsi r´eduit `a :

hn|∇ ˆH^´el|mi ∧ hm|∇ ˆH^´el|ni = µ²F∇B_u∧ ∇Bv

× 2i Im^hhn| ˆFu|mihm| ˆFv|niⁱ , (7.45) o`u nous avons utilis´e le fait que les op´erateurs ˆFu et ˆFv sont hermitiens. Les op´ e-rateurs ˆFu et ˆFv peuvent maintenant ˆetre exprim´es en fonctions des op´erateurs ˆF+ et ˆF− selon les relations (7.38). Le produit d’´el´ements de matrices de (7.45) s’´ecrit alors

4ihn| ˆFu|mihn| ˆFv|mi = hn| ˆF+|mihm| ˆF+|ni − hn| ˆF−|mihm| ˆF−|ni

− hn| ˆF+|mihm| ˆF−|ni + hn| ˆF−|mihm| ˆF+|ni . (7.46) Clairement, parmi les quatre termes pr´esents, seuls les deux derniers peuvent ne pas ˆetre nuls. En utilisant les relations (7.37), nous obtenons alors

4ihn| ˆFu|mihm| ˆFv|ni =      −F (F + 1) + n(n + 1) si m = n + 1, F (F + 1)− n(n − 1) si m = n− 1, 0 sinon. (7.47)

La notation m = n± 1 signifie que si n repr´esente les nombres quantiques (F, mF), alors m repr´esente (F, m_F ± 1). En rassemblant finalement (7.47), (7.44) et (7.42) et en remarquant que pour m = n± 1 on a (εn− εm)2 = µ²_FB², il vient

B^g´_n^eom=−~mF^{∇Bu∧ ∇Bv}

Chapitre 7 - Exemples de potentiels géométriques

Pour rendre cette expression utilisable en pratique, il faut la formuler en fonction de B_x, B_y et B_z et non en fonction de B_u et B_v. Ceci peut ˆetre r´ealis´e concr` ete-ment en commen¸cant par fixer l’orientation de u et v dans la base (ex, ey, ez), puis en exprimant Bu et Bv en fonction de Bx, By et Bz. Si l’on choisi par exemple l’orientation

eu = cos β (cos α ex+ sin α ey)− sin β ez , (7.49a)

ev =− sin α ex+ cos α ey , (7.49b)

ew = sin β (cos α ex+ sin α ey) + cos β ez , (7.49c) il vient :

B_u= B_xsin α sin β + B_ysin α cos β− Bzsin β , (7.50a)

Bv=−Bxsin α + Bycos α . (7.50b)

Ainsi, le produit vectoriel ∇Bu∧ ∇Bv s’exprime : ∇B_u∧ ∇Bv = sin β cos α ∇By∧ ∇Bz

+ sin β sin α ∇Bz∧ ∇Bx+ cos β ∇Bx∧ ∇By . (7.51) En remarquant que les facteurs de projection faisant intervenir les angles α et β ne sont rien d’autre que que les composantes du vecteur unitaire w(r), on peut mettre la relation7.51sous la forme plus robuste

∇B_u∧ ∇Bv = wx∇B_y∧ ∇Bz+ wy∇B_z∧ ∇Bx+ wz∇B_x∧ ∇By . (7.52) En ins´erant cette ´equation dans (7.48) on obtient la relation (7.10), directement applicable `a une configuration de champ magn´etique donn´e.

Chapitre 8

Interprétation semi-classique des

potentiels géométriques

Dans une approche semi-classique, l’´equation du mouvement qui d´ecoule de ha-miltonien adiabatique (6.29) implique trois forces :

M^dv

dt ⁼−∇εn− ∇Un+ v∧ Bn. (8.1)

La premi`ere d´erive de l’´energie de l’´etat interne |ni, qui joue le rˆole d’une ´energie potentielle pour le mouvement du cenre de masse. Elle est en g´en´erale utilis´ee dans les exp´eriences d’atomes froids `a des fins de confinement. La seconde est donn´ee par le gradient du potentiel scalaire g´eom´etrique et la troisi`eme prend la forme d’une force de Lorentz, produit vectoriel de la vitesse par le champ magn´etique fictif associ´e au potentiel vecteur g´eom´etrique, B_n= ∇∧An. Bien qu’une interpr´etation de ces deux forces dans un contexte purement classique ait ´et´e donn´ee par Aharonov et Stern

(1992), elle faisait encore d´efaut dans ce contexte semi-classique. Dans ce chapitre, nous proposons une telle interpr´etation en termes des forces radiatives.

Nous ferons largement usage de l’op´erateur force qui d´erive du hamiltonien ´ elec-tronique ˆH^´el(r) = ˆT^´el+ ˆV (r). Cette op´erateur peut ˆetre exprim´e sous la forme

ˆ F(r)≡ −∇ ˆH^´el=−^X n h (∇εn) ˆQn+ εn(∇ ˆQn) i , (8.2) ˆ

Q_n d´esignant le projecteur sur l’´etat propre |ni de ˆH^´el et ε_n l’´energie de cet ´etat. Cette approche a ´et´e utilis´ee avec succ`es en optique quantique pour l’´etude des forces radiatives agissant sur un atome dans un champ laser (Gordon et Ashkin, 1980) et sa justification `a partir d’un traitement compl`etement quantique est bien ´etablie (Dalibard et Cohen-Tannoudji,1985).

8.1 Origine du potentiel scalaire

Nous supposons dans cette section que l’atome est au repos, de sorte que la force de Lorentz dans (8.1)) est nulle. Si l’atome est initialement pr´epar´e dans l’´etat interne|ni, la moyenne de l’op´erateur force (8.2)) est simplement

Chapitre 8 - Interprétation semi-classique

Nous retrouvons ainsi la force d´erivant de l’´energie interne, mais pas celle d´erivant du potentiel scalaire g´eom´etrique. Il n’aurait d’ailleurs pu en ˆetre autrement puisque l’expression (6.30)) du potentiel scalaire fait intervenir la masse M du centre de masse, ce qui n’est pas le cas de l’expression (8.2)) de l’op´erateur force. La raison pour laquelle la valeur moyenne de l’op´erateur force n’est pas la « bonne » quantit´e `

a observer vient du fait que l’´etat interne|ni de l’atome n’est un ´etat propre de ˆF. En cons´equence, la force qui agit sur un atome dans l’´etat |ni est fluctuante autour de sa valeur moyenne :hˆF²i 6= hˆFi2.