B.2 Test de décision
C.1.1 Position d'un satellite dans l'espace
Il existe diérents jeux de paramètres permettant de décrire le mouvement d'un sa-tellite en orbite autour de la Terre. Une première approche fait appel aux paramètres cartésiens (position et vitesse du satellite) dans un repère donné. Une seconde utilise les paramètres orbitaux. Ces derniers, au nombre de six, décrivent à chaque instant la trajec-toire que suivrait le satellite s'il était soumis à la seule force de gravitation de la planète Mars considérée comme une masse ponctuelle (le mouvement du satellite est alors dit képlérien). Les deux sections suivantes décrivent ces jeux de paramètres et les repères mis en jeu.
C.1.1.1 Paramètres cartésiens
La trajectoire d'un satellite peut être caractérisée, à chaque instant, par un vecteur Xcart(t) constitué de six variables appelées paramètres cartésiens. Ces six variables dé-crivent l'évolution de la position et de la vitesse du satellite dans un repère donné. Les paragraphes suivants décrivent les diérents repères qui sont employés dans cette annexe ainsi que les noms de variables choisis.
a) Repère inertiel
L'orbiteur ou le conteneur d'échantillons peuvent être repérés de manière absolue par rap-port à un repère inertiel. Le repère inertiel choisi est noté Ri = (O, ~Xi, ~Yi, ~Zi). Représenté sur la gure C.1, il est dé ni comme suit :
son origine est le centre OM de Mars ;
le vecteur ~Zi est orienté selon l'axe des pôles vers le pôle nord ; le vecteur ~Xi est dirigé vers le point vernal22;
le vecteur ~Yi complète le trièdre.
La gure C.1 fait également apparaître le repère R = (O, ~X, ~Y , ~Z) lié au plan d'orbite. Ce repère résulte de trois rotations du repère Ri. Il est dé ni comme suit :
son origine est le centre OM de Mars ; le vecteur ~Z est normal au plan d'orbite ; le vecteur ~X est dirigé vers le périapse23;
22Ce point est dé ni par la position du Soleil sur la sphère céleste au moment de l'équinoxe de Mars (équinoxe de printemps dans l'hémisphère nord).
C.1. Repérage d'un satellite dans l'espace
Fig. C.1 Repérage d'engins spatiaux dans l'espace le vecteur ~Y complète le trièdre.
La position et la vitesse d'un satellite M dans le repère Ri sont notées : ~ r =−−→ OM = xMX~i+ yMY~i+ zMZ~i (C.1) ~ v = d~r dt Ri = ˙xMX~i+ ˙yMY~i+ ˙zMZ~i (C.2) et la trajectoire de M dans le repère Ri est alors caractérisée par le vecteur :
XM = xM yM zM ˙xM y˙M ˙zM
T
b) Repère local
A n de décrire la position relative entre l'orbiteur et le conteneur d'échantillons, un repère local associé au conteneur peut être utilisé. Ce repère, noté Rl = (M1, ~R, ~S, ~W ), est également représenté sur la gure C.1. Il est dé ni comme suit :
son origine est le centre de masse M1 du conteneur ; le vecteur ~W est normal au plan d'orbite ;
le vecteur ~R (radial) est colinéaire à −OM−−→1; le vecteur ~S complète le trièdre.
Ce repère n'est donc pas xe. Il s'agit d'un repère tournant associé au conteneur M1. La position relative de l'orbiteur M2 par rapport au conteneur M1 dans le repère Rl est décrite par les trois paramètres ξ, η et ζ tel que :
∆~r = ~r2− ~r1 = ξ ~R + η ~S + ζ ~W (C.3)
Ces paramètres sont indiqués sur la gure C.2 qui représente la trajectoire dans le plan orbital.
Fig. C.2 Paramétrage du mouvement diérentiel
Le mouvement relatif entre l'orbiteur et le conteneur est alors caractérisé par le vecteur : x = ξ η ζ ξ˙ η˙ ζ˙ T
C.1.1.2 Paramètres orbitaux
Les paramètres orbitaux, au nombre de six, permettent de dé nir entièrement la tra-jectoire du satellite à partir de l'orientation de l'orbite dans l'espace, de sa forme et de la position du satellite sur l'orbite. Ces paramètres sont notés a, e, i, ω, Ω et ν ou E ou M. a) Orientation de l'orbite dans l'espace
L'orientation de l'orbite par rapport au repère inertiel Riest dé nie par trois angles, notés Ω, ω et i, analogues aux angles d'Euler :
C.1. Repérage d'un satellite dans l'espace l'angle Ω donne la longitude du noeud ascendant24;
l'angle d'inclinaison i est l'angle entre le plan équatorial martien et le plan orbital ; l'argument du périapse ω est l'angle entre le noeud ascendant et le périapse. Ces angles sont indiqués sur la gure C.1.
b) Dimension et forme de l'orbite
Dans le cas général, la forme d'une orbite est elliptique. Elle peut être entièrement dé nie par deux paramètres :
son demi-grand axe a qui permet de dé nir la dimension de l'ellipse ; son excentricité e qui permet de dé nir la forme de l'ellipse ;
Fig. C.3 Forme de l'orbite et repérage de la position du satellite
Ces paramètres sont indiqués sur les gures C.2 et C.3 où OM désigne le centre de Mars et OE est le centre du cercle tangent à la trajectoire orbitale.
c) Position du satellite sur l'orbite
Pour repérer la position du satellite sur l'orbite, un seul angle est nécessaire : soit l'anomalie vraie ν,
soit l'anomalie excentrique E,
soit l'anomalie moyenne M = E − e sin(E).
24Le noeud ascendant est le point où le satellite croise l'équateur martien en passant de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord.
Les angles ν et E sont représentés sur la gure C.3 où M est la position du satellite sur l'orbite et M0 est la projection orthogonale de M sur le cercle tangent à la trajectoire orbitale. Dans notre cas, seule l'anomalie vraie ν est utilisée.
d) Paramètres orbitaux osculateurs
Dans le cas d'un mouvement képlérien non perturbé où le satellite est uniquement sou-mis au premier terme du potentiel martien25, les paramètres orbitaux (à l'exception de l'anomalie) sont constants. Mais en réalité, un certain nombre de forces perturbatrices agissent sur le satellite et l'écartent de son orbite képlérien. Du fait de cette dérive, les pa-ramètres orbitaux ne peuvent plus être supposés constants. C'est pour cette raison qu'ont été introduits les paramétres orbitaux osculateurs qui permettent de décrire l'évolution de l'orbite au cours du temps. Plus précisément, ces paramètres décrivent, à chaque instant t, l'orbite que suivrait le satellite dans le cas képlérien. Ils sont notés a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t) et ν(t) ou E(t) ou M(t).
Le modèle, mis en ÷uvre dans le simulateur utilisé, fait appel à des paramètres cartésiens pour calculer la dynamique du satellite. Les paramètres orbitaux sont utilisés uniquement pour rentrer les conditions initiales de manière plus intuitive.