Tests de sensibilité et validation
6. Pondération entre valeurs initiales et données GPS
Comme nous l’avons vu au chapitre traitant des équations générales de la tomographie, nous pouvons utiliser l’équation des moindres carrés pondérés amortis (équation 1.46) pour rendre l’inversion possible dans les voxels où il n’y a aucune donnée en faisant intervenir le coefficient alpha. Ce coefficient est sans aucun doute le paramètre le plus important pour l’inversion tomographique lorsque l’on décide d’utiliser l’équation des moindres carrés pondérés amortis. Le paramètre alpha décide du poids respectif que l’on doit accorder soit aux SIWV soit aux valeurs de l’initialisation. Lorsque le coefficient alpha est petit, on accorde plus de poids aux données GPS qu’à l’initialisation. Inversement, avec un coefficient alpha grand, on fait plus confiance aux valeurs initiales qu’au données GPS.
Nous avons fait tourner notre logiciel de tomographie pour différents épisodes avec le réseau R1 afin de comprendre l’influence de ce paramètre alpha sur les solutions. Pour chaque époque tomographique, nous avons calculé la moyenne de la densité de vapeur d’eau.
Alpha 0.01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,2 Average density (g/m3) 1.38 1.23 1.16 1.13 1.11 1.10 1.09 1.09 1.08 1.07 Alpha 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 4 Average density (g/m3) 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 1.07 Alpha 6 8 10 Average density (g/m3) 1.07 1.07 1.07
Figure 3.21: Evolution des densités de vapeur d’eau moyennes pour différents coefficients alpha.
Le tableau 3.2 ainsi que la figure 3.21 nous montre la décroissance de la densité avec l’augmentation du paramètre alpha. Cela confirme donc l’importance de ce coefficient et les effets qu’il peut avoir sur la restitution de la solution. Ainsi, pour un même jeu de SIWV, une géométrie de réseau identique et un même nombre de voxels, nous pouvons avoir une variation importante de la densité moyenne (environ 0.3g/m3 sur la figure 3.21). Cela veut donc dire qu’en choisissant une mauvaise valeur d’alpha, une divergence non négligeable peut être engendrée menant à une solution erronée. Ainsi, lorsque cette équation est utilisée lors d’une inversion tomographique, les résultats doivent être interprétés de manière attentive. Cette méthode semble être dangereuse mais c’est le seul moyen de prendre en compte toutes les informations que nous pouvons avoir à partir des stations GPS. De plus, avec cette solution, les matrices de variances-covariances ne sont plus diagonales comme discuté précédemment au paragraphe 2.a.i du chapitre 1. Cela veut dire que nous prenons en considération les erreurs correspondant à chaque rai à travers le réseau.
Figure 3.22: Exemple de résultats tomographiques pour différents coefficients alpha. En haut: Modèle atmosphérique. En bas à gauche: Tomographie avec α=0.03. En bas à droite: Tomographie avec α=2.
Les figures 3.22 représentent un exemple de tomographie pour deux valeurs différentes du coefficient alpha. La figure du haut est à nouveau notre modèle de référence, celles du bas sont les résultats de l’inversion tomographique. Le graphe de gauche a été calculé avec une valeur d’alpha égale à 0.03 et celui de droite avec un coefficient alpha égal à 2. Nous avons choisi ces valeurs pour illustrer la figure 3.21. Une valeur prise lorsque la dérivée correspond à une tangente quasiment verticale (alpha égale 0.03) et une autre valeur (alpha égale 2) prise lorsque la dérivée correspond à une tangente horizontale. Nous voyons clairement des changements significatifs dans la répartition et la quantité de la densité de vapeur d’eau. La valeur moyenne de cette densité est de 1.01 g/m3 pour le modèle, 1.16 g/m3 pour la courbe de gauche et 1.07 g/m3 pour celle de droite. Mais bien plus que dans ces valeurs de densités moyennes, c’est au niveau de la répartition même de la vapeur d’eau que les différences sont flagrantes. Dans le cas de la figure de gauche, nous pouvons supposer que le logiciel de tomographie transfère une partie de la vapeur d’eau a priori présente dans les voxels vides, dans des voxels où de l’information existe. En effet, il apparaît que dans les hautes couches de
l’atmosphère, nous retrouvons une variation de la densité semblable à celle du modèle. Mais dans les plus basses couches, où la quasi-totalité des voxels sont vides, nous avons seulement de l’information proche des stations GPS localisées au-dessous des pics de vapeur d’eau à 4° et 4°15 de longitude.
Figure 3.23: Différence entre le champ a priori de vapeur d’eau initial et le résultat tomographique pour chaque voxel et pour deux valeurs du coefficient alpha. A gauche: Différence avec α=0.01. A droite: Différence avec α=15.
Pour rendre compte également de l’impact du coefficient alpha, nous avons calculé la différence entre les résultats tomographiques et les valeurs initiales sur l’ensemble de notre domaine. La figure 3.23 nous montre les résultats pour un coefficient alpha petit (égale à 0.01, à gauche) ainsi que pour un coefficient alpha élevé (égale à 15, à droite). Les axes horizontaux sont donnés en nombre de voxels, chaque couche correspondant à 196 voxels (découpage 14x14x16). La numérotation commence en bas à gauche de chaque couche (coin Sud-Ouest) et augmente horizontalement. Les axes verticaux représentent la densité de vapeur d’eau. Pour faciliter la lecture de la figure 3.23, les axes n’ont pas les mêmes échelles. Les résultats trouvés confirment que pour des faibles valeurs d’alpha, nous donnons plus de poids aux données. Nous avons en effet une différence allant jusqu’à 7 g/m3 concernant les basses couches de notre réseau. A l’inverse, un coefficient alpha plus grand, ne présente pas de changements remarquables sur le résultat, les différences étant toutes inférieures à 0.02 g/m3. Dans ce deuxième cas, les valeurs initiales prévalent sur les SIWV pour effectuer l’inversion tomographique. De plus, ces deux diagrammes nous donnent une indication sur la répartition des SIWV à travers le réseau. En effet, les plus grandes différences par rapport au modèle se situent toujours au centre d’une couche d’altitude, où le nombre de SIWV est le plus important. Pour les voxels situés au bord d’une couche d’altitude, où très peu d’informations se situent, nous avons un changement des valeurs de densité de vapeur d’eau moins
importantes (entre 1 g/m3 et 2 g/m3). A noter toutefois que cette tendance diminue avec l’altitude des voxels en raison de la diminution du contenu en vapeur d’eau de l’atmosphère.
Pour comprendre la répartition des rais à l’intérieur des voxels, nous avons tracé les deux diagrammes de la figure 3.24. Ceux-ci représentent la somme cumulative des SIWV passant dans les voxels du réseau R2. Dans le cas d’un découpage 7x7x16, nous avons 49 voxels par couche. Nous avons représenté la réparation des SIWV pour les deux couches extrêmes à savoir la n°1 et la n°16.
Figure 3.24: Répartition des rais à l’intérieur des voxels pour deux coupes d’altitudes. A gauche: répartition pour les voxels entre 0m et 500m d’altitude. A droite: Répartition pour les voxels entre 10 000m et 12 000m d’altitude.
Ce graphique nous indique bien que plus la couche d’altitude est basse, plus les SIWV passent à l’intérieur du réseau. En effet, lorsque l’altitude augmente, les SIWV en sortiront progressivement suivant leurs valeurs d’azimuts et d’élévations. Nous pouvons également voir que les plus grandes valeurs se situent dans les voxels contenant les stations GPS (figure 3.24 à gauche). Ces figures illustrent donc également le principe du problème partiellement déterminé des basses couches. La distribution des rais a toutefois tendance à devenir homogène avec les couches d’altitudes plus hautes. Ceci n’est toutefois pas vrai dans le cas présenté ci-dessus puisque la distribution des stations du réseau R2 est très symétrique.