4.5 Modélisation de la dégradation du système
4.6.4 Politique de maintenance
La politique de maintenance proposée consiste à effectuer les actions de maintenance préventive à des instants prédéterminés n. T avec n= (1, ..., θ). En effet, nous considérons que les actions de maintenance de maintenance préventive sont considérées parfait (as good as new). En outre, une réparation minimale est effectuée si une panne imprévue survient entre deux actions de maintenance préventive successives. Nous considérons que le temps d'action de maintenance préventive est négligeable par rapport au temps de réparation minimale. La figure 4.9 représente
Période 1 Période 2 … Période N
Inspection j
λlimite ; NI(t)=0
Calculer λj Durant la période t avec j [k, k-1[
NIk= NIk +1 λj < λlimite Non
Oui
134
l‘évolution du taux de défaillance en fonction du temps lorsque la réparation est minimale et la réparation est parfaite.
Figure 4.9 : Evolution du taux de défaillance en fonction du temps
En effet, l'optimisation de la stratégie de maintenance consiste à déterminer le taux optimal de maintenance préventive θ*, ainsi que la durée entre deux actions successives de maintenance préventive T*. L‘équation (4.14) présente la relation entre les deux paramètres.
( * (4.14)
Nous considérons que la dégradation de la machine dépend du temps et de la cadence de production. Par la suite, le taux de défaillance est exprimé par l‘équation (4.15) (Hajej, Dellagi &
Rezg, 2009).
(t) ( )( t)
(t) (4.15)
Dans cet ordre idées, nous avons supposé que notre système de production fabrique des produits multiples p avec (p=1, ..., P). Par conséquent, le taux de défaillance peut être exprimé comme suit
:
Pour p=1 : (t) ( )( t) (t) Pour p=2 : (t) ( )( t) (t) …. ….
Pour p=P : (t) ( )( t) (t) T
Réparation minimale
Seuil limite de défaillance
λlimite Taux de
défaillance λ(t)
Temps Réparation parfaite
Taux de défaillance
initiale
135
Nous additionnons toutes les équations, ainsi nous obtenons :
(t) + (t)+ ...+ (t)= ( )( t)+ ( )( t)+…+ ( )( t) + ( + +
…+ ) (t)
En d'autres termes, la sommation des taux de défaillance est exprimée par l‘équation (4.16).
∑ ( ) Par conséquent, le taux de défaillance peut être exprimé par l‘équation (4.17).
( ) ( ) ∑ ∑
Ensuite, nous soulignons que le nombre de panne est représenté suivant l‘équation (4.18).
∑ ∫
(4.18) Ainsi, le nombre moyen de défaillances ENF dépend du taux de production durant chaque période k et du taux de maintenance préventive θ (équation 4.19).
∑ production, de qualité, de maintenance et de sous-traitance.
( )= Min ( P M
P ti t it lit M i t * (4.21) La fonction objectif à minimiser est :
136
Pour résoudre notre problème, nous utilisons une méthode approchée AG du solveur Matlab, car il est difficile de résoudre notre modèle avec une méthode exacte. Nous avons appliqué les algorithmes génétiques (GA) pour résoudre notre modèle mathématique proposé puisqu‘ils sont plus efficaces. Afin de choisir les paramètres de notre algorithme d‘optimisation, les plans d'expérience sont mis en œuvre. La section suivante présente la méthode de Taguchi pour simplifier le plan d'expérience afin de mettre en évidence les influences de divers facteurs sur la réponse. On note que la méthode du Taguchi se caractérise par une réduction considérable du nombre de tests, tout en conservant une précision raisonnable.
4.7.2 Méthode de Taguchi
Taguchi et Yokoyama (1993) ont développé des méthodes statistiques connues sous le nom de méthodes Taguchi pour améliorer la qualité des produits et des processus. Ces méthodes consistent en un certain nombre d'approches de conception expérimentale. La méthode vise à fournir autant d'informations que possible avec un minimum de tests, en exploitant les facteurs qui influencent les
137
performances du processus. La méthode de Taguchi est facilement applicable, en utilisant un indicateur de variation du rapport signal/bruit (S/N) représenté par l‘équation (4.30).
( ∑
+ ( )
En outre, la taille de la population, le nombre maximal d'itérations, la probabilité de croisement et la probabilité de mutation sont tous des facteurs critiques qui influencent l'approche d'optimisation.
En effet, nous utilisons Minitab pour obtenir un tableau orthogonal où chaque colonne correspond au niveau des effets que nous voulons analyser. Nous supposons 27 séries d'expériences à partir de la distribution du tableau orthogonal, et trois niveaux ont été attribués à chaque facteur, comme le montre le tableau 4.2.
Tableau 4.2 : Les niveaux des paramètres des algorithmes génétiques Facteurs Taille de la
population
Nombre maximum d'itérations
Probabilité de croisement
Probabilité de mutation
Niveau 1 1000 1100 20% 10%
Niveau 2 2000 1600 50% 40%
Niveau 3 3000 2000 90% 80%
La figure 4.10 montre les principaux effets générés par Minitab. Les quatre facteurs considérés doivent être ajustés de manière à ce que : la taille de la population = 3000, le nombre d'itérations = 1100, la probabilité de mutation = 0,1 et la probabilité de croisement = 0,5. Le tableau 4.3 indique le niveau de chaque facteur sélectionné dans la méthode d'optimisation adoptée pour la résolution du système.
Figure 4.10 :Représentation graphique des principaux effets du ratio (S/B) Graphique des principaux effets pour les rapports signal/bruit
Données moyennes
Rapport moyen signal/bruit
Signal/Bruit : Petit est Mieux
138
Tableau 4.3 : Les paramètres optimaux des algorithmes génétiques Taille de la
population
Nombre maximum d'itérations
Probabilité de croisement
Probabilité de mutation
3000 1100 50% 10%
4.8 Résultats numériques
Dans cette section, nous présentons un exemple numérique pour illustrer notre approche. A cet effet, les données d'entrée sont sélectionnées par rapport à la référence de (Fakher B. H., 2016).
Nous considérons une machine fabriquant deux produits P=2 pendant 6 mois (H = 6). Les coûts unitaires utilisés dans notre approche sont les coûts moyens de (Fakher B. H., 2016), puisque ce dernier a considéré trois machines fabriquant deux types de produits. Ensuite, nous supposons que le taux de défaillance est représenté par la loi de Weibull de paramètres β, α et γ qui sont respectivement le paramètre d'échelle, le paramètre de forme et le paramètre de position. Les principales données du problème sont présentées dans les tableaux suivants.
Tableau 4.4 : La demande des produits
Période t La demande du produit 1 La demande du produit 2
1 3500 2500
2 4000 2000
3 1500 1500
4 2500 1500
5 1500 3500
6 5000 3500
Tableau 4.5 : Les paramètres de production
Produit p Coût de fabrication
Coût de Setup
Coût de stockage
Coût de rupture
Capacité maximale Gp
1 7 35 2 32 2500
2 9 22 2 32 3000
Tableau 4.6 : Les paramètres de qualité Coût d’inspection
qualité u Coût d’ajustement q Coût de contrôle
qualité λlimite
40 30 2 0.000125
139
Tableau 4.7 : Les paramètres de maintenance
Tableau 4.8 : Les paramètres de sous-traitance
Sous-traitant 1
Produit 1 Produit 2
1500 1000
Csub1 10 13
D1 30
Sous-traitant 2
2000 1400
Csub2 8 11
D2 50
Sous-traitant 3
3 1000 700
Csub3 13 16
D3 15
Qd 2
4.9 Analyse et discussions
La meilleure solution trouvée à l'aide notre algorithme génétique est présentée dans le tableau 4.9.
Ensuite, la figue 4.11 montre la répartition des coûts tels que la valeur optimale du coût total est égale à 353.892$, dont le coût de production est égal à 264.581$, le coût de qualité est égal à 1147$, le coût de maintenance est égal à 1200,7$ et enfin le coût de sous-traitance est égal à 86.963$. En ce qui concerne la stratégie de maintenance adoptée, le taux de maintenance préventive est égal à 4.
CM CP TMR λ0 γ
1000 400 0.03 0 2 0 100
140
Figure 4.11 : Répartition des coûts de l‘approche proposée 246581$
1200,7$
1147$
86963$
Répartition des coûts
Production Maintenance Qualité sous-traitance
141
Tableau 4.9 : Les résultats obtenus par la méthode des algorithmes génétiques
Période
Production Stockage Rupture Setup Sous-traitance
Nombre d’inspection
Produit 1 Produit 2 Produit 1 Produit 2 Produit 1 Produit t2 Produit t1 Produit 2 Produit 1 Produit 2
1 1615 758 0 0 0 0 1 1 382 879 0
2 796 2842 0 1166 0 0 1 1 1903 324 0
3 2358 350 76 633 1301 0 1 1 519 617 1
4 1817 421 1094 678 0 0 1 1 1701 1124 4
5 1705 2523 2480 18 0 0 1 1 681 317 11
6 2309 1625 843 0 0 1805 1 1 1054 52 11
142
La modélisation intégrée n'est pas facile, car elle est généralement multicritère et multi-objectif. A travers notre modèle, nous avons montré une interaction marquée entre les trois fonctions : production, maintenance et qualité, en tenant compte de la contrainte d'externalisation. Tout d'abord, nous constatons que le nombre d'inspections augmente au fil du temps. En effet, pendant les deux périodes t=1 et t=2, le nombre d'inspections est nul, puisque le taux de défaillance ne dépasse pas la valeur du taux de défaillance limite. Ensuite, dans la troisième période, le nombre d'inspections augmente de 1 à 4, puis de 4 à 11, dans la mesure où le taux de défaillance est considéré comme cumulatif. Bien que le coût de la qualité CQ soit considérablement remarquable, la stratégie de contrôle de la qualité permet en retour à l'entreprise d'éviter la livraison de pièces non conformes à ses clients, afin de maintenir la bonne image de l'entreprise.
Nous présentons ci-dessus la variation du coût de la qualité en fonction du temps (figure 4.12, a), ainsi que la variation du nombre d‘inspection durant chaque période pour trois valeurs de taux de défaillance limite tel que : λlimite2< λlimite1< λlimite3 (figure 4.12, b). Par la suite, nous soulignons que plus la λlimite est petite, plus le nombre d'inspections est faible et plus le coût de la qualité est bas et vice versa. A cet effet, la détérioration de la machine augmente le taux de défaillance, ce qui entraîne une augmentation du nombre d'inspections, comme indiqué sur la figure (4.12, b). Par conséquent, il est nécessaire de réduire la dégradation des machines en procédant à des actions de maintenance préventive visant à empêcher l'augmentation du coût de la qualité. Il est également important de déterminer le taux de défaillance limite λlimite. Ce paramètre permet de détecter les défauts au bon moment et donc de ne pas gaspiller le surcoût de la qualité.
(a) Coût de qualité (b) Nombre d‘inspection
Figure 4.12 : Influence de la limite du taux de défaillance sur le coût de la qualité et le nombre d‘inspection
En ce qui concerne la stratégie de production, nous indiquons que le taux de production est variable sur les 6 périodes de production en fonction de la demande des clients, comme le montre la figure 4.13. Autrement dit, le taux de production des deux produits n'a pas atteint le taux de production maximum ou minimum.
Périodes
Coût de qualité
Périodes
Nombre d‘inspection NI
143
Figure 4.13 : Variation du taux de production et du taux de sous-traitance
La figure 4.14 montre que le coût total cumulé est minimal lorsque le taux de production est variable. Cela favorise la fabrication à taux variable. En effet, le DO peut fabriquer à capacité maximale et la sous-traitance est utilisée si la production régulière est à pleine capacité. Cependant, l'utilisation cumulative des machines de fabrication du DO peut précipiter la dégradation des machines et donc augmenter le risque de défaillances, de défauts, de retards, etc. En conséquence, les coûts de maintenance, le risque d'arrêt de la chaîne de production et le nombre de produits défectueux augmentent.
Figure 4.14 : Comparaison du coût total de production cumulé entre le taux de production variable et maximal
Périodes
Produit 1
Périodes
Coût total cumulé
Taux de production variable Taux de production maximal
Périodes
Produit 2
Production Sous-traitance
144
La sous-traitance a permis de combler le fossé entre la production interne et la demande des clients.
En outre, la contrainte de la sous-traitance permet de fournir des produits sans défauts. Cependant, la sous-traitance ne se justifie pas toujours par l'incapacité de production, mais aussi par la nécessité de prendre en compte la question de la minimisation des coûts. Cela se justifie dans une période où la demande est inférieure à la capacité de production maximale (période 3), la demande est satisfaite par la production interne ainsi que par la sous-traitance (tableau 4.9). En dépit des coûts élevés généralement proposés par les sous-traitants, la production en interne génère également des coûts de production, de qualité et de maintenance. En d'autres termes, le critère du coût de sous-traitance indique la valeur du coût de vente unitaire minimal qui doit être fixé pour qu'il soit rentable pour l'entreprise contractante.
Par la suite, le deuxième sous-traitant est le plus optimal des trois sous-traitants. En effet, bien que le deuxième sous-traitant facture un coût de transport élevé, le coût unitaire de la sous-traitance est minime. Par conséquent, le DO doit élargir la zone géographique de sélection des sous-traitants, étant donné qu'il existe des entreprises sous-traitantes qui sont géographiquement éloignées de l'entreprise principale, mais qui peuvent offrir des tarifs minimums. De plus, notre approche est certainement basée sur le principe que la dégradation influence plusieurs indicateurs de performance des machines ; elle est principalement axée sur la qualité des articles produits et la fiabilité de la machine. Les actions de maintenance peuvent réduire la détérioration des machines et améliorer la qualité des produits et la fiabilité des machines.
Pour valider notre approche, nous comparons nos résultats avec ceux de (Fakher B. H., 2016). En effet, nous avons utilisé des valeurs moyennes du coût unitaire. Notre système de production est composé d'une seule machine produisant deux types de produits, en ayant recours à la sous-traitance. Par contre, le système de production de (Fakher B. H., 2016) est composé de trois machines fabriquant deux types de produits. Donc, pour comparer les deux résultats, nous prenons en compte la limitation budgétaire des actions de maintenance préventive ainsi que le coût de la maintenance préventive réalisée par notre approche.
Tableau 4.10 : Les résultats de comparaison Approches
Coût de MP
Coût total ($) (Fakher B. H., 2016)
Coût total ($) Notre approche
1250 $ 462.680 $
1200 $ 353.892 $
Nous constatons que le coût total optimal trouvé en utilisant notre approche est minimal, en le comparant au coût total optimal de (Fakher B. H., 2016). Cela montre que la sous-traitance est une bonne solution pour l'industrie manufacturière afin de répondre à la demande manquante et de minimiser le coût total.
4.10 Analyse de sensibilité
Dans cette section, nous menons une succession d'expériences à l'aide d'exemples numériques. En effet, l'analyse de sensibilité proposée indique une politique de contrôle des coûts de production, de maintenance de la qualité et de sous-traitance. Les résultats présentés dans le tableau 4.11 montrent les diverses configurations présentes et comparées à l'état de référence. Dans la suite, nous présentons l'impact de chaque coût unitaire sur les variables de décision et sur le coût total.
145 - Variation des paramètres de production
Nous constatons que l'augmentation du coût unitaire de fabrication entraîne une diminution des taux de production, ce qui favorise le recours à la sous-traitance. Le taux de MP et le coût de la qualité sont en baisse, ce qui justifie que les coûts de la qualité soient fortement liés aux coûts de production et de maintenance. Inversement, lorsque le coût unitaire de la production interne diminue, le taux de MP et le coût de la qualité diminuent, ce qui justifie que les coûts de la qualité soient fortement liés aux coûts de production et de maintenance.
De plus, la variation du coût unitaire de setup n'influence pas les variables de décision, puisque le donneur d'ordres est obligé de produire pour satisfaire la demande du client à la fin de chaque période de l'horizon de planification. En ce qui concerne l'augmentation du coût unitaire des stocks.
Le donneur d'ordres réduit la fabrication en interne, ce qui réduit le nombre d'inspections et le taux de MP. En effet, la diminution du taux de production interne retarde la dégradation de la machine.
Ensuite, nous constatons que l'augmentation du coût unitaire de rupture, le contractant fabrique plus pour éviter les coûts de rupture, ainsi que pour garder la bonne image de l'entreprise. La contribution de la sous-traitance est également importante. D'autre part, le taux de maintenance et le nombre d'inspections diminuent, de sorte que la machine est plus opérationnelle.
- Variation des paramètres de qualité
Nous constatons que lorsque nous augmentons les coûts unitaires de la qualité (inspection, ajustement et contrôle de la qualité), le nombre d'inspections est réduit, d'où la diminution du taux de production car l'entreprise peut atteindre des coûts élevés en cas de fabrication avec un taux de production interne maximum. En effet, la contribution de l'externalisation est également importante, puisque le sous-traitant fabrique des produits de qualité conforme. Les actions de maintenance préventive sont retardées afin de rendre les machines le plus opérationnel possible. Le taux de maintenance préventive augmente, de sorte que la machine est maintenue dans un état contrôlé.
- Variation des paramètres de sous-traitance
Nous constatons que l'augmentation du coût unitaire d'externalisation ainsi que du coût unitaire du transport réduit le taux de sous-traitance et augmente le taux de production interne. En effet, la machine est plus utilisée, ce qui augmente le taux de MP pour réduire la détérioration de la machine. Ensuite, l'augmentation du taux de production entraîne une augmentation du nombre d'inspections afin d'éviter de livrer des produits non conformes au client. Inversement, lorsque le coût unitaire de l'externalisation et du transport diminue.
- Variation des paramètres de Maintenance
Nous notons que l'augmentation du coût unitaire de la maintenance préventive réduit le taux de maintenance préventive. Afin d'éviter la dégradation des machines, le taux de production diminue, ce qui entraîne une diminution du nombre d'inspections. Pour satisfaire la demande des clients, le taux de sous-traitance augmente. Ensuite, l'augmentation du coût unitaire de la maintenance corrective entraîne une augmentation du taux de maintenance préventive, afin d'éviter les pannes fréquentes des machines.
De plus, le taux de production diminue pour éviter la dégradation des machines, ce qui entraîne une diminution du nombre d'inspections de qualité. Afin de satisfaire la demande des clients, la sous-traitance est favorisée, d'où l'augmentation du taux de sous-sous-traitance.
146
Tableau 4.11 : Etude de sensibilité et paramètres du politique de contrôle Coût
147
4.11 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié la problématique de la gestion conjointe des stratégies de production et de maintenance dans le cadre d‘un système de production imparfait, pouvant entrainer des non-conformes. Cependant, notre approche tient en compte le concept de sous-traitance comme étant une solution permettant de combler le fossé entre la production interne et la demande des clients. Du point de vue fiabilité, nous avons abordé la dégradation des systèmes de production.
Au départ, nous avons élaboré une analyse de l‘état de l‘art sur l‘intégration des plans de production, de maintenance et de qualité. A cet effet, nous avons montré les caractéristiques du système de production imparfait. Ensuite, nous avons classifié et analysé les travaux existants dans le contexte d‘intégration. Nous avons par la suite, mis en valeur l‘impact de la sous-traitance sur la qualité des produits fabriqués. Par conséquence, la politique de contrôle proposée consiste à optimiser la stratégie de sous-traitance dans le cadre d'une approche intégrée de la maintenance, de la production et du contrôle de la qualité. A travers notre approche, nous avons déterminé pour chaque produit et durant chaque période, le taux de production, le taux de sous-traitance, le taux de maintenance préventive, la durée entre deux actions de maintenance préventive, le nombre d'inspections, le niveau de stockage et le niveau de rupture. En parallèle, nous avons proposé une stratégie de choix optimal d'un sous-traitant permanent. Ce choix est basé sur multicritère paramètres à savoir : le coût unitaire de la sous-traitance, la capacité maximale du sous-traitant et la distance entre le sous-traitant et le stock. Ensuite, nous avons proposé également une stratégie de contrôle de la qualité qui nous permet d'inspecter, d'ajuster et de contrôler le processus, sur la base du taux de défaillance limite λlimite fourni par l'historique de la machine. Pour résoudre notre problème, une approche d'optimisation évolutive est proposée, à savoir l'algorithme génétique (AG). Ensuite, pour ajuster les paramètres de l'AG, nous avons utilisé la méthode de Taguchi. Une analyse de sensibilité est également effectuée pour évaluer la robustesse de la politique du contrôle proposée. Au final, nous comparons nos résultats avec la littérature pour valider notre approche.
Dans cette optique, les résultats obtenus affirment l‘influence de la variation du taux de production sur la dégradation des équipements de production. En effet, la fabrication avec une cadence maximale précipite la dégradation des équipements de production. A cet effet, le taux de défaillance dépend du temps et du taux de production. D‘une autre part, nous avons examiné l‘impact de la dégradation sur la qualité des produits fabriqués. Ainsi, plus l‘équipement est en état
Dans cette optique, les résultats obtenus affirment l‘influence de la variation du taux de production sur la dégradation des équipements de production. En effet, la fabrication avec une cadence maximale précipite la dégradation des équipements de production. A cet effet, le taux de défaillance dépend du temps et du taux de production. D‘une autre part, nous avons examiné l‘impact de la dégradation sur la qualité des produits fabriqués. Ainsi, plus l‘équipement est en état