Plaque mince sous contrainte plane

x y z y

FIGURE 2.3 – Plaque mince sous contrainte plane

Les contraintes différentes de zéro, restent constantes a travers l’épaisseur de la plaque et sont fonction seulement de x et y . Cette situation décrit l’état plan de contraintes. Les relations (2.10) et (2.11) décrivent les équations d’équilibre et les conditions aux limites dans ce cas de situation, comme pour l’état de déformation plane. En utilisant (a), nous avons :

εx =¹ E· (σx−ν · σ_y) ε_y=¹ E· (σ_y−ν · σx) γxy=^τxy G (2.14) γx z = γyz = 0, εz = −^ν E· (σx+ σy) (2.15a) En prenant σ_x+ σy des deux premières équations des relations (2.14) et en insérant le résultat dans (2.15a), on obtient :

εz = − ^ν

1 − ν^{· (εx}+ εy) (2.15b) Les équations (2.15a) et (2.15b)définissent, les déformations principales hors du plan en fonc-tion des contraintes (σx, σy) ou déformations (εx+ εy) dans le plan.

2.4. États plans de contrainte 16

Puisque εzn’existe pas dans les expressions gouvernant les contraintes planes, elle peut être ob-tenue indépendamment a partir de (2.15a) et (2.15b) ; puis εz= ^∂w_∂z peut être appliquée pour cal-culer w . Donc ne sont considérées que u et v comme variables indépendantes dans les équations gouvernantes. Dans le cas des contraintes planes, les relations de base déformation-contrainte sont aussi données par (2.5) . Les relations gouvernant le cas des contraintes planes vont êtres réduite, comme dans le cas plan des déformations, a trois équations dépendant seulement des contraintes. Puisque (2.5) s’applique aux deux cas plans, les conditions de compatibilité repré-sentés par (2.14) s’appliquent aux deux cas. La dernière expression peut être écrite comme suit, en substituant les déformations a partir de (2.14) et en utilisant (2.10)

( ∂2

∂x2+_∂y^∂2₂) · (σx+ σy)= −(1 + ν) · (^∂Fx

∂x + ∂F_y

∂y ^{) (2.16)}

Cette équation de compatibilité, avec les équations d’équilibre, représentent une forme utile des équations gouvernant les problèmes de contrainte plane. Pour résumer les situations bi-dimensionnelles abordées, les équations d’équilibre (2.10), ainsi que ceux de compatibilité (2.13) pour la déformation plane et (2.16) pour les contraintes planes et les conditions aux limites (2.11), fournissent un système d’équations suffisantes pour la détermination complète de la répartition des contraintes. Il peut être démontré qu’une solution satisfaisant a toutes ces équations est, pour un problème donné, unique, c’est-à-dire la seule solution à ce problème. En l’absence de forces de volume ou dans le cas où ces forces sont constantes, les équations de compatibilité pour les déformations et contraintes planes sont les mêmes. Dans ces cas, les équations qui régissent la distribution des contraintes ne contiennent pas de constantes élas-tiques. Si on donne la même géométrie et le même chargement pour deux barres l’une en acier et l’autre bronze elles afficheront la même distribution de contraintes. Il est intéressant de noter qu’en comparant les équations (2.9) et (2.14) on peut former le Tableau (2.1), qui facilite la conversion d’une solution en contrainte plane vers une solution en déformation plane, et vice versa. Par exemple, les états de contrainte plane et déformation plane prévalent dans une poutre mince et une autre large, respectivement. Par conséquent, dans une poutre mince le E · I va être remplacé par ^{E I}

/

(1−ν²) pour une poutre large. La rigidité pour le dernier cas, pour ν = 0.3 ; est de 10% plus grande, cela est du au déplacement latéral.

2.5. Fonction de contrainte d’AIRY 17

Solution Convertir vers E est remplacé par ν est remplacé par Contrainte plane Déformation plane _1−ν^E_{2 1−ν}^ν

Déformation plane Contrainte plane (1+2·ν)·E (1+ν)2

ν 1+ν

TABLE2.1 – Conversion entre les solutions des états plans de contrainte et de déformation

2.5 Fonction de contrainte d’AIRY

Les solutions des problèmes bidimensionnels en élasticité passent par la résolution des équa-tions différentielles de l’équilibre (2.10), et avec les équations de compatibilité (2.13) ou (2.16) et les conditions aux limites (2.11). Si on suppose que les forces de volume Fx et F_y sont négli-geables, ces équation se réduisent a

∂σx ∂x + ∂τxy ∂y =^0, ∂τxy ∂x + ∂σy ∂y =^{0 (a)} ( ∂2 ∂x2+_∂y^∂2₂) · (σx+ σy)= 0 (b)

Les équations d’équilibre sont identiquement satisfaites en utilisant une fonction Φ(x, y), intro-duite par G. B. Airy, en relation avec les contraintes :

σx= ^∂_∂y^2Φ₂, σ_y= ^∂_∂x^2Φ₂, τ_xy= _{∂x ∂y}^∂2Φ (2.17) Si nous remplaçons (2.17) dans (b), on a :

∂4Φ

∂x4 + 2 ·_∂x^∂₂²_∂y^Φ ₂+^∂_∂y^4Φ₄ = ∇4Φ= 0 (2.18) C’est la formulation d’un problème bidimensionnel, dans lequel les forces de volumes sont absentes on doit par conséquent trouver une solution pour l’équation bi-harmonique, qui doit bien sur satisfaire les conditions aux limites.

Il est a noter que dans le cas de contraintes planes nous avons σz = τx z = τyz= 0 et σx, σ_y et τ_xysont indépendantes de z. Par conséquent γx z= γyz= 0 et εx, ε_y, εz et γ_xy sont indépendant de z. On peut aussi avoir, en considérant (2.18), les équations suivantes :

∂2εz

∂x2 = 0, ^∂2εz

∂y2 = 0, ^∂2εz

2.5. Fonction de contrainte d’AIRY 18

De toute évidence, ces conditions supplémentaires ne seront pas satisfaites dans le cas de contrainte plane en solutionnant (2.18) seule. Par conséquent, une telle solution d’un problème de contraintes planes à un caractère approximatif. Cependant, on peut montrer que pour des plaques minces l’erreur introduite est négligeable.

Il est également important de noter que, si les extrémités du cylindre représentés sur la Fi-gure.(2.1) sont libres de se mouvoir, nous pouvons supposer que la déformation longitudinale soit constante. Un tel état est appelé déformations planes généralisées. Donc, nous avons main-tenant : εx= ^{(1 − ν2)} E · (σx− ν 1 − ν^·σ_y) − ν · εz εx= ^{(1 − ν2)} E · (σ_y− ν 1 − ν ^·σx) − ν · εz γ_xy= ^τxy G (2.19) et σz = ν · (σx+ σy) − E · εz (2.20) En introduisant (2.19) dans (2.12) et en simplifiant, nous obtenons encore une fois (2.18) comme équation différentielle gouvernante. Ayant déterminéσxet σ_y, la valeur constante de εzpeut être trouvée a partir de la condition que la résultante des forces dans la direction z qui agissent sur les extrémités du cylindre est nulle. Donc :

¨

σzdx dy= 0 (d) Où σzest donnée par (2.20)

Chapitre 3

Revue de littérature sur les éléments finis

membranaires basés sur l’approche en

déformation et Condensation statique

3.1 Introduction

Une revue de littérature sur l’approche en déformation ainsi que des aspects qui conduisent à la compréhension de cette approchent constituent la matière première de ce chapitre. L’autre partie concerne la définition générale de la technique de condensation statique.

3.2 Domaines d’application

Les applications de la MEF se scindent en trois catégories, selon la nature du problème à ré-soudre. Dans la première catégorie, on y trouve les problèmes d’équilibre ou les problèmes indépendants de temps. C’est le domaine de la mécanique des solides où nous avons besoin de connaître les déplacements et les contraintes pour un chargement mécanique (ou thermique) donné. La majorité des applications de la MEF sont dans cette catégorie. Dans la deuxième catégorie, on trouve les problèmes appelés problèmes de valeurs propres. Ceux-ci sont des pro-blèmes stationnaires dont la solution nécessite souvent la détermination des fréquences natu-relles et les modes de vibration des solides et des fluides. Dans la troisième catégorie, il existe une multitude de problèmes « du temps dépendant » ou de propagation de la mécanique du

3.3. Etapes de la M.E.F 20

lieu continu. Cette catégorie est composée de problèmes qui peut paraître lorsque la dimension temps est intégrée aux problèmes des deux premières catégories. Mais, le fait que cette méthode peut être employée pour résoudre un problème donné ne signifie pas que c’est la technique de solution la plus pratique. Souvent plusieurs techniques fiables sont disponibles pour résoudre ces problèmes. Chaque technique à ses mérites et aucune méthode ne peut prétendre être "la meilleure". Les domaines d’applications de la MEF s’étend à toutes les disciplines de l’ingé-nierie, mais reste que les ingénieurs civils, mécaniques et spatiaux sont les utilisateurs les plus fréquents de cette méthode.

3.3 Etapes de la M.E.F

A partir du milieu des années 1970, des programmes d’éléments finis ont joué un rôle important dans la croissance remarquable de la conception assistée par ordinateur (C.A.O). Avec les pres-sions économiques continues pour l’amélioration de la productivité en ingénierie, on verra dans l’avenir un rythme accéléré de la MEF dans la conception des processus. Cette méthodologie reste toujours passionnante et une partie importante dans « la caisse à outils » de l’ingénieur.

1. Discrétiser le milieu : La méthode des éléments finis est une méthode d’approxima-tion par sous domaines, donc avant toute applicad’approxima-tion il faut diviser le domaine à étudier en éléments. chaque élément est défini géométriquement par un nombre de noeuds bien déterminé qui constituent en général ses sommets,Le résultat du procédé de discrétisa-tion doit contenir deux données essentielles qui sont les coordonnées des noeuds et les connectivités des éléments.

2. Choisir les fonctions d’Interpolation : La deuxième étape est d’affecter les nœuds pour chaque élément et choisir ensuite la fonction d’interpolation pour représenter la variation du champ sur tout l’élément. Le champ de variables peut être un scalaire, un vecteur, ou un tenseur d’ordre supérieur. Souvent, des polynômes sont choisis comme fonctions d’interpolation pour le champ, parce qu’ils sont faciles à intégrer et à différencier. Le degré du polynôme choisi dépend du nombre de nœuds affectés à l’élément, de la nature et le nombre d’inconnues pour chaque noeud, et de certains critères de continuité imposés aux noeuds et au long des frontières de l’élément.

3. Trouver les propriétés de l’élément : Une fois que le modèle d’élément fini est établit (c’est-à-dire une fois que les éléments et leurs fonctions d’interpolation ont été choisis),

3.3. Etapes de la M.E.F 21

nous sommes prêts à déterminer les matrices exprimant les propriétés des éléments in-dividuellement (matrices de rigidité). Pour cette tâche nous pouvons employer l’une des trois approches suivantes : l’approche directe, l’approche variationnelle, ou l’approche des résidus pondérés (qui seront détaillés dans la section suivante).

4. Assembler les propriétés des éléments pour obtenir les systèmes d’équations : Pour trouvez les propriétés du système complet modelé par le réseau d’éléments, nous devons "assembler" les rigidités de tous les éléments. Autrement dit, on combine les matrices exprimant le comportement des éléments et on forme la matrice exprimant le comporte-ment du système entier. Les équations matricielles du système ont la même forme que les équations pour chacun des éléments, sauf qu’elles contiennent beaucoup plus de termes puisqu’elles incluent tous les noeuds. La procédure de base pour l’assemblage est due au fait qu’au niveau de chaque nœud (où de différents éléments sont connectés), la va-leur de la variable du champ est la même pour chacun de ces éléments. Une particularité unique de la MEF consiste en ce que les équations du système global sont produites par l’assemblage d’équations individuelles de chaque élément.

5. Imposer les conditions aux limites : Avant que le système d’équations ne soit prêt pour la résolution, il doit prendre en compte les conditions aux limites du problème. A ce stade on impose aussi bien les valeurs nodales des variables dépendantes connues que les charges ou forces nodales.

6. Résoudre le système d’équations : Le processus d’assemblage donne un ensemble d’équa-tions simultanées que nous résolvons pour obtenir les valeurs nodales inconnues du pro-blème. Si le problème décrit une forme d’équilibre, donc nous devons résoudre un en-semble d’équations algébriques linéaires ou non-linéaires. Si le problème est autre, les inconnues nodales sont fonction du temps et nous devons résoudre un ensemble d’équa-tions différentielles ordinaires linéaires ou non-linéaires.

7. Procéder a des calculs supplémentaires si nécessaire : Quelques fois on utilise les solutions du système d’équations pour calculer d’autres paramètres qui sont importants. Par exemple, dans un problème de mécanique des structures les inconnues nodales sont les déplacements, de ces déplacements nous pouvons calculer les déformations et les contraintes. De la même façon, dans un problème de conduction de chaleur, les inconnues nodales sont les températures et à partir de celles-ci nous calculons les flux de chaleur dans les éléments.

3.4. Les modèles éléments finis 22

3.4 Les modèles éléments finis

On recense, en générale quatre modèles utilisés dans la méthode des éléments finis. Le plus rependu est celui en déplacement qui est aussi le plus utilisé. Dans ce modèle le but c’est d’ex-primer le déplacement, en tout point d’un solide, ceci est réalisé en formulant le déplacement comme une combinaison linéaire de fonctions de forme. Une matrice de rigidité approximative peut être trouvée pour chaque élément, liant toutes les forces aux déplacements des nœuds. Les déplacements peuvent être par conséquent calculés, ainsi que les contraintes dans l’élément, une fois les déplacements nodaux sont connus. L’approximation du champ de déplacements pour résoudre les problèmes d’élasticité est toujours continue, mais ce n’est en général pas le cas des dérivées partielles de cette approximation. Dans les problèmes pratiques, on désire en général connaître les contraintes, on doit au préalable calculer d’abord les composantes de la déformation et utiliser ensuite les équations de constitution pour calculer ces contraintes. Les dérivées partielles de l’approximation des composantes de déplacement peuvent cependant poser de sérieux problèmes d’interprétation aux valeurs nodales. Les contraintes et les défor-mations seront approximatives et discontinues aux frontières de l’élément. Les déplacements sont approximatifs mais continus aux frontières de l’élément. L’approximation en déplacements minimise l’énergie potentielle totale. Les éléments de déplacement pur sont cinématiquement admissibles, ils assurent la continuité des déplacements à l’intérieur de l’élément et d’un élé-ment à l’autre. Dans ce cas, le champ de contraintes, déduit du champ de déplaceélé-ments, vérifie les équations d’équilibre en moyenne mais pas localement. Les conditions de stationnarité de la fonctionnelle de l’énergie potentielle totale (3.1) forment la formulation faible du problème.

− ˆ ∂Ω t_i· uidS − ˆ Ω f_i· uidΩ+ ˆ Ω ΨdΩ= Π (3.1)

à l’opposé du premier modèle, existe un autre dont le champ est basé sur les forces, il est souvent appelé modèle équilibre. Le principe de ce modèle consiste dans un premier temps à choisir une forme paramétrique simple du champ de contraintes vérifiant les équations diffé-rentielles de l’équilibre. On définit ainsi un ensemble de solutions admissibles. Pour imposer la réciprocité des tractions de surface à la frontière de deux éléments, il est nécessaire de choisir des connecteurs définissant univoquement ces tractions d’interface. Dans un second temps on recherche, dans cet ensemble de solutions, celle qui rend l’énergie potentielle complémentaire totale minimum. Pour cela on annule la variation première de la fonctionnelle (3.2) par rapport

3.5. Approche en déformation 23

aux paramètres définissant le champ de contraintes.

− ˆ ∂Ω u_i· TidS − ˆ Ω u_i· fidΩ+ ˆ Ω Ψ^∗dΩ= Π (3.2)

Le modèle en équilibre n’a pas connu le même succès que le modèle en déplacement, en partie à cause de sa grande complexité. Les éléments du modèle d’équilibre pur sont statiquement admissibles et assurent la continuité de contraintes à l’intérieur de l’élément et d’un élément à l’autre. Le champ de déplacement est déduit du champ de contrainte, où les conditions de compatibilité ne sont vérifiées qu’en moyenne et non localement.

Si on combine les deux modèles précédents, on peut avoir des champs mixtes : déplacement forces. La formulation et la mise au point devient longue et coûteuse ; mais en contrepartie les éléments qui en découlent sont d’excellente qualité. On utilise parfois ce modèle pour corriger certains défauts du modèle de déplacement. Il existe enfin un quatrième modèle qui peut être défini par deux interpolations indépendantes, l’une portant sur le champ intérieur de l’élément, l’autre sur le champ décrivant la frontière. Les paramètres inconnus du champ intérieur sont exprimés en fonction des paramètres nodaux du champ de bord. On cherche à minimiser la différence entre les deux champs. Ces derniers peuvent être du même type (déplacement- dé-placement) ou de types différents (déplacement- contrainte). En général ce modèle donne des résultats meilleurs que le modèle déplacement surtout au niveau des contraintes.

3.5 Approche en déformation

3.5.1 Définition

On commence a choisir d’abord un champ de déformations, puis on passe au champ des dé-placement par intégration. La procédure pour aboutir à la résolution du problème suit ensuite les mêmes étapes que celles du modèle en déplacement. On note ici lors de l’évaluation de la matrice de rigidité, l’intégration est analytique et c’est spécifique à l’approche en déformation. Grace à cette approche on obtient un calcul exact des termes représentant les modes rigides. En fin de compte on doit vérifier les équations de compatibilités :

∂2εi j ∂xk∂xl + ^∂2εkl ∂xi∂xj − ∂2εik ∂xj∂xl − ∂2εjl ∂xi∂xk (3.3)

3.6. Contribution de l’approche en déformation dans l’analyse des structures 24

Les termes des polynômes des champs des déplacements sont d’un ordre élevé malgré la non introduction de degrés de liberté supplémentaires ni de nœuds intermédiaires. Les éléments ba-sés sur la dite approches sont non-conformes mais conduisent généralement à des résultats très encourageants. En plus, la convergence obtenue est rapide, lorsque les résultats sont comparés avec ceux donnés par des éléments basés sur le modèle en déplacement ayant le même nombre de d.d.l.

3.5.2 Avantages du modèle en déformation

L’utilisation du modèle en déformation apporte de nombreux avantages en termes de comporte-ment des structures. En effet, on tire profit des bonnes adaptations pour la description exacte des mouvements : corps rigides et déformations constantes. Ainsi, les éléments développés permet-tront d’augmenter la performance des résultats, avec seulement un nombre limité d’éléments. Les avantages des éléments à modèle en déformation sont ([6,7]) :

— Satisfaction plus facile des deux principaux critères de convergence liés directement aux déformations (mode de déformation constante et mode de corps rigide).

— Découplage plus facile des différentes composantes des déformations (un champ de déplacements découplés engendre des déformations couplées).

— Possibilité d’enrichir le champ des déplacements par des termes d’ordre élevé sans l’in-troduction de nœuds intermédiaires ni de degrés de liberté supplémentaires.

3.6 Contribution de l’approche en déformation dans

l’analyse des structures

Les éléments basés sur la déformation ont de très nombreuses applications, a commencer par les structures courbes, telles que : coques cylindriques, arcs, hémisphères, etc. Comme on peut les retrouver dans les structures planes minces et épaisses, plaque, murs, etc. Le but recherché le plus souvent en choisissant un élément basé sur la déformation parmi d’autres est le gain ap-préciable en matière du nombre d’éléments, et ce, pour un même nombre de noeuds. D’autres applications visent plutôt une augmentation de la fiabilité des éléments. Pour les structures telles que les poutres a parois minces, l’élément utilisé permet d’approcher les solutions analytiques, tout en utilisant un nombre minimum d’éléments. Dans ce cas on emploi des éléments membra-naires basé sur ce modèle, ce qui permet d’améliorer les points faibles de l’élément traditionnel

3.7. Revue de littérature 25

basé sur les déplacements, pour un même nombre de nœuds, à savoir la sur rigidité et là li-néarité à la flexion. L’utilisation de ce modèle peut améliorer plusieurs propriétés. Plusieurs investigations ont d’ailleurs été effectuées dans ce sens. Les conditions d’équilibre et de com-patibilité peuvent être satisfaites selon le type d’élément utilisé. Ce dernier variera en fonction des géométries des structures.

3.7 Revue de littérature

L’approche basée sur la déformation a vu le jour en 1971 à l’université de Cardiff au Royaume Uni. Le souci était de développer des éléments performants avec un nombre réduit de nœuds. Le pari était gagné, et on a vu la naissance de l’une des approches les plus utilisées en sciences de l’ingénieur. Le tout début était avec Ashwell et al [8, 9] qui dans des études uni et bidi-mensionnel sur les structures courbes, circulaires et en coques, ont pu utiliser des fonctions de déformation indépendantes pour développer des éléments avec un nombre réduit et des résultats performants. Sabir et Ashwell [10] dans la même période ont montré l’efficacité des éléments basés sur l’approche en déformation à travers les testes conduits sur les oscillations libres dans le plan des anneaux circulaires. Dans l’année suivante Sabir et Lock [11] dans une analyse des coques cylindriques et au même titre Ashwell [12] améliore ses éléments et aboutit a des résul-tats très encouragent soit pour les déplacements ou pour les contraintes en testant un cylindre pincé libre sur ses cotés. Dans le travail de recherche de ce dernier auteur une analyse sur les arcs circulaires dans le domaine géométriquement non-linéaire a montré que les éléments uti-lisés sont supérieurs aux éléments classiques. Des éléments arcs se déformant hors du plan de courbure [13,14] ont étés développés comme extension des travaux précédents. Les éléments de coques ont eu aussi leur part a travers des travaux [15] pour les charges concentrées et le calcul des contraintes aux voisinages de ces charges, et pour les coques minces soumises a des forces

Dans le document Investigation numérique des problèmes de l’élasticité plane par Élément Fini Rectangulaire basé sur l’approche en déformation (Page 29-48)