Le manuscrit se compose de cinq chapitres et d’une annexe. Apr`es cette introduction sur les probl´ematiques rencontr´ees et les m´ethodes Hybrid High-Order (HH0) dans ce Chapitre1, le Chapitre2est consacr´e `a l’extension des m´ethodes HHO `a la mod´elisation des grandes d´efor- mations hyper´elastiques. Le probl`eme discret est ´ecrit comme r´esultant de la minimisation d’une ´energie ´elastique non-lin´eaire o`u une reconstruction locale du gradient des d´eplacements est utilis´ee. Deux m´ethodes HHO sont consid´er´ees : une m´ethode stabilis´ee o`u le gradient discret est reconstruit dans l’espace des polynˆomes `a valeurs matricielles d’ordre k et une stabilisation est ajout´ee `a la fonctionnelle d’´energie discr`ete, et une m´ethode non-stabilis´ee qui reconstruit un gradient discret stable d’ordre sup´erieur ce qui ´evite l’ajout d’un terme de stabilisation. Les deux m´ethodes v´erifient localement le principe des travaux virtuels avec des tractions ´equilibr´ees. Nous pr´esentons une ´etude num´erique r´ealis´ee dans disk++ des deux m´ethodes sur des solutions analytiques et sur des cas-tests tridimensionnels proches des appli- cations industrielles vis´ees o`u sont pr´esents de fortes bandes de cisaillement et des ph´enom`enes de cavitation. Les r´esultats obtenus sont compar´es `a ceux obtenus avec code_aster pour des m´ethodes conformes. De plus, les coˆuts num´eriques des deux m´ethodes HHO sont compar´es et les deux m´ethodes pr´esentent un comportement robuste `a la limite incompressible. Ce chapitre est issu d’un article publi´e en 2018 chez Computational Mechanics intitul´e “Hybrid High-Order methods for finite deformations of hyperelastic materials” [2].
Le Chapitre 3 se concentre sur le d´eveloppement des m´ethodes HHO pour la plasticit´e associative en petites d´eformations. La m´ethode HHO d´evelopp´ee supporte les maillages poly´edriques avec des interfaces non-conformes, ne verrouille pas, l’int´egration du comporte- ment est r´ealis´ee seulement en des points de quadrature de la cellule, et la matrice tangente
1.6. Plan du manuscrit et contributions 27 de Newton est sym´etrique. La m´ethode v´erifie localement le principe des travaux virtuels avec des tractions ´equilibr´ees. Plusieurs cas-tests bidimensionnels et tridimensionnels issus de la litt´erature sont pr´esent´es en utilisant la librairie disk++. Les r´esultats comprennent des comparaisons avec des solutions analytiques ou des r´esultats obtenus avec code_aster ainsi que des m´ethodes d’´el´ements finis H1-conformes et mixtes. Ce travail peut en outre ˆetre vu
comme la premi`ere extension des m´ethodes Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) `a la plasticit´e en petites d´eformations grˆace au lien ´etroit entre HDG et HHO. Ce chapitre est issu d’un article publi´e en 2019 chez Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer- ing intitul´e “A Hybrid High-Order method for incremental associative plasticity with small deformations” [3].
Le Chapitre 4 porte sur l’extension des m´ethodes HHO d´evelopp´ees pour les petites d´e- formations plastiques aux grandes d´eformations plastiques. Cette extension se fait grˆace `a l’utilisation du formalisme des d´eformations logarithmiques, ce qui permet de r´eutiliser les lois de comportement d´evelopp´ees pour les petites d´eformations plastiques. Comme pour les petites d´eformations, la m´ethode HHO d´evelopp´ee supporte les maillages poly´edriques avec des interfaces non-conformes, ne verrouille pas, l’int´egration du comportement est r´ealis´ee seulement en des points de quadrature de la cellule, et la matrice tangente de Newton est sym´etrique. Une ´etude num´erique en utilisant les logiciels disk++ et code_aster sur des cas-tests bidimensionnels et tridimensionnels issus de la litt´erature. Les comparaisons se font grˆace `a des solutions analytiques ou `a des r´esultats obtenus avec code_aster et des m´ethodes d’´el´ements finis H1-conformes et mixtes. Ce travail peut ´egalement ˆetre vu comme la pre-
mi`ere extension des m´ethodes HDG `a la plasticit´e en grandes d´eformations. Ce chapitre est issu d’un article publi´e en ligne en 2019 chez International Journal for Numerical Methods in Engineering intitul´e “A Hybrid High-Order method for finite plasticity within a logarithmic strain framework” [4].
Le Chapitre 5 pr´esente le couplage entre les m´ethodes Nitsche et HHO pour g´erer le contact unilat´eral avec frottement de Tresca dans le cas de l’´elasticit´e lin´eaire en petites d´e- formations. L’imposition des conditions de contact et de frottement est r´ealis´ee sans ajout de multiplicateur de Lagrange grˆace `a l’approche de Nitsche. Des taux de convergence optimaux en hk+1 sont prouv´es en norme de l’´energie ainsi que la robustesse `a la limite incompressible.
Comme pr´ec´edemment, une impl´ementation dans disk++ est r´ealis´ee ainsi que des compara- isons grˆace `a des solutions analytiques ou `a des r´esultats obtenus avec code_aster pour des probl`eme de contact (le frottement de Tresca n’´etant pas disponible dans code_aster). Enfin, une extension de l’approche de type Nitsche aux probl`emes de la plasticit´e en petites d´eformations est pr´esent´ee. Ce Chapitre est issu d’une collaboration avec Franz Chouly et un article intitul´e “A Hybrid High-Order discretization combined with Nitsche’s method for contact and Tresca friction in small strain elasticity” [62] a ´et´e soumis.
Enfin, l’annexe A pr´esente les principales id´ees pour l’impl´ementation dans code_aster des m´ethodes HHO pour la m´ecanique des solides.
CHAPTER
2
HYBRID HIGH-ORDER METHODS FOR FINITE
DEFORMATIONS OF HYPERELASTIC MATERIALS
Abstract. We devise and evaluate numerically Hybrid High-Order (HHO) methods for hyperelastic materials undergoing finite deformations. The HHO methods use as discrete unknowns piecewise polynomials of order k ≥ 1 on the mesh skeleton, together with cell-based polynomials that can be eliminated locally by static condensation. The discrete problem is written as the minimization of a broken nonlinear elastic energy where a local reconstruction of the displacement gradient is used. Two HHO methods are considered: a stabilized method where the gradient is reconstructed as a tensor-valued polynomial of order k and a stabilization is added to the discrete energy functional, and an unstabilized method which reconstructs a stable higher-order gradient and circumvents the need for stabilization. Both methods satisfy the principle of virtual work locally with equilibrated tractions. We present a numerical study of the two HHO methods on test cases with known solution and on more challenging three-dimensional test cases including finite deformations with strong shear layers and cavitating voids. We assess the computational efficiency of both methods, and we compare our results to those obtained with an industrial software using conforming finite elements and to results from the literature. The two HHO methods exhibit robust behavior in the quasi-incompressible regime.
This chapter is based on a publication in Computational Mechanics entitled “Hybrid High- Order methods for finite deformations of hyperelastic materials” [2].
Sommaire
2.1 Introduction . . . 30