Les enjeux et résultats de chaque chapitre seront bien sûr présentés dans leur in-troduction et rassemblés dans les conclusions, contentons-nous ici de donner une vue d’ensemble de cette thèse sous l’angle des perturbations appliquées. Chacun des ingré-dients d’un modèle que l’on définit est un point où l’on peut étudier les perturbations : – Une première forme de perturbation de la règle locale fait l’objet du chapitre 3.
On y trouve un modèle de percolation dirigée et la discussion d’une conjecture de Grassberger. Le modèle utilisé étudie dans quels cas il est possible de forcer deux instances d’un système à devenir identiques.
– Un effet de l’asynchronisme est étudié au chapitre 4. Dans ce chapitre, le phéno-mène decoalescenceobservé par Fatès est formalisé. Nous démontrons les premières propriétés sur cette classe d’automates, établissons expérimentalement que l’on y rencontre à nouveau la percolation dirigée, puis proposons quelques interprétations en termes de systèmes dynamiques et de simulations numériques.
– Le chapitre5 cherche une validation théorique des phénomènes de percolation di-rigée observée dans les chapitres 3 et4. Pour cela nous proposons une notion de simulation préservant la densité asymptotique et montrons une équivalence selon cette notion entre les automates asynchrones déterministes et une classe d’auto-mates probabilistes. Cette construction repose sur la lecture d’un bit aléatoire dans la suite des mises à jour, lecture effectuée par l’automate.
– Les perturbations de topologie sont le sujet de la partie II. Le chapitre 6 étudie une perturbation en une dimension consistant à couper quelques liens. Cette per-turbation est dynamique, c’est-à-dire qu’elle évolue avec le temps. Nous étudions les interactions de cette perturbation avec la perturbation du synchronisme. Nous observons des comportement non linéaires voir non monotones, une perturbation rendant parfois robuste à l’autre perturbation. Ici encore, il semble qu’il y ait une transition de phase.
– Le chapitre 7compare différentes topologies pour une règle fixée, de façon analy-tique. La comparaison s’effectue sur la structure de l’ensemble limite et l’espérance du temps pour atteindre ce dernier. L’étude porte en particulier sur les arbres où il apparaît des comportements délicats à caractériser. Nous observons également un seuil : pour un degré maximal au moins égal à4, le temps de convergence peut être exponentiel, tandis que pour un degré maximal au plus3, il est polynomial.
Notions utilisées
Ce chapitre présente les notions que nous utiliserons dans plusieurs chapitres de la thèse. Les notions spécifiques à un chapitre seront présentées au moment où elles seront nécessaires. Nous présentons ici les automates cellulaires et leur version asynchrone, puis les transitions de phase et la percolation dirigée.
2.1 Automates cellulaires
Définition 1.Un automate cellulaire est un vecteur(Q, d, V, δ)où – Qest un ensemble fini, l’ensemble desétats;
– d∈N∗ est ladimension;
– V ={v1, . . . , v|V|}, levoisinage, est un ensemble fini de vecteurs de Zd; – δ:Q|V|→Qest la règle de transition.
Pour alléger le discours, nous écrivons désormais « automate » au lieu de « automate cellulaire » en dehors des définitions, résultats, introductions et conclusions.
L’ensemble descellules est soitU :=Zdpour un automate infini, soitU := (Z/nZ)d pour un automate cellulaire fini (i.e. ayant un nombre fini de cellules), où n est la taille de l’automate. Nous utiliserons le plus souvent des automates à une dimension, pour lesquels nsera donc le nombre de cellules.
Certains préfèrent utiliser le terme au pluriel (automates cellulaires) en considérant que chaque cellule est un automate. C’est en effet plus naturel lorsque l’on généralise la topologie : si l’on n’utilise plus la grille régulièreZd ou (Z/nZ)d mais un autre graphe, par exemple un arbre ou un graphe de Cayley, on parle alors deréseau d’automates.
Une configuration définit l’état de chaque cellule, c’est donc une fonction c:U → Q. On utilise souvent des configurations périodiques. En une dimension, la configura-tion a∗ dénote le mot a répété à l’infini, ou bien autant de fois que nécessaire pour atteindrencellules. Par exemple,(01)∗est la configuration 01010101... tandis que0∗ est la configuration ne contenant que des 0.
L’évolution d’un automate cellulaire est la suivante. Étant donnée une configuration c, la configuration suivante c0 est obtenue en appliquant simultanément1 la règle de transitionδ à toutes les cellules :
c0(z) :=δ c(z+v1), . . . , c(z+v|V|) On étend la notation δ aux configurations en posantδ(c) :=c0.
1Nous verrons le cas asynchrone à la section2.1.1. Nous présentons ici le modèle le plus utilisé.
Une partie finie d’une configuration cest unmotif. C’est donc une restriction de la fonction c à un sous-ensemble fini de U. En une dimension, si le sous-ensemble est un intervalle, un motif est une suite finie d’états (encore appeléemot). C’est le seul cas que nous utiliserons.
Un motif de la forme c(z+v1), . . . , c(z+v|V|)est uneconfiguration locale centrée en z.δ est donc une fonction des configurations locales vers les états.
Un motif q1, . . . , qa est un antécédent d’un motif q10, . . . , qb0 si b=a− |V|+ 1 et pour tout entieride l’intervalle J1, bK,δ(qi, . . . , qi+|V|) =q0i :
q10, q02, . . . z }| {
q1, . . . , q|V|, q|V|+1, . . . ,
. . . ,q0b
z }| { qa−|V|+1, . . . , qa
Définition 2 (diagramme espace-temps). Un diagramme espace-temps est une suite de configurations. C’est donc une fonction c(·,·) :U ×N→Q, où c(x, t)est l’état de la cellule x à l’instantt.
Nous emploierons parfois le terme de diagramme espace-temps pour parler d’une suite de configurations dont nous n’avons pas encore prouvé qu’elle respecte la règle d’un automate cellulaire. On parle au contraire d’orbite lorsque le diagramme espace-temps respecte les règles d’un automate. Une orbite est donc intuitivement un « calcul » effectué par l’automate, avec comme entrée la configuration initiale.
Un diagramme espace-temps est la façon habituelle de représenter l’orbite d’un au-tomate à une dimension. On utilise alors deux dimensions : la seconde dimension est utilisée pour le temps. On empile les configurations : chaque configuration est tracée horizontalement au-dessuus de la précédente. Le sens dans lequel on juxtapose les confi-gurations dépend en réalité de l’auteur, nous utiliserons le sens « de bas en haut » assez répandu, ou parfois le sens « de gauche à droite » pour des raisons de mise en page, en le précisant chaque fois que nécessaire. La figure 2.1 donne un exemple de diagramme espace-temps.
Fig. 2.1 – Exemple de diagramme espace-temps. La règle est ici 136 (cf. définition 3), qui signifie « passer dans l’état 0 si mon voisin de droite est dans l’état 0. ». Le temps va de bas en haut.
Nous utiliserons parfois des paires de configurations évoluant en même temps et avec la même règle, le but étant d’étudier les différences entre les configurations. Un diagramme espace-temps est toujours adapté pour représenter ces orbites. Précisément, nous superposons le diagramme espace-temps de chacune des configurations, avec le code couleur suivant (nous n’utiliserons que le cas où il y a deux états :0 et1) :
– clair (blanc ou bleu clair) signifie que la cellule est dans le même état (respective-ment 0 ou 1) dans les deux configurations ;
– foncé (bleu foncé ou violet) signifie que la cellule est dans un état différent entre les deux configurations (il y a deux possibilités :(0,1)et(1,0)).
Le dessin résultant est appelé un diagramme espace-temps d’accord. La figure 2.2 en est un exemple.
Fig. 2.2 – Diagramme espace-temps d’accord de la règle 128(qui signifie « passer dans l’état 0 si au moins un voisin est dans l’état 0»). Il s’agit de la superposition de deux diagrammes espace-temps obéissant à la même règle128, mais pour deux configurations initiales différentes. Voir le corps du texte pour le code couleur.
Définition 3 (Automates cellulaires élémentaires). Les automates cellulaires élé-mentaires sont la classe des automates cellulaires les plus simples :
– Q={0,1}
– d= 1
– V ={−1,0,1}
Compter le nombre d’automates élémentaires est facile : il y a 23 = 8configurations locales possibles. Pour chaque configuration locale, il faut choisir le résultat de la règle, il y a donc 28 = 256règles différentes. En pratique on n’en étudie que 88. En effet,
– Si deux règles δ et δ0 sont identiques modulo une symétrie de la configuration, c’est-à-dire si∀q1, q2, q3 δ(q1, q2, q3) = δ0(q3, q2, q1), alors en connaissant les dia-grammes espaces-temps deδ on peut déduire ceux deδ0 par une simple symétrie.
Cette opération préservant toute les propriétés habituellement étudiées, il n’est donc pas nécessaire d’étudier δ0.
– Si deux règles δ et δ0 sont identiques modulo un échange des deux états 0 et 1, c’est-à-dire si ∀q1, q2, q3 δ(q1, q2, q3) = 1−δ0(1−q1,1−q2,1−q3), alors en connaissant les diagrammes espaces-temps deδ on peut déduire ceux de δ0 par un simple échange des deux états. De même, il n’est alors pas nécessaire d’étudierδ0. En ne gardant qu’un représentant de chaque classe d’équivalence modulo ces deux sy-métries, il reste 88 règles.
Nous utilisons la notation introduite par Wolfram [Wolfram (1983)], qui numérote les règles de0 à255. Dans cette notation, une règle δ est notée par le nombre27δ(1,1,1) + 26δ(1,1,0)+25δ(1,0,1)+24δ(1,0,0)+23δ(0,1,1)+22δ(0,1,0)+21δ(0,0,1)+20δ(0,0,0).
Par exemple, le code de la règle « minorité », c’est-à-dire « passer dans l’état le moins présent dans la configuration locale » est23; il est obtenu en lisant la dernière ligne de la table 2.1comme un nombre en base 2.
Tab.2.1 – Table de transition de la règle23.
configuration locale 111 110 101 100 011 010 001 000
résultat de δ 0 0 0 1 0 1 1 1
2.1.1 Asynchronisme
La perturbation que nous allons le plus étudier est celle du synchronisme. Elle consiste à ne plus mettre à jour toutes les cellules en même temps. Pour noter quelles cellules de U sont mises à jour, on utilise l’ensemble{0,1}U, avec la convention que1représente la mise à jour d’une cellule et 0 une absence de mise à jour. Les éléments de {0,1}U sont donc les différentes façons de choisir une partie des cellules pour les mettre à jour.
Définition 4.Un automate cellulaire asynchrone est un vecteur(Q, d, V, δ, n, µ) où
– Q,d,V,δ sont définis comme pour un automate cellulaire synchrone – µ, la dynamique, est une mesure de probabilité sur{0,1}U.
µest la loi qui permet de tirer au sort, à chaque pas de calcul, un élément de{0,1}U déterminant l’ensemble des cellules à mettre à jour.
L’évolution est alors modifiée de la façon suivante. Soit {M(·, t) |t∈N} une his-toire, c’est-à-dire une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distri-buées telle que chaque fonction M(·, t) : U → {0,1} soit tirée selon la loi µ. Soit c(·, t) la configuration à l’étapet. La configuration au temps t+ 1est définie par
ct+1(x) :=
(ct(x) siMt(x) = 0
δ ct(x+v1), . . . , ct(x+v|V|)
siMt(x) = 1
En d’autres termes, pour chaque cellulex, on applique la règle de transitionδsiM(x, t) = 1 et l’on « gèle » la cellule (on conserve son état) siM(x, t) = 0.
Il y a de nombreuses possibilités pour choisir une loi µ et donc une dynamique asynchrone particulière. Nous utilisons les deux plus classiques [Fatès (2007)], qui sont les suivantes.
La dynamique partiellement asynchrone
Cela consiste à tirer au sort pour chaque cellule si elle va être mise à jour, indépen-damment des autres cellules.
Pour cela, on fixe 0 < α < 1. Chaque cellule est mise à jour avec probabilité α, indépendamment des autres. µ est donc le produit de lois de Bernoulli. En effet, pour m ∈ {0,1}U, notons |m|1 := #{z∈ U |m(z) = 1} le nombre de cellules mises à jour.
Alors µ(m) := α|m|1(1−α)|m|0 (avec par convention 00 = 1). On peut noter que si l’on choisit α = 1, on met à jour toutes les cellules à chaque étape, on obtient donc un automate synchrone. Un automate synchrone est ainsi un cas particulier d’automate asynchrone. La figure2.3est un exemple de diagramme espace-temps pour un automate en dynamique partiellement asynchrone.
La dynamique totalement asynchrone
On appelle souvent ce cas la dynamique séquentielle. Cela consiste, à chaque étape, à tirer au sort une cellule et à la mettre à jour. Cela définitµ(m)comme1/nsi|m|1= 1 et µ(m) := 0 sinon. Cette dynamique peut être vue comme la limite en α → 0 de la dynamique partiellement asynchrone. Elle est également équivalente à la dynamique en temps continu suivante. Chaque cellule est munie d’une horloge, qui décompte le temps avant la prochaine mise à jour. Quand une horloge arrive à 0, sa cellule est mise à jour et l’horloge est réglée sur un temps aléatoire de loi exponentielle. Puisque la loi exponentielle est sans mémoire, on obtient la même loi de probabilité sur les valeurs des
Fig. 2.3 – Diagramme espace-temps de la règle 128 (qui signifie « passer dans l’état 0 si au moins un voisin est 0») en dynamique partiellement asynchrone. α = 0,5 et la configuration initiale a une majorité de 1 (cellules sombres). Les diagrammes espace-temps de tous les automates élémentaires sont disponibles sur http://www.rouquier.
org/jb/recherche/eca, pour diverses valeurs de α.
horloges en faisant un nouveau tirage pourtoutes les horloges chaque fois qu’une cellule est mise à jour. Ce qui revient à tirer au sort la prochaine cellule qui sera mise à jour, puisque avec probabilité1 tous les temps sont différents.
Fig. 2.4 – Diagramme espace-temps d’accord de la règle 170, qui signifie « copier l’état du voisin de gauche ». Le temps va de bas en haut pour50 étapes, n= 50. Les cellules où les deux configurations sont en désaccord sont dessinées sombres, celles où elles sont en accord sont dessinées clair (bleu clair ou blanc selon l’état commun).