a/ pas de coalescence rapide 4, 5,12,13,25, 28, 29,33,36,37, 41, 44,45,51,54, 60,72,73,76,77,78,90, 94,104,105,108,122,132, 140,142,150,156,164,172,200,204,232
b/ coalescence triviale (automate nilpotent)
0,2,8,10,24,32,34,38,40,42,56,74,128,130,134, 136,138,152,160,162,168.
c/ coalescence non triviale 3,19,35,46,154 d/ combinaison de certains
des cas a/, b/ et c/
6, 18, 26, 106,146,50,1, 9, 11, 27, 57, 62, 110, 126, 58
e/ accord ou désaccord total 14,15,23,43,170,178,184 f/ combinaison des cas
précédents
22,30,7
a/ Certaines règles ne coalescent pas (ou prennent pour cela un temps trop long pour que ce soit observable). On peut être un peu plus précis en traçant la densité asymptotique de cellules en désaccordρ∞en fonction de α. Pas de coalescence si-gnifie que cette courbe est toujours au-dessus de zéro. Dans la plupart des cas cette courbe est horizontale, souvent autour de 0,5, légèrement bruitée (figure4.1.a). Ce bruit montre la précision de la mesure, en comparaison avec la figure4.1.b. Cette dernière est la courbe obtenue pour la règle204, qui est l’identité : pour cette règle, la densité asymptotique est la même que la densité initiale, la courbe montre donc la variance due à la configuration initiale.
On note que la règle 150 (figure 4.1.c) fait tendre la densité vers 0,5 : la courbe est moins bruitée. Notons au passage que ce fait semble difficile à prouver. Les figures4.1.d et 4.1.e montrent des exemples où la courbe n’est pas une ligne hori-zontale.
La règle 142 est un cas à part. Nous avons montré à la proposition 7 page 42 qu’elle n’est pas rapidement coalescente. Expérimentalement, il n’y a pas de densité asymptotique : la densité évolue indéfiniment. Il y a cependant des corrélations entre les deux configurations : on observe de larges zones d’accord et de larges zones de désaccord.
b, c/ Certaines règles sont rapidement coalescentes.
a. règle28 b. règle204
c. règle150 d. règle 33
e. règle36 f. règle142
Fig. 4.1 – Densité asymptotique de cellules en désaccord ρ∞(α) pour quelques règles expérimentalement non rapidement coalescentes. L’échelle de chacun des axes est [0; 1].
Le premier cas est le cas typique.
b/ Le cas trivial est celui où la règle converge vers un point fixe unique. On peut alors considérer les deux configurations indépendamment et attendre qu’elles aient chacune atteint ce point fixe. Il y a alors coalescence.
c/ Il y a cinq règles expérimentalement non nilpotentes et coalescentes. Parmi elles, la règle 19 converge particulièrement lentement pourα petit.
d/ Certaines règles combinent les comportements précédents, selon la valeur de α (figure4.2).6,18,26,106,146combinent a/ et b/ ;50combine b/ et c/ ;1,9,11, 27,57,62,110,126combinent a/ et c/ (voir figure 4.4 page52) ; 58 combine a/, b/ et c/.
règle 106 règle 110
règle 57 règle 58
Fig. 4.2 – Densité asymptotique de cellules en désaccord ρ∞(α) pour quelques règles rapidement coalescentes ou non selon α. Le premier cas est le cas le plus courant (50 % des règles). Ces règles, qui subissent une transition de phase, sont étudiées plus avant à la section4.2.2.
e/ Sept règles convergent vers soit l’accord total entre les deux configurations, soit un désaccord total, selon la configuration initiale et les mises à jour. La courbe ρ∞(α) devrait donc être constituée de deux lignes droites, l’une en ρ∞ = 0 et l’autre en ρ∞ = 1. Mais ces règles mettent un temps plus long que les autres à atteindre leur comportement asymptotique, c’est pourquoi la figure est peu précise (figure4.3page suivante). Nous avons vérifié que ce comportement décrit est bien celui observé pour quelques valeurs de α.
Ces règles prennent un temps encore plus long (peut-être même arbitrairement long) à l’approche d’une certaine valeur deα, d’où la figure en « nœud de papillon » (figure4.3.b). Plusα est proche d’une certaine valeur critique, plus la convergence
à partir de ρ = 0,5 est lente. Différentes valeurs critiques de α sont observées : faible α (figure4.3.a),α'0,5 (figure4.3.b) ou ailleurs (figure4.3.c).
a. règle184 b. règle178
c. règle43
Fig. 4.3 – Densité asymptotique de cellules en désaccord ρ∞(α) pour quelques règles convergeant vers accord ou désaccord total, selon α.
f/ Les règles 22 et30 combinent le point précédent (pourα petit) avec le point a/ ; la règle7le combine (pourαpetit) avec c/. On peut noter que la règle30 montre également une densité asymptotique qui varie quand elle effectue une transition entre les points a/ et e/. Mais à cause des difficultés mentionnées au point e/, cette densité n’a pas été mesurée.
4.2.2 Percolation dirigée dans ce modèle
Nous nous concentrons maintenant sur les règles du point d/, qui ont la particularité de coalescer rapidement ou non suivantα. Nous étudions maintenant cette transition de phase.
La percolation dirigée a été présentée à la section 2.2. Les sites actifs sont ici les cellules où les deux configurations sont en désaccord. La densité de tels sites est notée ρ(α, t), ouρ∞(α) pour la densité asymptotique. L’ensemble absorbant est constitué des paires de configurations identiques. La transition (coalescence rapide ou non) apparaît en variant α, voir figure 4.4 page suivante. Le but est donc d’identifier δ puis β sous l’hypothèse ρ∞(α) ∝ |α−αc|β pour un certain αc. Noter qu’il n’y a pas a priori de relation directe entre le taux de synchronismeα et la probabilité qu’un lien soit ouvert p dans le modèle de percolation dirigée.
Fig. 4.4 – Règle 110, n= 200. Le temps va de bas en haut, pendant 200mises à jour.
Les sites où les deux configurations sont en désaccord sont sombres, ceux où les deux sont en accord sont clairs. (il y a deux couleurs claires, blanc pour l’état0, l’autre pour l’état 1). Gauche : régime sous-critique (α= 0,47< αc'0,566), les branches meurent.
Droite : régime sur-critique (α= 0,65> αc), les sites actifs se propagent.
Il nous faut introduire une notation. En effet, certaines règles (9, 58, 110, 126) su-bissent deux transitions de phase, une pour α petit, que nous noterons par un ` (pour low) en indice comme dans9`, une autre pourα grand, notée par unh(high) en indice comme dans9h.
Mesure de αc
Pour mesurer β, nous utilisons la méthode décrite dans [Hinrichsen (2000)] qui re-commande de mesurer d’abordαc avant de faire une régression linéaire pour mesurerβ, au lieu de faire la régression en ajustant α etβ en même temps.
Pour mesurerαc, il s’agit de tracerρ(α, t)en fonction detsur une échelle doublement logarithmique et d’ajuster α pour obtenir une ligne droite (pour α < αc, la densité ρ(α, t) tombe à zéro plus rapidement qu’une ligne droite, pour α > αc, elle rejoint une asymptote horizontale strictement positive.).
La pente de la ligne est δ. Les mesures deδ sont portées dans le même tableau que celles deβ (table4.6page54).
Concernant les paramètres, la configuration initiale est aléatoire (uniformément dis-tribuée) et l’on vérifie donc entre deux lancers qu’elle n’a pas d’influence. Pour atteindre la précision actuelle, jusqu’à n= 106 cellules et 107 étapes ont été nécessaires. Les ré-sultats sont dans la table4.5page ci-contre. On peut remarquer queαcpour les règles1 et 126`, de même que pour 9` et 110`, sont très proches, et sans doute égaux. Noter aussi la nécessité d’échantillonner α le plus largement possible, en effet le seuil αc pour les règles 6 et11est proche de 0 ou1.
Tab. 4.5 – Valeurs de αc pour les règles ayant une transition de phase (rappelons que