Plan de Bessel (b-plane ou target plane)

(pas de temps variable), il est alors n´ecessaire de lui imposer un pas de temps t dans le cas o`u

T ≥ t. Autrement dit, il faut forcer l’int´egrateur `a ralentir son pas afin d’atteindre le mimimum de distance avec le maximum de pr´ecision.

Je pr´esente dans le tableau 5.1 les prochaines distances d’approche sur un si`ecle entre Apophis et la Terre en utilisant les observations faites entre 2004 et 2008, telles que pr´esent´ees au MPC. Seules les distances inf´erieures `a 0.1 UA sont pr´esent´ees dans le tableau.

TAB. 5.1 – Minimum de distance entre Apophis et la Terre sur un si`ecle. Durant cette p´eriode, Apophis croisera aussi V´enus `a une distance∼ 0.08 UA

Plan`ete Ann´ee Mois Jour Heure (TT) Distance ∆ [UA]

Terre 2013 1 9 11 :44 0.096661 Terre 2029 4 13 21 :46 0.000254 Terre 2044 8 30 09 :53 0.068793 Terre 2051 4 23 03 :54 0.053649 Terre 2066 9 13 21 :23 0.037389 Terre 2080 5 17 00 :14 0.097029 Terre 2087 4 10 02 :43 0.057356 Terre 2102 9 12 18 :08 0.022311

5.1.2 Plan de Bessel (b-plane ou target plane) ¨

Opik commenc¸a `a d´evelopper une th´eorie des rencontres proches [Opik<sup>¨</sup> , 1951, 1976] il y a pr`es de 50 ans en ayant une approche d’un probl`eme `a deux corps ”par morceaux” : l’ast´ero¨ıde (mais cela peut aussi ˆetre une com`ete ou un m´et´eoro¨ıde) a une orbite elliptique jusqu’`a ce qu’il rentre dans la sph`ere d’influence d’une plan`ete. `A cet instant, s’enclenche une dynamique de probl`eme `a deux corps o`u l’orbite plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde sera toujours, dans cette approximation, une orbite hyperbolique. Ensuite, les formules standards sont appliqu´ees afin de d´eterminer les conditions initiales de la nouvelle orbite elliptique apr`es cette rencontre proche.

`

A l’instant de la rencontre proche, il est possible de repr´esenter l’´etat de l’ast´ero¨ıde dans un rep`ere plan´etocentrique dont les coordonn´ees sont exprim´ees dans un plan appel´e plan de Bessel (b-plane ou target plane).

Soit un rep`ere (XYZ) centr´e sur la plan`ete tel que l’axe Y coincide avec la direction du mouvement de la plan`ete et le Soleil est dans la direction des X n´egatifs (Fig. 5.1).

Si on note d’autre part V, les composantes de la vitesse plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde alors les coordonn´ees dans le rep`ere (XYZ) du vecteur vitesse de la trajectoire asymptotique de l’ast´ero¨ıde seront :   VX VY VZ  =   Vsinθ sin φ Vcosθ Vsinθ cos φ   (5.1)

FIG. 5.1 – Rep`ere XYZ centr´ee sur la plan`ete. Le vecteur V d´etermine la vitesse plan´etocentrique de l’ast´ero¨ıde.

avec les anglesθ et φ , tels que :  cosθ = VY/V sinθ =√ V2 X +V2 Z  et  cosφ = VZ/√ V2 X +V2 Z sinφ = VX/√ V2 X+V2 Z  (5.2)

Le plan de Bessel [Valsecchi et al.,2003,Milani et al.,2002] est construit de telle sorte qu’il passe par le centre de la plan`ete et est perpendiculaire `a la vitesse plan´etocentrique V de l’ast´ero¨ıde. Un syst`eme de r´ef´erence (ξ ,η,ζ ) est construit tel que l’axe n´egatif des ζ soit align´e dans la direc-tion oppos´e au projet´e dans le plan de Bessel de la vitesse h´eliocentrique de la Terre. L’axe positif desη est port´e par la direction de la vitesse V et l’axe positif des ξ compl`ete le tri`edre. En utilisant ces d´efinitions, il est alors possbile de passer du rep`ere plan´etocentrique (XYZ) au rep`ere du b-plane (ξ ,η,ζ ) en effectuant une premi`ere rotation d’angle −φ autour de l’axe Y puis une deuxi`eme rotation d’angle−θ autour de l’axe ζ . En notation matricielle, les coordonn´ees plan´etocentriques (ξ ,η,ζ ) s’´ecrivent donc :   ξ η ζ  = Rξ(−θ)RY(−φ)   X Y Z   (5.3) avec Rξ(−θ)RY(−φ) =   cosφ 0 −sinφ

sinφ sin θ cosθ cosφ sin θ sinφ cos θ −sinθ cosφ cosθ



 (5.4)

Par cons´equent, les coordonn´ees (ξ ,ζ ) appartiennent au plan de Bessel (fig. 5.2). Si l’ast´ero¨ıde est en avance ou en retard de ∆t sur la date T0de la rencontre (arrivant alors `a la date T1= T0+ ∆t), seule la coordonn´eeζ sera modifi´ee (fig. 5.3). En effet, si on consid`ere les mouvements des deux corps comme rectilignes pendant le temps ∆t, alors le centre du plan de Bessel aura boug´e, vu que la Terre aura boug´e. Alors, d’apr`es la construction de l’axe desζ , un d´eplacement de la Terre (suivant l’axe n´egatif desζ ) va entraˆıner un d´eplacement de la position A suivant l’axe positif des ζ .

FIG. 5.2 – Plan de Bessel. V repr´esente le vecteur vitesse g´eocentrique de l’ast´ero¨ıde, VEarth le vecteur vitesse h´eliocentrique de la Terre et A repr´esente la position de l’ast´ero¨ıde.

FIG. 5.3 – Influence du retard ou de l’avance de l’ast´ero¨ıde, lors de la recontre proche, sur les coordonn´ees (ξ ,ζ ). (− − −) represente la projection de la position de l’ast´ero¨ıde dans le plan de Bessel sur l’axe horizontale qui est exactement le MOID.

D’autre part, l’axe desξ est dirig´e le long du plus petit segment reliant l’orbite de la Terre et de l’ast´ero¨ıde. En effet, toujours dans l’approximation lin´eaire, on sait que ce plus petit segment est perpendiculaire aux deux orbites. Or, par construction, l’axe desξ est orthogonal `a celui des η qui est parall`ele `a la vitesse g´eocentrique de l’objet. D’autre part, l’axe desξ est `a la fois orthogonal aux projections de la vitesse de la Terre sur l’axe desη et ζ . Par cons´equent, la coordonn´ee ξ est par d´efinition ´egale au MOID de l’ast´ero¨ıde qui reste invariant pendant un temps ∆t. On aura donc pour les deux coordonn´ees :



ξ (T0+ ∆t) = ξ (T0) ζ (T0+ ∆t) = ζ (T1)

La plus petite distance ∆ entre l’ast´ero¨ıde et la terre est d´etermin´ee par :

∆ =pξ2+ ζ2 (5.5)

proche entre un ast´ero¨ıde et la Terre : le MOID et le temps d’arriv´ee.

Dans l’approximation `a deux corps, on peut considerer que la d´eviation de l’ast´ero¨ıde est quasi-instantan´ee. L’angle de d´eviation entre la trajectoire non perturb´ee (asymptotique) et la trajectoire d´evi´ee, not´eeγ est telle que :

tanγ = ^{G M⊕}

b v2 0

(5.6)

o`u G est la constante de gravitation universelle, M<sub>⊕</sub> la masse de la Terre, b le param`etre d’impact et v0la vitesse asymtotique de l’ast´ero¨ıde lorsqu’il rentre dans la sph`ere d’influence de la plan`ete. La norme de la vitesse v0avant et apr`es le passage proche reste inchang´ee mais sa direction n’est plus la mˆeme.