Phase d’encodage par décomposition physique du système : les configu-

configurations locales

Cette partie propose de caractériser les sections critiques par leur comportement local, en analysant plus spécifiquement leur tendance à propager, catalyser et étendre la congestion. Dans ce but, les configurations locales d’état sont introduites comme un moyen de saisir simultanément les variations d’états de la section l au regard de celles observées chez ses pères et fils. Comme l’illustre la Figure 4.1, les pères (respectivement fils) se composent des sections directement atteignables en aval (respectivement en amont) de la section l. Il est donc supposé que les sections critiques se distinguent par des motifs spécifiques au sein des relations spatio-temporelles les liant à leur voisinage direct et caractérisant l’étendue de leur zone d’influence.

Lien L Pères

Fils

Propagation du flux Propagation de la congestion (vitesse)

(τ_f1, w_f1) (τ_f2, w_f2) (τ_s2, w_s2) (τ_s1, w_s1) f₁ f₂ s₂ s₁

Fig. 4.1.: Représentation du fonctionnement local autour d’une section : identification des pères et fils.

4.2.1.1 Analyse du système local

Le problème est perçu sous l’angle général de la propagation d’un signal à travers un ensemble de liens interconnectés et dépendants. Du fait de la propagation du flux d’information, il est supposé que l’état Zl

tsur le lien l est influencé par ses pères ({f, f ∈[1, F ]}, où F est le nombre de liens directement en aval de l) et possède un impact sur ses S fils ({s, s ∈[1, S]}) avec des décalages temporels τ à estimer. Au-delà des retards temporels mesurés pour chacun des pères et fils, une pondération wconf ig est associée à tout père (respectivement fils) et représente leur contribution à l’information transmise (respectivement redistribuée). La mesure optimale des

paramètres τ et wconf ig propres à chacune des sections du voisinage nécessite la maximisation de la corrélation croisée entre la section l et ses pères ou fils définie par :

Z_t^l? Z_t−τ^f =^Z Z_t^l(Zf t−τ)∗dt

pour tout père f avec un décalage négatif τ et, respectivement, par :

Z_t^l? Z_t+τ^s =^Z Z_t^l(Zs t+τ)∗dt

pour tout fils s avec un décalage temporel positif τ .

La corrélation croisée estime la puissance de la relation statistique liant les états expérimentés par le lien l et ceux associés à un père ou fils avec un retard τ . Les valeurs optimales pour tout père ou fils sont donc obtenues en faisant varier la valeur du retard τ en vue de maximiser la corrélation. Les expressions des paramètres optimaux prennent les formes suivantes :

∀f ∈[1, F ],            τ_f = arg maxτ(Zl t? Z_t−τ^f ) w_f^{conf ig} = ^Zt^l? Z_t−τ^f _f F P i=1 Zl t? Zi t−τi et ∀s ∈[1, S],          τs = arg maxτ(Zl t? Z_t+τ^s ) w_s^{conf ig} = ^Zt^l? Zs t+τs S P i=1 Zl t? Zi t+τi

Bien que les contributions et retards temporels puissent être variables lors de transitions d’état congestionné à fluide, ces paramètres sont supposés stationnaires dans cette étude.

4.2.1.2 Encodage des configurations d’état

Résultant de l’analyse par corrélation croisée, la modélisation locale des relations liant une section l et son voisinage immédiat est perçue suivant trois étapes transparaissant en Figure 4.2 :

1. le lien l reçoit, à l’instant t, un signal résultant de l’ensemble des signaux émis par ses pères aux instants antérieurs t − τ_f;

2. le signal reçu par le lien l est légèrement altéré par les contraintes exercées sur la section ; 3. le lien l redistibue un signal à chacun de ses S fils avec un retard τ_set contribue à leur

signal avec un poids wconf ig s .

Cette modélisation pose les bases de la détermination de configurations locales. L’objectif d’une configuration locale vise à proposer une représentation agrégée de l’évolution du signal expérimenté à l’instant t par la section l en la mettant au regard de celui reçu par ses sections

Signal Originel Modification due au père f

Modification due au lien l Modification due au fils s

Temps t Temps t+τs Temps t-τf

τ_f

τ_s

Ajustement temporel

Signaux Observés Signaux pré-configurés

Père f Lien l Fils s ^C on fig ura tio n à l’i nst an t t

Fig. 4.2.: Illustration de la modélisation locale aboutissant au concept de configuration d’état.

voisines. La mesure simultanée de l’évolution du signal se voit alors caractérisée à tout instant par le triplet δl= (δF athers, δLink, δSons) défini par :

             δF athers(t) = P^F f =1 w^{conf ig}_f (Zf t−τf − Z_t−τ^f f−1) δLink(t) = (Zl t− Zl t−1) δ_Sons(t) = P^S s=1 w_s^{conf ig}(Zs t+τs− Zs t+τs−1) (4.1)

À tout instant t, il est désormais possible de déterminer si la variation de signal observée sur la section l résulte des pères et si elle transmet ces variations à ses fils. L’encodage des configurations d’état consiste alors en une phase de discrétisation de la variable δlen r parties.

N_C = r3 configurations potentielles d’état en découlent. Cette discrétisation vise à réduire le triplet à la seule dimension des configurations et à fournir une interprétation manipulable et simplifiée des phénomènes se produisant. Pour des raisons de simplicité, le cas r= 2 faisant intervenir une discrétisation binaire est introduit dans un premier temps. La discrétisation de

δlen un triplet binaire ∆l identifie les variations négatives du signal marquant une diminution de la variable d’intérêt et donc une détérioration des conditions de propagation :

      

∆_{F athers}(t) = 1 si δF athers(t) < 0, 0 sinon ∆_Link(t) = 1 si δ_Link(t) < 0, 0 sinon ∆_Sons(t) = 1 si δ_Sons(t) < 0, 0 sinon

(4.2)

À tout instant t, la configuration de la section l, notée c_t,l est totalement définie par le triplet ∆_l(t) = c, où c ∈ [1, NC] est un indice de configuration. Comme illustré en Figure 4.3, huit

(NC = 23) configurations potentielles d’état résultent de la discrétisation binaire.

L’ultime étape consiste à regrouper ces configurations expérimentées par la section l par période de temps tp afin de saisir la dynamique l’animant sur cette même période. En effet, la dynamique et l’agencement des configurations expérimentées par la section durant une période est plus à même de caractériser son comportement. L’apparition d’une configuration à un instant donné peut n’être que passagère et requiert la connaissance des états futurs de ses fils. Elle ne peut, à elle seule, caractériser le comportement de la section. En vue d’assurer une bonne caractérisation des motifs, le jeu d’apprentissage est partagé en T P périodes temporelles homogènes. La durée et le mode de sélection des périodes temporelles dépendent des dynamiques du réseau à découvrir et intègrent des connaissances spécifiques au domaine. Le comportement local d’une section l durant la période temporelle tp est alors caractérisé par Φ_tp,l, la distribution de probabilité sur les N_C configurations possibles. Ces distributions sur les configurations d’état alimentent l’algorithme de classification visant à faire ressortir des motifs latents de distribution correspondant à des comportements typiques. Les performances associées à chacun de ces motifs sont alors testées afin de reconnaître la typologie associée aux sections critiques. Outre ce rôle de définition du critère de criticité, ces distributions sur les configurations sont appliquées pour déterminer les sections critiques pour toute nouvelle période de temps considérée.

    Lien L Pères Fils

Δ

(t)

Δ

(t)

Δ

(t)

Distribu)on  pour  le  lien  l  sur  les   configura)ons  durant  tp  (période  

de  pic  du  ma-n  par  exemple)  

densité Indice de configuration Configura)on  c   1   2   3   4   5   6   7   8   Δ_Fathers  (t)   0   1   0   1   0   1   0   1   Δ_Link(t)   0   0   1   1   0   0   1   1   Δ_Sons  (t)   0   0   0   0   1   1   1   1  

Φ

Fig. 4.3.:Illustration du procédé d’encodage et de distribution de configurations.

L’application de la modélisation locale, puis de l’encodage au domaine spécifique du trafic est dépendante de l’indicateur de trafic considéré :

– En tant que signal, le flux de véhicules se propage de l’amont vers l’aval, donc des fils vers les pères.

– Comme un signal se réfléchissant sur un obstacle, la congestion apparaît quand la demande locale est plus élevée que l’offre et se propage vers l’amont : des pères vers les fils. La vitesse, traduisant l’effet de la congestion, se propage elle aussi d’aval en amont.

La caractéristique de trafic connue étant la vitesse moyenne spatiale, le signal considéré se propage donc de l’aval vers l’amont. Les pères expérimentent les variations de signal avant les fils.

En vue d’assurer une bonne définition des distributions considérées et simplifier l’appréhension du concept, les périodes de temps doivent être suffisamment étendues pour assurer la significa-tivité des distributions. Un découpage en T P = 4 périodes régulant une journée (nuit, pic du matin, midi et pic du soir) est envisageable. Seules les dynamiques de ces périodes temporelles seraient alors dépeintes.

4.2.2 Phase d’identification et de tri des motifs latents à partir de l’Allocation