CHAPITRE I : ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE
B. Cavitation gazeuse
IV. Théorie de Rayleigh-Plesset – Dynamique de la bulle
IV.1 Phénomène de cavitation à bulles
La cavitation concerne généralement l’évolution du rayon de la bulle supposée sphérique. L’origine de l’apparition de la cavitation dans un écoulement est la présence des
germes qui sont constitués par des occlusions gazeuses que peut contenir un liquide et qui peuvent être sous forme de bulles libres, particules gazeuses accrochées à des impuretés
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solides en suspension, ou piégées dans les anfractuosités de parois solides. Le problème se
ramène à l’étude de la bulle unique. Le modèle de la bulle sphérique permet de bien mettre en évidence la nature du phénomène. L’équation de Rayleigh-Plesset permet de déterminer le
rayon de la bulle [48]. Le champ de pression considéré ne tient pas compte du phénomène de la cavitation.
La modélisation du processus de la cavitation a été proposée par Parkin [49]. La
cavitation se produit à partir de petits germes contenant de l’air et / ou de la vapeur d’eau
initialement de faible volume dans le liquide et qui commence à agrandir jusqu’à une valeur considérable.
L’effet de la cavitation sur les hélices des navires maritimes étaient l’une des principales
préoccupations de Rayleigh [50]. Dans ses recherches, une étude exhaustive l’a conduit à fonder une théorie qui lui a permis de prédire le comportement dynamique des bulles. Cette
théorie devient après, une base pour l’étude des modèles récents. Jusqu’aux années 90, des
études se sont intéressées à la minimisation des endommagements apportés aux matériaux à cause de la cavitation. En se basant sur le modèle de la bulle unique, des études ont été faites, parmi lesquels, le modèle fondé par Rayleigh [50], qui a été amélioré par Plesset [51], Plesset et Prosperetti [52], Prosperetti [53, 54], Prosperetti et al. [55], et Neppiras [56], dont l’effet de
la compressibilité du liquide a été négligé. Ce modèle s’intéressait à la dynamique de la bulle qui se trouve dans un milieu liquide infini. La détermination expérimentale de l’évolution
temporelle du rayon de la bulle a permis à Gaitan et al. [57] de confirmer les prévisions
théoriques concernant le comportement dynamique de la bulle déterminé par l’équation de
Rayleigh-Plesset. Les modèles pris par Kamath [58] et Prosperetti et al. [55], considèrent que
la pression intérieure de la bulle est constante, le transfert de masse à travers l’interface de la
bulle est négligeable. Ceci est lié essentiellement à la faible diffusivité de l’air contenu dans la
cavité vers le liquide. Pour l’étude de l’équilibre de la bulle, la masse d’air contenue dans la
cavité est considérée avec une bonne approximation, constante. La rapidité du processus des transformations permet de négliger l’échange thermique entre la bulle et le milieu extérieur, ce qui permet de considérer que la transformation est adiabatique, ou considérer une transformation isotherme dans le cas où la température est supposée constante.
En considérant les conditions d’équilibre de l’interface de la bulle, et en supposant que
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contenant du gaz et de la vapeur, et qui se trouve dans un liquide infini, est assurée pour une valeur critique du rayon de la bulle. Ce rayon critique lui correspond une pression critique appelée aussi seuil de cavitation, et qui est fonction du rayon initial du germe, de la pression
du gaz et de la tension superficielle. Rayleigh a introduit l’effet dynamique de la bulle. Son équation qui est connue sous le nom de l’équation de Rayleigh-Plesset, est le modèle mathématique le plus utilisé pour décrire l’évolution et le collapsus de la cavité sphérique
dans un liquide infini.
L’équilibre de l’interface de la bulle est établi d’une part, par la somme de la pression
P∞ exercée par le liquide extérieur provoquant l’effondrement de la bulle et le terme de
tension de surface2𝜎0/𝑅, d’autre part sous la pression à l’intérieure à la bulle qui est la
somme des pressions partielles du gaz 𝑃𝑔 se trouvant dans la bulle [2] et de la vapeur saturante 𝑃𝑣 dépendant uniquement de la température [21].
L’équilibre de la bulle s’écrit :
𝑃∞+2𝜎0
𝑅 = 𝑃𝑔+ 𝑃𝑣
Figure I- 10 : Bulle sphérique dans un liquide infini
Les hypothèses suivantes sont prises en compte.
Surface de la bulle Vapeur/Gaz Pb(t), Tb(t) R(t) r U(r,t) T(r,t) Liquide Loin de la bulle P∞(t), T∞
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La bulle est sphérique.
La masse du gaz incondensable dans la bulle est constante.
Le gaz supposé parfait, suit une transformation isotherme.
Le développement et l’effondrement de la bulle ont été largement étudiés par Rayleigh [50] à
partir de formalisme mathématique avec les hypothèses suivantes :
La bulle considérée isolée et située dans un liquide à comportement Newtonien occupant un domaine grand par rapport à la dimension de l’inclusion.
La bulle renferme de la vapeur et le gaz contenant des impuretés.
La bulle est supposée garder la forme sphérique tout au long de son développement et son effondrement.
Le liquide est supposé de masse volumique, de viscosité et à température, constantes et uniformes.
L’étude de Rayleigh-Plesset a permis de décrire l’évolution temporelle du rayon de la
bulle placée dans un champ de pression variable et dans un liquide de dimensions infinies [59]. L’équation simplifiée représente l’équilibre de l’interface de la bulle soumise à la
pression du milieu liquide à l’extérieur de la bulle et le gaz contenu à l’intérieur. La pression partielle du gaz à l’intérieur de la bulle est : 𝑃𝑔 = 𝑃𝑔0(𝑅0
𝑅) 3
avec 𝑃𝑔0 et 𝑅0
sont respectivement, la pression et le rayon de la bulle à t = 0. On voit clairement que la pression du gaz dans la bulle est inversement proportionnelle à son rayon.
L’expression de la pression dans le liquide extérieur est donc : 𝑃∞= 𝑃𝑔0(𝑅0
𝑅) 3
+ 𝑃𝑣−2𝜎0 𝑅
On représente dans la figure I-11 l’évolution de la pression dans le liquide pour deux germes différents. La courbe située au-dessus correspond aux bulles à quantité de gaz supérieure à celle située en bas.
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Figure I-11 : Bulle en équilibre stable et instable en fonction de la pression pour différentes masses de gaz [27]
La figure I-11 représente un processus isotherme de la bulle pour différentes quantités de gaz. La pression est inversement proportionnelle au volume et le facteur de proportionnalité dépend de la quantité du gaz dont dépond la pression partielle 𝑃𝑔0. Chaque courbe est caractérisée par un rayon critique qui minimise la pression du fluide. Ce rayon critique a été identifié par Blake [60] et par la suite par Neppiras et Noltingk [61] et qui
correspond à une pression critique donnant lieu à l’apparition de cavitation.
L’ensemble des points correspondant au rayon minimal décrit une courbe représentée
dans la figure et qui divise le plan du diagramme en deux parties : la partie gauche correspond
à la stabilité de la bulle, quant à l’autre partie, elle correspond à son instabilité.
Lorsqu’un germe traverse une zone dépressionnaire, il peut avoir deux comportements
distincts selon la valeur de sa pression critique.
Si la pression minimale de cette zone est supérieure à la pression critique du germe, celui-ci grossit et revient à son état initial. Le germe a donc un comportement stable, c’est la zone située à la partie gauche de la courbe, la stabilité du germe est assurée par les forces de
pression du gaz qui s’opposent à la diminution du rayon du germe que la tension superficielle tend à provoquer. Le germe a donc une tendance naturelle à retrouver son état d’équilibre.
𝑃∞
𝑃𝑉
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Si la pression minimale est cette fois-ci inférieure à la pression critique du germe, son
volume croit donc rapidement jusqu’à ce qu’il atteint la forme d’une bulle de taille
macroscopique. Le germe aura un comportement instable et sera donc activé par nucléation, on a phénomène de cavitation à bulles. C’est la zone instable située à la partie droite de la courbe.
L’expression du rayon critique de la bulle en fonction de son rayon initial est :
𝑅𝑐 = 𝑅0 √ 3𝑃𝑔0 2𝜎0/𝑅0
Dont la pression critique correspondante est :
𝑃𝑐 = 𝑃𝑣 − 4𝜎0 3𝑅𝑐
De cette expression, on voit l’écart exprimé entre la pression réelle d’apparition de la cavitation et la pression de vapeur du liquide. Cet écart diminue pour une augmentation du rayon critique de la bulle, soit une augmentation de la quantité de germes dans la bulle. De ceci on peut conclure que pour une augmentation du rayon de la bulle, le liquide perd sa
cohésion. La pression critique s’approche de la valeur de la pression de vapeur, ce qui permet
une prédisposition au phénomène de cavitation. Alors que pour des faibles noyaux, la pression critique se trouve plus basse que la pression de vapeur et le liquide aura une cohésion
plus forte. On aura donc une difficulté à l’apparition de la cavitation. L’apparition de la
cavitation est largement liée à la taille des germes présents dans le liquide.