3.5 Une m´ethode de perturbation
3.5.3 Perturbation
On vient de d´efinir l’´equation d’´equilibre d’un ´el´ement plaque. On souhaite d´esormais observer la r´eaction de l’´equilibre constitu´e des ´equations 3.98 `a une perturbation du syst`eme. Pour cela, on perturbe les variables φα et f de la mani`ere suivante :
φα = φ0α+ δφα (3.99) f = f0+ δf (3.100) o`u φ0αet f correspondent `a l’´equilibre de pr´eflambage. On n´eglige les perturbations d’ordre 2. Les ´equations perturb´ees deviennent alors :
f,αβδφβ+ δf,αβφβ+ N αβ
0 δ ˙φβ − Gαβγκδ ˙φγ,κβ = 0 (3.101)
En l’absence d’indication sur la g´eom´etrie de la plaque et sur les conditions au bord, il est pour l’instant impossible d’identifier la forme des perturbations. Nous allons d´esormais traiter un cas simple afin de v´erifier la justesse de la m´ethodologie d´evelopp´ee.
Application : Cas d’une plaque en compression uniaxiale On consid`ere une plaque soumise `a un chargement tel que :
N110 = −P < 0 (3.102) N220 = 0 (3.103) N120 = 0 (3.104)
On se place dans un cas sans d´echarge (i.e. ˙P > 0) : f0 ,22 = N˙110 =− ˙P < 0 (3.105) f,110 = N˙220 = 0 (3.106) −f0 ,12 = N˙120 = 0 (3.107)
On consid`ere que l’´etat de pr´eflambage est tel que :
φ01 = φ02 = 0 (3.108) ˙φ01 = ˙φ02 = 0 (3.109) L’´equation 3.101 se r´esume alors `a :
N110δ ˙φ1− G1βγκδ ˙φ
γ,κβ = 0 (3.110)
f,220 δφ2− G2βγκδ ˙φγ,κβ = 0 (3.111) Hypoth`ese 63 On suppose que les perturbations sont constitu´ees d’une partie temporelle
et d’une partie spatiale de la forme δX = δX0g
X(x1, x2) h(t).
Hypoth`ese 64 La partie temporelle de la perturbation est suppos´ee exponentielle : h(t) = eηt.
Moyennant les hypoth`eses pr´ec´edentes, la relation entre la perturbation en rotation et sa d´eriv´ee temporelle est donn´ee par :
δ ˙φ2 = ηδφ2 (3.112) Hypoth`ese 65 Le tenseur G est suppos´e sym´etrique tel que Gijkl = Gklij = Gjikl =
Gijlk. Et de plus, on suppose que :
3.5. Une m´ethode de perturbation
Ces hypoth`eses ne sont pas irr´ealistes puisque c’est la forme la plus couramment observ´ee pour le tenseur G.
En utilisant les hypoth`eses formul´ees sur le tenseur G, les formules d´evelopp´ees des ´equations 3.110 et 3.111 s’´ecrivent : −N110δ ˙φ1+ G1111δ ˙φ1,11+ G1212δ ˙φ1,22+ G1221+ G1122 δ ˙φ2,12 = 0 (3.114) −f 0 ,22 η δ ˙φ2+ G 2112+ G2211 δ ˙φ 1,12+ G2121δ ˙φ2,11+ G2222δ ˙φ2,22 = 0 (3.115)
Notation 66 La plaque est de longueur a et de largeur b. Le rep`ere est tel que tout point
de la plaque v´erifie x1 ∈ [0, a] et x2 ∈ [0, b].
On consid`ere que les perturbations en moments (et par cons´equent en vitesses de rotation) v´erifient les conditions de bord suivantes :
δM22 0, x2 = 0 (3.116)
δM11 x1, 0 = 0 (3.117)
δM22 a, x2 = 0 (3.118)
δM11 x1, b = 0 (3.119)
On d´eduit des conditions ci-dessus la forme des perturbations en rotation : δ ˙φ1 = δ ˙φ01cos 2πmx 1 a sin 2πnx2 b h (t) (3.120) δ ˙φ2 = δ ˙φ02sin 2πmx 1 a cos 2πnx2 b h (t) (3.121) Notation 67 On note µ et ν les variables telles que µ = 2πma et ν = 2πnb .
Notation 68 On note gmn
1 (x1, x2) et g2mn(x1, x2) les fonctions d´efinies par :
g1mn x1, x2 = cos µx1 sin νx2 (3.122) g2mn x1, x2 = sin µx1 cos νx2 (3.123)
On injecte les perturbations 3.120 et 3.121 dans (3.114, 3.115), on obtient en simpli- fiant par h (t) : g1mn −µ2G1111− ν2G1212+ P δ ˙φ0 1− νµ G1212+ G1122 δ ˙φ 0 2 = 0 (3.124) −g2mn µν G1212+ G1122 δ ˙φ 0 1+ µ2G1212+ ν2G2222− ˙ P η δ ˙φ 0 2 = 0 (3.125)
On recherche une solution non triviale de ce syst`eme. En l’´ecrivant sous forme matricielle, cela reviendrait `a chercher la singularit´e de la matrice. On doit alors r´esoudre l’´equation suivante :
η µ2G1212+ ν2G2222 − ˙P µ2G1111+ ν2G1212− P = ην2µ2 G1212+ G1122 2
(3.126) On peut en d´eduire la valeur du param`etre η :
η = P (µ˙
2G1111+ ν2G1212− P )
(µ2G1212+ ν2G2222) (µ2G1111+ ν2G1212− P ) − ν2µ2(G1212+ G1122)2 (3.127)
Dans le cas d’un chargement statique, c’est-`a-dire ˙P = 0, l’´equation 3.126 indique que la contrainte g´en´eralis´ee critique vaut :
Pstatcr = µ2G1111+ ν2G1212 − ν
2µ2(G1212+ G1122)2
(µ2G1212+ ν2G2222) (3.128)
Dans le cas d’un chargement croissant, on cherche les valeurs de P telles que l’´equilibre de la plaque soit instable. On rappelle qu’il y a instabilit´e absolue lorsque Re(η) > 0. Une premi`ere analyse du param`etre η indique qu’il est ind´etermin´e en P = P∞ o`u P∞ est solution de :
3.5. Une m´ethode de perturbation
P∞ est d´efini par :
P∞= µ2G1111+ ν2G1212 −ν
2µ2(G1212 + G1122)2
(µ2G1212+ ν2G2222) (3.130)
Le param`etre η s’annule pour P = Pcrit
0 o`u P0crit est d´efini par :
P0crit= µ2G1111+ ν2G1212 (3.131) On v´erifie rapidement que, sous chargement croissant, c’est-`a-dire pour ˙P > 0, η est strictement positif pour tout P ∈ [0, P∞[ ∪ ]Pcrit
0 , +∞[.
On remarque que η P
<
→P∞
−→ +∞.
Le mode d’instabilit´e associ´e `a la valeur P∞correspond au mode d’instabilit´e le plus
rapide. Ce mode est appell´e pour la suite mode d’instabilit´e infinie. La valeur P∞ est choisie comme crit`ere d’instabilit´e dans le cas d’un chargement croissant car, `a l’approche de celle-ci, les perturbations atteignent leur vitesse d’´evolution maximale. On retrouve alors la contrainte g´en´eralis´ee critique obtenue dans le cas d’un chargement statique. On r´esume les contraintes g´en´eralis´ees critiques obtenues dans le tableau suivant :
˙ P = 0 Pcr stat= (µ2G1111+ ν2G1212)− ν2µ2(G1212+ G1122)2 (µ2G1212+ ν2G2222) ˙ P = 0 instabilit´e absolue Re (η) > 0 P ∈ [0, P ∞[ ∪ ]Pcrit 0 , +∞[avec P0crit = µ2G1111+ ν2G1212 ˙ P = 0 instabilit´e infinie η → ∞ P ∞= (µ2G1111+ ν2G1212)− ν2µ2(G1212 + G1122) 2 (µ2G1212+ ν2G2222)
Par la suite, on s’int´eresse uniquement `a la contrainte g´en´eralis´ee critique P∞.
Afin de poursuivre l’analyse et de mieux comprendre la signification de ces crit`eres, on va d´esormais introduire une loi de comportement.
Consid´erons la th´eorie de d´eformation appliqu´ee au crit`ere de Hill48 telle qu’elle a ´et´e utilis´ee par Neale [Neale 89], le tenseur G est alors d´efini par :
G1111 = G11= t 3 12 (1 + r)2 (1 + 2r)ES − (ES− ET) σ1 σe 2 (3.132) G2222 = G22= t 3 12 (1 + r)2 (1 + 2r)ES − (ES− ET) σ2 σe 2 (3.133) G1122 = G12= t 3 12 r (1 + r) (1 + 2r)ES− (ES− ET) σ1 σe σ2 σe (3.134) G1212 = 0 (3.135)
La contrainte effective est donn´ee par : σe= σ21− 2r 1 + rσ1σ2+ σ 2 2 1/2 (3.136) D’apr`es le tableau 3.5.3, les contraintes g´en´eralis´ees critiques deviennent alors :
Pstatcr = P∞= µ2 G11G22− (G12)2 G22 (3.137) Soit encore : Pcr stat= P∞= 2πm a 2 t3 12 2 (1 + r)2 (1 + 2r) ESET G22 (3.138)
Dans le cas particulier o`u σ2 = 0 et r = 1, on obtient :
Pstatcr = P∞ = 2πm a 2 t3 12ET (3.139) Validit´e du r´esultat
On trouve dans [Singer 97b] une estimation du chargement critique en mode simple d’une plaque en compression dans le cas ´elastique. Pour cela la m´ethode de Rayleigh-Ritz
3.5. Une m´ethode de perturbation
est utilis´ee. Par minimisation de l’´energie potentielle, Singer et al [Singer 97b] obtiennent la pression g´en´eralis´ee critique suivante :
Pcritique = iπ a
2 t3
3 (1− ν)2E (3.140) o`u i est un facteur suppos´e tel que i = a/b. On trouve avec 3.139 une expression analogue `a 3.140 `a un facteur pr`es d´ependant de i.
On retrouve une valeur analogue de la pression critique dans le cas ´elastique d’apr`es les travaux de Timoshenko [Timoshenko 61], mais avec cette fois-ci une d´ependance explicite au mode de flambage : σT imoshenkocrm = m2 π 2E 12 (1− ν)2 t a 2 (3.141) Pour un mode de flambage simple, on obtient
σT imoshenko cr1 = π2E 12 (1− ν)2 t a 2 (3.142) En remarquant qu’avant apparition du flambage, la contrainte est constante dans l’´epaisseur, on peut alors trouver la contrainte g´en´eralis´ee critique :
NcrT imoshenko1 =
π2E
12 (1− ν)2 t3
a2 (3.143)
En adaptant le coefficient i dans l’´equation 3.140, on peut retrouver le r´esultat de Timoshenko donn´e par l’´equation 3.143.
On souhaite comparer la pression critique obtenue par notre m´ethode avec le crit`ere de Timoshenko. Pour cela, on va utiliser les travaux de Yossifon, Tirosh et Kochavi [Yossifon 84] qui ´etendent la m´ethode de Timoshenko au flambage plastique. Comme cela a ´et´e pr´ecis´e pr´ec´edemment, l’extension au domaine plastique consiste `a remplacer le coefficient de Poisson par son ´equivalent incompressible (ν = 0.5) et le module d’Young
par le module double E0 =
4EET
E1/2+ E1/2 T
2 d´ependant du module d’Young E et du
module tangent ET. En appliquant cette technique `a la pression g´en´eralis´ee critique de
Timoshenko, on obtient en mode de flambage simple : NcrT imoshenko1 =
π2
3 t3
a2E0 (3.144)
que l’on souhaite comparer `a notre pression critique g´en´eralis´ee : P∞ = π
a
2 t3
3ET (3.145) Le rapport entre ces deux valeurs est donn´e par :
NcrT imoshenko1 =
E0
ET
P∞ (3.146) La diff´erence entre le crit`ere de Timoshenkho et notre crit`ere dans ce cas particulier tient essentiellement de la loi de comportement choisie. Sachant que notre analyse est une ´etude de stabilit´e, on retrouve l’objection formul´ee pour le crit`ere de Timoshenkho, `a savoir une surestimation de la contrainte critique. Pour approfondir la validation de notre crit`ere, une comparaison avec l’exp´erience est `a envisager.