On trouve dans la litt´erature de nombreux travaux autorisant la caract´erisation du plissement/flambage en mise en forme de mani`ere plus ou moins exacte. Parmi toutes ces m´ethodes se distingue la m´ethode de bifurcation de Hill qui permet d’obtenir dans des cas simples une expression analytique de la contrainte critique et ´egalement la longueur d’onde associ´ee. Cette m´ethode pr´esente toutefois l’inconv´enient de ne pas pouvoir ˆetre exploit´ee pleinement dans des cas compliqu´es tels que lors de la pr´esence de contact entre l’´el´ement et la matrice. On peut alors utiliser cette m´ethode de mani`ere num´erique, cela
3.6. Conclusion
revient `a calculer les mˆemes termes que ceux intervenant dans la m´ethode de Nordlund et H¨aggblad [Nordlund 97]. Mais, cette fois, l’analyse est bas´ee sur une ´etude qualitative du travail interne incr´emental du second ordre. Cette ´etude est d’autant plus int´eressante qu’elle ne n´ecessite aucune hypoth`ese sur la forme du champ des vitesses apr`es plisse- ment. Par contre, elle ne donne aucune indication sur ce mˆeme champ et donc aucune indication sur le mode de plissement. Parmi les approches ´etudi´ees, il y a ´egalement la m´ethode de l’´energie. Les nombreuses remarques formul´ees lors du d´eveloppement de cette m´ethode suffisent `a elles seules pour justifier le non-emploi d’une telle m´ethode. On rappelle juste que Chu et Xu ([Chu 01] page 1426) ´emettent les mˆemes r´eserves quand au simple remplacement de param`etres pour justifier le passage de l’analyse en ´elasticit´e `a une analyse en plasticit´e.
Alternativement `a toutes ces m´ethodes, nous avons souhait´e d´evelopper une analyse s’inspirant des travaux de Nordlund et H¨aggblad [Nordlund 97] (en consid´erant l’ap- parition de plis comme li´ee `a de fortes rotations) et des divers travaux sur l’´etude de l’´equilibre m´ecanique d’une structure. Les r´esultats obtenus sont valid´es en comparaison avec le crit`ere de Timoshenko dans le cas d’une plaque en compression. La relation entre ces deux crit`eres semble ´evidente puisque dans les deux cas une analyse de stabilit´e est effectu´ee.
Notre nouveau crit`ere qui s’inspire des nombreux travaux r´ealis´es auparavant pr´esente l’inconv´enient de se restreindre `a un ´el´ement plaque sous hypoth`ese de contraintes planes. De plus, le mode de d´eformation est impos´e par les conditions au bord suppos´ees dans le cas d’une analyse simplifi´ee. On ne peut pas parler ici d’analyse locale. On note ´egalement que la loi de comportement ne consid`ere pas le couplage entre les termes de d´eformations membranaires et les termes de flexion. Il serait donc int´eressant d’observer l’influence de ces termes sur un crit`ere de pr´ediction de plissement.
Le crit`ere propos´e ici semble trop restrictif et peu utilisable lors de simulations par la m´ethode des ´el´ements finis. Mais il a initi´e de nouveaux travaux dont les r´esultats n’ont pas ´et´e valid´es. Il s’agit alors d’´etendre l’analyse propos´ee pour la recherche de
striction localis´ee `a la recherche de plissement dans le cas d’une loi de comportement de type Illyushin. Le plissement est `a nouveau consid´er´e comme une instabilit´e du flux de mati`ere. Cette m´ethode de perturbation fait alors apparaˆıtre le mode de flambage dans la fonction de perturbation sans aucune hypoth`ese sur les conditions de bord. De plus, la loi de comportement choisie autorise le couplage entre les termes de d´eformations membranaires et les termes de flexion. On trouvera les d´eveloppements de cette m´ethode en Annexe D. La dimension du probl`eme n’a pour l’instant pas permis d’obtenir un crit`ere de plissement simple.
Toutes les m´ethodes mentionn´ees et d´evelopp´ees dans ce chapitre sont donc soit des analyses en bifurcation soit des analyses de stabilit´e, `a l’exception de la m´ethode de Nordlund et H¨aggblad. Mais l’exp´erience montre que le point de bifurcation favorisant l’apparition du plissement semble souvent ˆetre le deuxi`eme point [Singer 97a] tandis que la perte de stabilit´e apparaˆıt apr`es l’apparition du d´efaut. En fait, l’instant d’apparition de plis est fortement li´e aux imperfections de l’´el´ement consid´er´e. Cette s´erie de m´ethodes de r´esolution n’est pas mention´ee ici. Toutefois, la m´ethode est identique `a celle pr´esent´ee dans le chapitre sur la striction localis´ee. Elle pr´esente donc le mˆeme inconv´enient, `a savoir la d´ependance `a l’imperfection initiale.
Aux vues de ces remarques, et en attendant la validation de nos nouveaux travaux, nous avons choisi d’utiliser le crit`ere de Nordlund et H¨aggblad pour la pr´ediction du plissement lors de simulations en emboutissage et hydroformage de structures minces. Ceci fait l’objet du chapitre suivant.
Chapitre 4
Pr´ediction num´erique des d´efauts
Diff´erents proc´ed´es de mise en forme sont consid´er´es ici afin de pr´edire l’apparition de d´efauts. Les crit`eres utilis´es dans cette partie sont le crit`ere bas´e sur la technique des perturbations lin´earis´ees pour la striction/´eclatement et sur la m´ethode de Nordlund et H¨aggblad pour le plissement/flambage. Concernant la striction ou l’´eclatement, un premier exemple de gonflement d’une plaque sous pression permet de v´erifier simplement la pr´ecision du crit`ere d’instabilit´e. On v´erifiera ´egalement le bon comportement du crit`ere de plis `a l’aide du c´el`ebre test de Yoshida. Par la suite, les crit`eres seront appliqu´es `a des cas plus complexes d’hydroformage tels que l’hydroformage d’une forme en T et l’hydroformage dans une cavit´e cylindrique. L’application des crit`eres de d´efauts se trouve alors compl´et´ee par l’analyse de proc´ed´es d’emboutissage.
4.1
Test de gonflement hydraulique
L’essai de gonflement consiste `a d´eformer plastiquement une tˆole mince sous l’effet d’un fluide sous pression. Le flan est retenu entre la matrice et le serre-flan (figure 4-1). Cet essai sert `a caract´eriser des mat´eriaux utilis´es en mise en forme et soumis `a des sollicitations biaxiales. Il permet ´egalement de d´eterminer les d´eformations critiques en vue de la construction de Courbes Limites de Formage. En effet, si pour une matrice
4.1. Test de gonflement hydraulique
pression Flan
Matrice Serre-flan
Fig. 4-1: D´efinition de l’essai de gonflement.
circulaire, le chemin de d´eformation est ´equibiax´e, il peut ˆetre modifi´e en utilisant une matrice de forme ovo¨ıdale.
Des exp´erimentations ont ´et´e r´ealis´ees par J.F. Michel au LMARC [Michel 00] sur des tˆoles en aluminium d’´epaisseur 0.92 mm. Les caract´eristiques de comportement mat´eriel sont donn´ees dans le tableau suivant :
Module d’Young E 70 000 MPa Coefficient de Poisson ν 0.33
Densit´e 2700 kg.m−3
Limite ´elastique σ0 180 MPa
Loi d’´ecrouissage σy = 533¯ε0.2837
Exp´erimentalement, l’´eclatement est observ´e pour une hauteur de dˆome de 15 mm. Il semble alors que le crit`ere d’´eclatement d´efini surestime l’apparition de ce d´efaut. En effet, le crit`ere indique un d´efaut pour une hauteur de dˆome valant 12 mm. Toutefois, dans les deux cas, l’´eclatement est observ´e au sommet du dˆome (figure 4-2). Les raisons de la diff´erence constat´ee peuvent ˆetre multiples. Il convient, dans un premier temps, de noter que l’on travaille ici avec un aluminium dont le comportement est suppos´e isotrope. Or, on a montr´e dans le chapitre 2, que dans le cas d’un mat´eriau de type aluminium, la loi de comportement influen¸cait fortement la pr´ediction de formabilit´e pour un chemin de contrainte ´equibiax´e. De nouvelles simulations utilisant les crit`eres adapt´es `a ce type
Eclatement détecté
Fig. 4-2: Localisation de la zone ´eclat´ee obtenue num´eriquement et exp´erimentalement pour un essai de gonflement hydraulique.
de mat´eriaux devraient permettre d’affiner la pr´ediction de l’´eclatement dans le cas du gonflement hydraulique.