Pour finir nous avons ´egalement test´e la fiabilit´e de nos r´esultats par calcul explicite des deux premiers moments de la distribution, pour lesquels nous dis- posons d’expressions analytiques exactes (§ 2.1). Notre ´evaluation num´erique ne montre aucune d´eviation, aux r´esultat th´eoriques, avec la longueur du po- lym`ere (m´edaillon de la figure 4.3, haut/gauche).
Nous pouvons donc calculer num´eriquement la distribution isotrope S(r; L) exacte d’un WLC de longueur a priori quelconque. Comme nous l’avons remarqu´e pour la chaˆıne gaussienne (§ 2.3), l’estimation du rapport S(r; L)/(4πr2) dans la li-
mite des faibles extensions r → 0, `a longueur L fix´ee, doit alors par d´efinition nous fournir le facteur de cyclisation J(L) = Q(~0; L) du WLC. Par soucis de coh´erence avec les r´esultats obtenus [RvHL95, MRKL98, KML98] par Merlitz, Rippe, von Hippel, Klenin et Langowski au moyen de simulations de dyna- mique brownienne (1995–1998) d’une part et par Podtelezhnikov et Vologod- skii [PV00] au moyen de simulations Monte Carlo (2000) d’autre part, nous calculons ´egalement le facteur de cyclisation comme limite du rapport
K(r; L) = Prob(r; L)/V (r) avec V (r) = 4
3π r
3.
Nous reconnaissons la probabilit´e Prob(r; L) de trouver la distance bout `a bout d’un polym`ere de longueur L dans une boule de rayon r, pr´ec´edemment d´efinie pour la chaˆıne gaussienne (§ 2.3). Nous ´evaluons J(L) de mani`ere indirecte, mais nous pouvons alors ´etudier l’effet d’une non fermeture exacte des configurations de boucles en jouant sur le rayon r & 0 de la boule. Le probl`eme biologique correspondant est l’influence de la taille finie des prot´eines, fixant les boucles d’ADN observables dans une r´egulation g´en´etique `a l’´etape de transcription. Intuitivement aucun changement significatif dans l’´energ´etique d’une telle cycli- sation n’est attendu `a moins que la taille des prot´eines en question ne soit de l’ordre de grandeur de celle de la s´equence d’ADN cyclis´ee, c’est-`a-dire r . L.
4.3
Pertinence des effets de tailles selon la lon-
gueur de boucle
Utilisant les distributions S(r; L) pr´ec´edemment calcul´ees, nous avons ´evalu´e la distribution Q(r ~er; L) pour diverses extensions et le rapport K(r; L) pour
divers rayons de boule. Avant de discuter les r´esultats, examinons les possibles sources d’erreurs s’ajoutant `a l’utilisation d’Expokit et de la FTT. En section pr´ec´edente, nous avons obtenu S(r; L) par d´eriv´ee de P (z; L). Ce calcul est ap- paru fiable, soutenant la comparaison `a diverses approximations ou r´esultats exacts. Ceci ´etant dit, l’´evaluation num´erique d’une d´eriv´ee doit syst´ematiquement ˆetre consid´er´ee comme un sujet d´elicat. Dans le cas du rapport K nous pouvons
4.3 Pertinence des effets de tailles selon la longueur de boucle 59
toutefois omettre cette ´etape de d´erivation en int´egrant par parties Prob(r; L) =−2 Z r 0 r0 dP dz (r 0; L) dr0 = 2Z r 0 P (r0; L) dr0− r P (r; L) , ce qui constitue une occasion suppl´ementaire de juger a posteriori notre calcul de S. En fait, la d´erivation n’apparaˆıt pas directement comme l’´etape limitante de notre algorithme. Que ce soit pour Q ou K c’est la d´efinition en z de P , c’est- `a-dire l’´echantillonnage en kz de l’amplitude du vide Z qui est critique. Cela
est particuli`erement vrai aux faibles r que ce soit pour ´evaluer P , sa d´eriv´ee ou encore son int´egrale.
Les r´esultats sont visibles en figure 4.4. Dans sa colonne de droite nous sommes int´eress´es par le comportement global du facteur de cyclisation J(L). Il est trac´e sur une ´echelle de longueurs incluant `a la fois les r´egimes ´elastique et entro- pique. Cette repr´esentation nous permet de juger de la pertinence des principales approximations expos´ees au chapitre 3. La colonne de gauche se concentre en revanche sur l’´echelle de longueurs21 allant de 100 bp `a 500 bp, et concerne
plus particuli`erement les comportements de la distribution Q ou du rapport K, pour r ≥ 0 (´echelle semi-logarithmique). Le graphe du haut montre que ces deux quantit´es convergent (diff´eremment) vers J quand l’extension/rayon r est diminu´e. Par commodit´e consid´erons le rapport K (lignes pleines) : l’influence du rayon r augmente quand la longueur L diminue. Nous ne constatons aucun effet sur K en sa borne sup´erieure L = 500 bp : il reste du mˆeme ordre de gran- deur. Cela est en fait vrai d`es que L & 300 bp, ou 100 nm. Il en va diff´eremment pour la borne inf´erieure L = 100 bp. Partons de r = 10 nm : en diminuant de moiti´e le rayon (r = 5 nm) nous observons une baisse d’un ordre de grandeur pour K. Si nous divisons encore le rayon d’un facteur 5 pour finir `a r = 1 nm le rapport K diminue ´egalement, mais la baisse constat´ee repr´esente moins d’un ordre de grandeur (environ un tiers).
Cette ´etude met donc ´egalement en ´evidence une convergence rapide du rap- port K (resp. de la distribution Q) vers le facteur de cyclisation J(L), quand le rayon (resp. l’extension) r est diminu´e. Nous pouvons formuler le crit`ere suivant : la convergence est atteinte d`es que r est inf´erieur `a L d’au moins un ordre de grandeur. Une ´evaluation quantitative de J(L) jusqu’`a une longueur de persis- tance (150 bp, ou 50 nm) est en effet possible `a partir de K(5 nm; L), comme le montre le graphe de droite correspondant. Nous obtenons le profil de J at- tendu : un unique maximum d´efinissant une longueur de boucle la plus probable d’`a peu pr`es 500 bp – entre trois et quatre longueurs de persistance – pour la- quelle effets ´elastique et entropique sont tous deux importants. Les longueurs `a la fois de plus en plus courtes ou importantes, sont alors de moins en moins susceptibles d’ˆetre observ´ees : la rigidit´e ´elastique rend difficile la courbure de pe- tits polym`eres (courtes s´equences) tandis que le comportement entropique rend
4.3 Pertinence des effets de tailles selon la longueur de boucle 60 Concentration (nM = 10−9M) : Q, K ou J 10−2 10−1 100 101 102 r = 10 nm 5 nm 1 nm (courbes superposées) Q(r er ; L) K(r ; L) 0 20 40 60 80 100 120 K(5 nm ; L) Shimada et Yamakawa Chaîne gaussienne 10−2 10−1 100 101 102 Simulations et interpolation (p = 0.52) (p = 0) MC DB R&R 0 nm r = 10 nm 5 nm 0 20 40 60 80 100 120 Interpolation Shimada et Yamakawa Chaîne gaussienne (p = 0) 10−2 10−1 100 101 102 100 200 300 400 500 Longueur L (bp) r = 10 nm 5 nm 1 nm (quasi−superposées) r = 0 : J(L) Q(r er ; L) K(r ; L) 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Longueur L (kb = 103 bp) K(5 nm ; L) Chaîne gaussienne Daniels (ordre 1) Champ moyen
Fig.4.4 – Calcul num´erique du facteur de cyclisation J par sa distribution en ex- tension (directement Q ou par le rapport K). Un accord quantitatif est obtenu d`es que l’extension est inf´erieure d’un ordre de grandeur `a la longueur consid´er´ee (fi- gures du haut). Ces r´esultats v´erifient (figure centre/gauche) de pr´ec´edentes si- mulations Monte Carlo (MC) ou de dynamique brownienne (DB). Ils suppriment les divergences respectives des expressions de Shimada et Yamakawa, et du po- lym`ere gaussien (figure haut/droite) qui se compl`etent remarquablement d’autre part (recouvrement vers L/A ' 13). Ils permettent enfin de juger de la pertinence d’approximations mentionn´ees au chapitre 3 (figure bas/droite). Les figures du centre montrent ´egalement (lignes pleines) la formule interpolative (3.1) de R&R. La figure bas/gauche montre un accord quantitatif, aux faibles extensions rela- tives r/L, de l’adaptation (2.4) de S&Y. S’il devient qualitatif quand r/L aug- mente, il reste acceptable pour les valeurs ´etudi´ees apr`es (r ' 10 nm).
4.3 Pertinence des effets de tailles selon la longueur de boucle 61
peu probable la co¨ıncidence des deux extr´emit´es de longs polym`eres (grandes s´equences). Notons toutefois que notre algorithme ne permet jamais d’atteindre les configurations de boucles `a proprement parler, obtenues pour un rayon exac- tement nul r = 0. ´Etant donn´e les faibles rayons consid´er´es le seul effet observ´e est un ´ev`enement fortement piqu´e, traduisant les configurations de bˆatonnets quasi-rigides L & r.22L’´echelle L≥ 100 bp que nous consid´erons n’inclut pas cet
´ev`enement : par exemple pour le plus grand rayon que nous consid´erons (c’est- `a-dire r = 10 nm), si l’´ev`enement correspondant commence `a s’´etaler il reste n´eanmoins piqu´e autour de L & 30 bp.
Comme le montre le graphe centre/gauche, nos r´esultats s’accordent aux pr´ec´e- dentes simulations disponibles comme celles de dynamique brownienne r´ealis´ees par Merlitz et coll. (symboles blancs) pour des rayons r = 0, 10 nm ou encore celles de Monte Carlo produites par Podtelezhnikov et Vologodskii (symboles noirs) pour des rayons r = 5 nm, 10 nm. Les donn´ees de Merlitz et coll. doivent ˆetre compar´ees au rapport K en gardant `a l’esprit qu’elles incluent la rigidit´e de torsion de l’ADN, et sa nature ´electrostatique.23 Chacun de ces deux types
de simulation pr´esente aussi son lot de difficult´es : les configurations dont l’ex- tension se trouve dans une boule de rayon r sont des ´ev`enements rares, ne se r´ealisant qu’au bout d’un temps long. Ce constat s’accentue d’autant plus que r est petit (voir le crit`ere ci-dessus) ou que le polym`ere est rigide (longueur appro- chant la persistance). Un des auteurs du premier groupe (Rippe) a r´ecemment propos´e [RCA+99, Rip01] un ajustement de ses propres donn´ees au moyen de
la formule (3.1) interpolant entre r´egimes ´elastiques et entropiques. Rappelons qu’elle doit permettre la prise en compte de r ≥ 0 au moyen d’un param`etre p. Nous avons reproduit cet ajustement, afin d’illustrer la pr´ecision satisfaisant les auteurs de ces simulations.
Pour finir nous testons l’expression (2.4) de Q(r ~er; L) que nous avons propos´e `a
partir du facteur de cyclisation J(L) obtenu par Shimada et Yamakawa. Comme attendu, l’accord aux r´esultats num´eriques passe de quantitatif `a qualitatif quand l’extension relative r/L augmente (graphe bas/gauche). Prenons la borne inf´e- rieure L = 100 bp : pour r = 1 nm, ou r/L = 3% les courbes se superposent mais pour r = 5 nm, ou r/L = 15% la description n’est d´ej`a plus que qualitative. Pour la borne sup´erieure, en fait d`es L & 300 bp cette ´evaluation fournit le bon ordre de grandeur pour une large gamme d’extensions r.
Revenons au comportement global de J (colonne de droite). Sur le graphe du haut nous constatons la pertinence de l’expression de S&Y (§ 2.4) jusqu’`a dix longueurs de persistance. Au-del`a, la chaˆıne gaussienne (§ 2.3) d´ecrit bien le WLC dont le comportement est en effet essentiellement entropique. Le d´eveloppement de Daniels (§ 3.1) permet d’obtenir un meilleur accord pour ces mˆemes longueurs
22Rappelons que le WLC est inextensible : Q et K ne sont d´efinis que pour L≥ r. 23Nous d´eveloppons un peu plus en section 5.4.