Pertes radiatives

Afin de compl`eter la th´eorie, il est n´ecessaire de sp´ecifier les pertes radiatives encourues par une bulle convective (Mihalas, 1978). Ceci fait en sorte que le gradient convectif ∇′_n’est

pas ´egal au gradient adiabatique ∇ad, et c’est ce premier que nous d´esirons d´eterminer,

ou plutˆot le facteur ∇ − ∇′_{. Introduisons une nouvelle quantit´e Γ que nous appellerons}

l’efficacit´e convective, tenant compte des pertes ´energ´etiques de la bulle au milieu dues au fait que l’expansion ne se fait pas adiabatiquement. D´efinissons donc l’efficacit´e convective comme ´etant le rapport entre l’´energie interne (par unit´e de volume) gagn´ee par la bulle durant son temps de vie et celle perdue au milieu par radiation, soit

Γ = ∆eg ∆el

, (2.35)

o`u

∆eg = ρcP∆T. (2.36)

Les pertes radiatives correspondent `a l’´energie suppl´ementaire gagn´ee par une bulle adia- batique par rapport au cas o`u elle lib`ere cette radiation,

∆el = ∆eg,ad − ∆eg = ρcPqτad (2.37)

et peut s’´ecrire de mani`ere g´en´erale (mais lin´eaire) par la derni`ere expression, o`u q est le taux de refroidissement ([K/s]) et τad = ℓ/v le temps de vie de la bulle. L’id´ee est

d’exprimer cette quantit´e en fonction de gradients (entre autres ∇′_{) dans un premier}

temps, et en fonction de quantit´es locales dans un second temps. Ceci nous permettra alors d’exprimer ∇′ _{en fonction de quantit´es locales et de gradients que nous connaissons.}

Pour l’expression non-locale de Γ, ´ecrivons ∆eg,ad = ρcP∆Tad o`u ∆Tad est l’exc`es de

temp´erature de la bulle dans le cas o`u il n’y a pas de pertes radiatives. L’´equation 2.27 relie ∆T aux gradients, ce qui nous donne, en faisant la substitution ∇′ _{↔ ∇}

ad pour ∆Tad, Γ = ∇ − ∇ ′ (∇ − ∇ad) − (∇ − ∇′) = ∇ − ∇ ′ ∇′_{− ∇} ad . (2.38)

Ensuite, il faut trouver une expression alternative de ∆el afin d’obtenir l’expression

locale pour Γ. Par analyse dimensionelle, on trouve le facteur ρcPq de la deuxi`eme ´egalit´e

de l’´equation 2.37 comme repr´esentant

ρcPq = ∆Lrad/V ≡ ∆lrad, (2.39)

soit la densit´e de luminosit´e irradi´ee par la bulle. Des arguments simples de transfert radiatif peuvent nous permettre d’estimer cette quantit´e. ´Ecrivons ∆Lrad = Seff∆Frad, la

surface effective Seff ´etant pour tenir compte du fait que la bulle peut ˆetre optiquement

mince (τe ≪ 1) ou ´epaisse (τe ≫ 1) (seule la surface irradie Seff= S). Dans le cas mince, si

la luminosit´e irradi´ee provient d’environ un libre-parcours moyen (κρ)−1_{, alors S}

eff = V κρ.

En ETL on a que πFrad = 4πB(T ) et

∆lrad = 4πκρ∆B = 4πτe∆B/ℓ, τe≪ 1, (2.40)

o`u on a introduit la profondeur optique d’une bulle convective τe = κρℓ. Si la bulle est

optiquement ´epaisse, il faut plutˆot utiliser l’approximation de diffusion 1.6 pour exprimer le flux radiatif. Faisons l’approximation −∂B/∂z ≈ ∆B/ℓ3 _{pour le gradient `a travers la}

bulle et la densit´e de luminosit´e est plutˆot

∆lrad =  S V  4π∆B 3τe , τe ≫ 1. (2.41)

3_{Il est `a noter que c’est plutˆot l’approximation tr`es diff´erente −∂T/∂z ≈ ∆T/ℓ qui est habituellement} utilis´ee, mais il est facile de se convaincre que dans le cas optiquement ´epais, o`u g´en´eralement ∆T /T ≪ 1, celle-ci revient au mˆeme.

Si l’on suppose que l’exc`es de temp´erature demeure tr`es petit par rapport `a la temp´erature ambiante ∆T /T ≪ 1 (ce qui est d´efinitivement le cas dans lorsque la convection est adiabatique), on peut avoir recours `a l’approximation binomiale et

∆B ≡ σ_π [T + ∆T ]4_{− T}4
≈ 4σ π T

3_{∆T. (2.42)}

En multipliant par le temps de vie de la bulle et en supposant dans la limite optiquement mince que les bulles ont un exc`es de temp´erature moyen de ∆T /2 sur leur parcours, on obtient les expressions pour ∆el dans les deux limites :

∆el =      8τeσT3∆T v , τe≪ 1. S V
_16σT3_∆T 3τe Λ v = cσT3_∆T τev , τe≫ 1. (2.43)

Au niveau du facteur surface sur volume, on sait que S/V = 3/ℓ pour une bulle sph´erique, mais afin de pouvoir modifier ce param`etre, ´ecrivons-le S/V = 3c/16ℓ. Autrement dit, on d´efinit le param`etre c comme ´etant

c ≡ 16 S V ,  S V  sph . (2.44)

Ces expressions nous permettent d’obtenir Γ dans les deux limites, mais afin de tenir compte des cas interm´ediaires, Henyey et al. (1965) interpolent les deux expression sim- plement en les sommant. L’efficacit´e convective exprim´ee en termes de quantit´es locales s’´ecrit alors Γ = ρvcP σT3 (1 + 8τ2 e/c) 8τe = ρvcPτe dσT3 , (2.45)

o`u on a d´efinit le quatri`eme et dernier param`etre de la MLT d4_{, celui-ci n’´etant pas}

ind´ependant d ≡ 8τ 2 e 1 + (8τ2 e/c) . (2.46)

d est le facteur dans lequel toute l’information fonctionelle de l’opacit´e et de la forme de la bulle sur l’efficacit´e convective se trouve, c ´etant proportionnel au rapport S/V (normalis´e `a celui d’une sph`ere) de la bulle. En ML1 c = 24 et S/V = 3/2(S/V )sph = alors qu’avec

4_{Dans la notation de Henyey et al. (1965), ω = τ}

ML2 c = 16 et S/V = (S/V )sph et les bulles sont consid´er´ees respectivement comme ´etant

cylindriques et sph´eriques.

En ´egalisant les deux expressions pour Γ et en isolant tous les termes locaux et non- locaux (l’expression locale d´epend en fait de la vitesse et donc des gradients), on d´efinit une nouvelle quantit´e B

B ≡ ∇ ′ _{− ∇} ad (∇ − ∇′₎1/2 = dσT3 ρℓτecP  HP agQ 1/2 (2.47) En notant que ∇′_{− ∇}

ad = (∇ − ∇ad) − (∇ − ∇′), on trouve une ´equation quadratique en

(∇ − ∇′₎1/2 _: (∇ − ∇′ ) + B (∇ − ∇′₎1/2 − (∇ − ∇ad) = 0 (2.48) et sa solution : (∇ − ∇′₎1/2 = −B₂ + B 2 4 + ∇ − ∇ad 1/2 . (2.49)

B ´etant toujours positif (∇′ _{≥ ∇}

ad n´ecessairement), il faut prendre la racine positive.

La th´eorie est maintenant compl´et´ee. Ayant une valeur de ∇ − ∇′ _{calcul´ee `a partir de}

quantit´es locales, on la substitue dans l’expression pour le flux convectif 2.34. La solution de l’´equation du transfert radiatif nous permet de calculer le flux total. En g´en´eral le flux total (donn´e par la temp´erature effective de l’´etoile) ne sera pas conserv´e et il faut utiliser une proc´edure de correction en temp´erature et pression, mais plus important encore pour une zone convective, aussi en ∇. La solution de l’´equation du transfert radiatif et le calcul du flux convectif sont recommenc´es et on it`ere jusqu’`a convergence.

Il y a un point important `a mentionner au niveau de la proc´edure de correction lors de la solution des ´equations de mod`eles atmosph´eriques. Le flux convectif est particuli`erement sensible `a la valeur exacte de ∇, et encore plus `a T et P . Il est alors pr´ef´erable de consid´erer ∇ comme une variable ind´ependante (Bergeron, 1989). En retour, il est n´ecessaire d’avoir une expression pour la d´eriv´ee de flux convectif par rapport `a ∇. En supposant que toutes les quantit´es locales sont ind´ependantes de ∇, et en d´erivant la solution de l’´equation quadratique 2.49, nous obtenons

d(∇ − ∇′₎ d∇ = (∇ − ∇ ′₎1/2 B2 4 + ∇ − ∇ad −1/2 . (2.50)

La proc´edure de correction d´epend peu de la valeur exacte de ∇′_{, et en supposant ∇}′ _{= ∇} ad,

la d´eriv´ee est simplement ´egale `a 1. Finalement, en d´erivant l’´equation du flux convectif 2.34, nous obtenons dHc d∇ = 3 2 Hc ∇ − ∇′ (2.51)

L’´equation 2.38 peut ˆetre reformul´ee comme une relation fonctionnelle entre ∇ − ∇′ _et

∇ − ∇ad, soit

∇ − ∇′ ₌ Γ

Γ + 1(∇ − ∇ad) , (2.52)

ou sous une autre forme plus explicite reliant les trois gradients,

∇′ ₌ 1

Γ + 1∇ + Γ

Γ + 1∇ad. (2.53)

On voit que Γ a une signification physique int´eressante sous la combinaison de l’´equation 2.52. Quand la convection est tr`es efficace, Γ → ∞ et Γ/(Γ + 1) → 1 (B → 0), alors

∇ − ∇′ → ∇ − ∇ad → 0 (2.54)

et la convection devient adiabatique (voir plus bas pour le → 0). Quand la convection est tr`es inefficace, Γ → 0, Γ/(Γ + 1) → 0 (B → ∞), et

∇ − ∇′

→ 0, (2.55)

et la convection cesse. On remarque aussi de 2.52 ou 2.53, que si deux gradients sont identiques, alors les trois le sont. Quand la convection cesse on a aussi n´ecessairement

∇ = ∇′

= ∇ad (2.56)

et les trois gradients vont se couper au mˆeme point `a la barri`ere de Schwarzschild. Mais la limite de convection adiabatique est une limite asymptotique (Γ → ∞) alors

∇ → ∇′

→ ∇ad (2.57)

une valeur asymptotique, celle du gradient adiabatique, mais le premier moins rapidement que le deuxi`eme. Dans cette limite de convection adiabatique, l’entropie est pratiquement constante dans cette r´egion de la zone de convection (voir l’´eq. 2.13). Le facteur Γ/(Γ + 1) est en quelque sorte une efficacit´e convective normalis´ee `a l’efficacit´e adiabatique. Le facteur 1/(Γ + 1) de l’´equation 2.53 a le comportement inverse.

Pour des conditions fixes, une grande efficacit´e convective implique de faibles vitesses convectives et un faible exc`es de temp´erature, alors que pour une efficacit´e interm´ediaire (∇ − ∇′ _{maximal) le contraire se produit. Mais selon la forme du flux convectif, puisque}

ρ, T et HP augmentent vers l’int´erieur, il devrait y avoir une asym´etrie dans la zone de

convection. Une convection d’efficacit´e interm´ediaire de surface sera constitu´ee de petites bulles rapides se propageant sur une courte distance, alors que pour une zone de convection efficace en profondeur on aura des grandes bulles lentes sur de grandes distances.

Pour la suite, il convient d’introduire une nomenclature au sujet de la zone de convec- tion. Γ = 1 signifie qu’une bulle ascendante perd autant d’´energie par radiation qu’elle n’en gagne par expansion, alors nous d´efinissons le r´egime de convection efficace Γ > 1 comme ´etant adiabatique (bien que plus exactement ce serait plutˆot la limite Γ → ∞) et le r´egime de convection inefficace Γ < 1 comme ´etant superadiabatique. En particulier, la r´egion de la zone de convection superadiabatique sera appel´ee la couche ou le pic superadiabatique (PSA).