En notant (X⋆
n)n le processus décrit par le noyau de transition K⋆, le membre de droite correspond à la probabilité Px⋆
k+1 X⋆
τMk+1 ∈ B/ k+1 . En effet, en utilisant la Remarque 2.3.6 entre les différents processus traces Px⋆k+1 X⋆ τMk+1 ∈ B/ k+1 = 1 − Px⋆k+1 X⋆ τMk+1 ∈ Bk+1 = 1−Px⋆ k+1 X⋆ τMk+2 ∈ Bk+1 + Q12(1− Q11)−1Q21 , ceci correspond au membre de droite de (5.3.6).
Ces remarques nous conduisent au résultat suivant. Pour tout η > 0, 1− λk+1=P˚πBk+20 τ+ Mk+1< τB+k+2 ) + P˚πBk+10 τ+ Mk+2\Bk+1< τB+k+1 − P˚πBk+2∪Bk+10 τ+ Mk< τB+k+1∪Bk+2 1 + O(e−θk/σ2 )! . où les distribution quasi-stationnaires sont définies à partir du processus trace sur Mk+2, et la constante θk vaut θk = H(k + 2, Mk+1)/2− η.
Si la communication entre les deux orbites périodiques ne vient pas interférer le spectre de T alors
1− λk= (P˚π0Bk+2∪Bk+1 τ+
Mk+1 < τB+k∪Bk+1 ) 1 + O(e−θk/σ2
)! .
Sinon, il faut définir le problème aux bords de Dirichlet sur Mk+1et par un raisonnement analogue, nous pouvons estimer les valeurs propres de module supérieur.
5.4 Perspectives
5.4.1 Calcul des fonctions propres, et espérance des temps d’atteinte
Ce chapitre permet de calculer les valeurs propres de l’application de Poincaré aléatoire lorsque l’hy-pothèse de hiérarchie métastable est violée. Pour bien comprendre la dynamique l’application de Poincaré aléatoire, il est également nécessaire d’avoir un contrôle sur les fonctions propres. La décomposition que nous avons utilisé permet d’avoir une estimation de ces valeurs propres. En effet, nous pouvons calculer les fonctions propres à droite et à gauche associées aux N plus grandes valeurs propres du noyau de tran-sition de rang fini K⋆ et par des arguments similaires à ceux utilisés dans les Sections 4.5.2 et 4.5.2 en déduire une approximation de celles du noyau de transition K. Cependant, les expressions des fonctions propres de K⋆ n’ont pas d’interprétation probabiliste triviale en termes de fonctions committeurs.
De plus, une relation analogue à (4.2.11) entre les valeurs propres du processus et les temps d’atteinte des voisinages des orbites périodiques devrait pouvoir être établie.
5.4.2 Approximation de la dynamique du processus par un modèle réduit
Le travail présenté dans les deux derniers chapitres montre que l’application de Poincaré K d’un système admettant N orbites périodiques stables i.e. N états métastables, a ses N plus grandes valeurs propres proches de celles d’un noyau de rang fini décrivant une chaîne de Markov à N états. Ainsi, nous avons ramené l’étude d’une chaîne de Markov à temps discret et à espace d’états continu à l’étude d’une chaîne de Markov à temps discret et à espace à N états. Nous avons également montrer que la norme de la différence des itérés du processus trace sur l’union des voisinages métastables et de l’opérateur décrivant la chaîne de Markov était petite. Nous pouvons alors nous demander jusqu’à quel point la dynamique de la chaîne de Markov décrit celle du processus trace (voir de l’opérateur) sur les différentes échelles de temps.
5.4.3 Lien entre les différentes distributions quasi-stationnaires
L’estimation des N plus grandes valeurs propres de l’application de Poincaré aléatoire se fait par un argument de récurrence. A chaque étape du raisonnement, nous définissons le problème aux bord sur une union de voisinages des orbites périodiques stables, nous définissons un processus trace sur cette union
5.4. PERSPECTIVES
Σ
A
B
Figure 5.7 – Inclusion des différents sous-ensembles impliqués dans la définition des processus traces et des processus tués.
et en introduisant les distributions quasi-stationnaires nous ramenons à un opérateur de rang fini. Pour estimer la N-ième valeur propre, nous définissons le processus trace sur MN ∪N
i=1Bi et introduisons N distributions quasi-stationnaires, une pour chaque processus trace tué quand il quitte un Bi. Puis pour estimer la N −1-ième valeur propre, nous définissons le processus trace sur MN −1∪N −1i=1 Biet introduisons N− 1 distributions quasi-stationnaires, une pour chaque processus trace tué quand il quitte un Bi. Ainsi, l’ordre de grandeur du nombre de distributions quasi-stationnaires introduites se comporte en N2.
Étant donné un noyau de transition Markovien, K définit sur un espace d’états Σ, le Corolaire 2.3.2 permet de faire le lien entre la distribution stationnaire de ce processus et celle du processus trace dans un sous-ensemble A ⊂ Σ,AK. Établir un lien similaire entre la distribution quasi-stationnaire d’un processus tué quand il quitte un sous-ensemble B ⊂ A ⊂ Σ (le noyau KB est un processus sous-Markovien) et la distribution quasi-stationnaire du processus trace dans un sous-ensemble A ⊂ Σ tué quand il quitte l’ensemble B n’est pas évident. La difficulté vient du fait que les processus sont sous-Markoviens. Il serait pourtant intéressant de comprendre le lien entre ces distributions quasi-stationnaires, outre la compréhension purement théorique, un intérêt numérique serait de réduire le nombre de distribution quasi-stationnaires à simuler pour estimer les valeurs propres.
Enfin, jusqu’à présent, nous ne sommes pas en mesure de caractériser les propriétés du processus trace tué quand il quitte une union de voisinages d’état métastables. En effet, l’argument de couplage utilisé pour contrôler la constante de positivité uniforme du processus tué ne fonctionne pas si le processus se rapproche d’ensembles instables.
Chapitre 6
Discussion sur les aspects numériques
Nos résultats donnent une relation entre les valeurs propres et fonctions propres de l’application de Poincaré, et les fonctions committeurs pour des voisinages des orbites périodiques stables (partant éventuellement selon une distribution quasi-stationnaire d’un processus tué quand il atteint les voisinages des orbites périodiques). Contrairement aux résultats connus pour les processus réversibles, nos résultats ne permettent pas de déterminer le préfacteur comme dans les formules de type Eyring–Kramers. Par la théorie des grandes déviations, nous n’avons qu’une expression du comportement exponentiel en termes de quasi-potentiel. Si nous n’avons pas accès au préfacteur pour estimer précisément les valeurs propres et les fonctions propres, des méthodes numériques ont été développées pour les estimer.
6.1 Généralités pour la simulation d’applications de Poincaré
aléa-toires
Si nous connaissons les coordonnées d’un point appartenant à une orbite périodique du système de dimension d + 1
˙z = f (z) ,
nous pouvons construire un hyperplan Σ de la manière suivante : si z∗appartient à une orbite périodique stable, en notant le vecteur h = f(z⋆), dans le voisinage de l’orbite périodique stable, la section de Poincaré a pour équation
H(z) =h, z − z⋆
= 0 . Ainsi, la section de Poincaré divise Rd+1 en deux régions,
Σ−={z ∈ Rd+1,h, z − z⋆ < 0} Σ+={z ∈ Rd+1,h, z − z⋆ > 0} , et toute trajectoire va passer de Σ− à Σ+.
Pour localiser la première intersection de la trajectoire sur la section de Poincaré Σ, la position est alors calculée par un simple schéma d’interpolation.
Pour simuler l’application de Poincaré aléatoire, à cause des irrégularités du mouvement Brownien, nous devons construire une seconde application de Poincaré en suivant les définitions (3.2.11).