Perspectives plus g´en´erales

1.5.3.1 Syst`emes lin´eaires al´eatoires

Revenant au cas d’op´erateurs de la forme_−div(Aε_{∇), une autre direction de tra-}

vail possible consiste `a s’int´eresser directement aux syst`emes alg´ebriques lin´eaires

al´eatoires qui r´esultent du probl`eme (1.1) ou du probl`eme des correcteurs. Ils

s’´ecrivent sous la forme :

Kε(ω)Uε(ω) = B(ω),

o`u la dimension de la matrice de rigidit´e al´eatoire Kε _{croˆıt avec ε. Or ces matrices}

al´eatoires poss`edent une structure particuli`ere, qui implique possiblement des pro- pri´et´es limites exploitables dans le contexte de l’homog´en´eisation. Ind´ependamment du contexte de l’homog´en´eisation, certains travaux de m´ecanique choisissent de repr´esenter l’incertitude directement sur la matrice de rigidit´e. En cons´equence, ils choisissent une matrice Kε _{appartenant `a un ensemble de matrices dont les pro-}

pri´et´es asymptotiques (quand la taille de la matrice tend vers l’infini) sont d´ecrites par la th´eorie des matrices al´eatoires. La matrice Aε _{d´erivant du probl`eme (1.1)}

n’appartient pas `a un tel ensemble. Mais peut-ˆetre existe-t-il un moyen de s’y ramener et donc d’exploiter certaines propri´et´es limites de ces ensembles.

1.5.3.2 Mod´elisation

Tous les travaux de cette th`ese reposent sur le fait que l’on se donne a

priori un mod`ele pour la microstructure al´eatoire associ´e `a la matrice Aε_{. Or,}

en pratique, dans bon nombre de cas, on ne dispose pas d’un tel mod`ele. Celui que l’on utilise le cas ´ech´eant dans le cadre de la simulation num´erique est le produit d’une estimation statistique empirique du mat´eriau consid´er´e. Ainsi, si l’on suppose que le mat´eriau r´eel est repr´esent´e par Aε<sub>, nous n’avons acc`es en</sub>

pratique qu’`a une estimation de Aε _{not´ee bA}ε_{. La matrice bA}ε _{a pour matrice}

homog´en´eis´ee une matrice bA⋆_{, sens´ee expliquer (`a des approximations d’ordre}

ε pr`es) le comportement macroscopique du mat´eriau r´eel, lui mˆeme d´ecrit par A⋆ <sub>r´esultant de l’homog´en´eisation de A</sub>ε<sub>. Un exemple typique est le cas o`u</sub>

l’on ne dispose que d’une information lacunaire sur le mat´eriau (quelques coupes ou ´echantillons par exemple) qui ne suffisent pas `a fournir un mod`ele fiable et pr´ecis. Supposons d`es lors que l’on dispose d’une information partielle sur A⋆_{. Si nous}

poss´edons un estimateur suffisamment pr´ecis de bA⋆ _{(obtenu par exemple grace aux}

m´ethodes expos´ees dans les Parties I et II), alors nous sommes en mesure de tester la pertinence du mod`ele initial bAε_{. L’id´ee g´en´erale est de permettre un dialogue}

entre la mod´elisation et l’homog´en´eisation : la seconde constituant un moyen de tester et d’actualiser les hypoth`eses relatives au mat´eriau auquel elle s’applique. Il

faut trouver un moyen a posteriori de contrˆoler les hypoth`eses sous lesquelles ont ´et´e calcul´ees les propri´et´es homog´en´eis´ees.

Homog´en´eisation stochastique

num´erique : quelques

contributions r´ecentes

Ce chapitre est tir´e de [P5]. Il reprend et d´etaille certains points du chapitre pr´ec´edent : principe et ´el´ements de th´eorie de l’homog´en´eisation stochastique, ob- tention de bornes sur la matrice homog´en´eis´ee, pr´esentation de l’approche Multiscale

Finite Elements (MsFEMs). L’objectif est de pr´esenter de mani`ere unifi´ee une s´erie

de travaux r´ecents portant sur l’homog´en´eisation stochastique num´erique. De plus, il annonce certains r´esultats obtenus dans le cadre des Parties I et II.

Introduction to numerical stochastic homogenization and the related computational challenges :

some recent developments

Arnaud Anantharamana_{, Ronan Costaouec}a_{, Claude Le Bris}a_{, Fr´ed´eric Legoll}a _and

Florian Thominesa

a _{Ecole Nationale des Ponts et Chauss´ees, 6 & 8 avenue Blaise Pascal, 77455´}

Marne-La-Vall´ee Cedex 2 and INRIA Rocquencourt, MICMAC team-project, Domaine de Voluceau, B.P. 105, 78153 Le Chesnay Cedex, France

{anantharaman,costaour,lebris}@cermics.enpc.fr,

legoll@lami.enpc.fr,florian.thomines@enpc.fr

2.1

Introduction

The purpose of this set of Notes is to present some recent developments, both on the theoretical and on the computational sides, in stochastic homogenization. These developments, obtained in collaboration within a whole group of researchers, have already been presented in a scattered manner in the literature (see [P1, P2, P3, P4, 5, 7–9, 19, 20, 101]). We present them here from a unified perspective.

In short, the bottom line for the series of works presented is the wish of the authors to contribute to make numerical random homogenization more practical. Random homogenization is indeed always very, and sometimes prohibitively, costly. Although a now traditional topic for mathematical analysis, random homogenization is also rather poorly known from the numerical analysis viewpoint. There is thus a definite interest in putting efforts on such issues.

Because we cannot embrace all difficulties at once, the case under consideration here is homogenization of a simple, linear, scalar second order elliptic partial dif-

ferential equation in divergence form. We focus on the highly oscillating coefficient

present in the equation, the different manner this coefficient can be modelled, and how this affects the various computational approaches.

The Notes begin with, in Section 2.2, a brief, hopefully pedagogic introduction to periodic, general (in Subsection 2.2.1) and next random (in Subsection 2.2.2) homogenization theories. There is of course no novelty in such an introduction, the only purpose of which is the consistency of the contribution and the convenience of

contributions r´ecentes

the reader not familiar with the theory. We refer to, e.g., the monographs [16,27,58] for more details on homogenization theory, to [2, Chapters 1 and 2] for a pedagogic presentation, and to [56] for a short non technical overview of related problems. A super elementary introduction is contained in [64].

The following Sections 2.3 and 2.4 present our recent series of works. They are respectively based upon more comprehensive texts published in [5, 7–9] (for Sub- section 2.3.1), [P1, 19, 20] (for Subsection 2.3.2), and [P2, P3, P4] (for Section 2.4). Section 2.3 presents a set of studies that all aim at treating the random problems under consideration as “perturbations” of a periodic problem. This of course requires some appropriate assumptions on the coefficients in the equation, so that the case under consideration is close to periodic, or, otherwise stated, that the amount of randomness present in the system is, to some extent, small. We term such situations

weakly random situations. The computational workload is of course expected to be

lighter in such situations, and we design here numerical approaches so that it is in- deed the case. Section 2.4 addresses an issue that, although different in nature, also strongly affects the computational workload in numerical random homogenization :

variance. We present some elementary numerical strategies, along with the necessary

theoretical ingredients, that reduce the variance in computational approaches. We also investigate related issues.

A quick overview of some of the issues and techniques considered here has ap- peared in [63].