L’´etude de ces probl`emes de contrˆole en dimension 2 a soulign´e l’importance de quantit´es conserv´ees le long des trajectoires extr´emales. L’existence de telles lois de conservation nous permet- trait par exemple pour le cas des rotors de d´eduire des informations sur les trajectoires extr´emales, et notamment sur l’espacement r´egulier des switching point des trajectoires ”bang-bang” que nous avons trouv´es (probl`emes 2 et 3). Cette derni`ere question reste d´elicate pour ces probl`emes de contrˆole. L’´etude de quantit´es conserv´ees par un th´eor`eme de type Noether, le long de trajectoires extr´emales d’un syst`eme de contrˆole, paraˆıt une direction de recherche int´eressante. L’unicit´e des trajectoires extr´emales dans le principe du maximum de Pontryagin peut ´egalement nous permettre de montrer que les seules extr´emales dans notre cas sont les rotors r´eguliers. Cependant, le th´eor`eme d’unicit´e fonctionne pour le probl`eme du temps minimal lorsque l’´etat initial et l’´etat final sont fix´es.
Par ailleurs, on peut envisager l’´etude par le contrˆole optimal de probl`emes g´eom´etriques ana- logues `a ceux que nous avons ´etudi´es. Le probl`eme de Favard (voir [34]) ou des probl`emes de type isop´erim´etrique (voir [2], [3]) peuvent se traiter par le contrˆole optimal. On pourrait envisager d’´etudier certains probl`emes pos´es dans [48] par cet outil.
L’´etude des corps de largeur constante est motiv´ee par des probl`emes de minimisation de fonc- tionnelles de formes monotones sous contraintes de diam`etre comme l’optimisation des valeurs propres λk(Ω) o`u Ω est un domaine qui satisfait certaines contraintes (voir [27]). Avec de telles hy-
poth`eses, on peut montrer que le minimiseur est un objet de largeur constante. De telles questions int´eressent les physiciens qui ´etudient notamment le spectre de l’op´erateur de Schr¨odinger. Dans la mˆeme perspective, on peut s’int´eresser `a l’optimisation des valeurs propres du laplacien dans la classe des corps de largeur constante de R2. La difficult´e est de relier la g´eom´etrie des domaines
que l’on consid`ere et la d´efinition abstraite des valeurs propres du laplacien. On conjecture que le triangle de Reuleaux maximise λ1(Ω) dans cette classe. Cette conjecture est v´erifi´ee num´eriquement.
D’autre probl`emes g´eom´etriques en dimension 3 sont ouverts. Un exemple analogue est ce- lui de la minimisation du volume dans la classe des corps dont la projection orthogonale sur tout hyperplan est constante (voir [8]). L’´etude des rotors tournant `a l’int´erieur de l’un des 5 poly`edres de Platon ainsi que le probl`eme de minimisation du volume dans cette classe restent ouverts (voir [23]). On peut envisager l’application du principe de Pontryagin (voir [2], [3], [33]) pour obtenir des conditions d’optimalit´e faibles sur un minimiseur du volume dans la classe des corps de lar- geur constante. La mise en place sous forme d’un probl`eme de contrˆole reste d´elicate `a cause des contraintes de convexit´e (positivit´e des deux rayons de courbure en tout point). A l’inverse de la dimension 2, la reconstruction d’une surface convexe ferm´ee de largeur constante en dimension 3 `
a l’aide de ses courbures, c’est `a dire grˆace `a la donn´ee d’une application deS2 `a valeurs dans les
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